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Zwei Seifenblasen liefern ein anschauliches Bild: Manchmal überlappen sie sich, manchmal berühren sie sich nur, und manchmal bleiben sie vollständig voneinander getrennt. Ganz ähnlich beschreiben wir in der Mathematik die Lage zweier Kreise.
In der analytischen Geometrie reichen die Mittelpunkte und Radien aus, um die Lage eindeutig zu bestimmen. Entscheidend ist der Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten.
Mit demselben Vergleich lässt sich prüfen, ob sich zwei kreisförmige Bereiche überlappen, berühren oder einen Abstand voneinander haben, etwa in Abdeckungskarten oder geometrischen Entwürfen.
Zwei Kreise schneiden sich, wenn sie genau zwei gemeinsame Punkte haben. Anschaulich sieht das aus wie zwei Ringe, die sich überlappen.
Für zwei Kreise mit den Radien und sowie dem Mittelpunktabstand gilt die Schnittbedingung:
Die beiden strengen Grenzen erklären diese Bedingung:
Zwei Kreise berühren sich tangential, wenn sie genau einen gemeinsamen Punkt haben. Zwei Zahnräder, die sich an einem Punkt berühren, liefern dafür ein anschauliches Bild.
Für zwei nicht identische Kreise gibt es zwei Berührungsfälle:
Äußere Berührung liegt vor, wenn gilt. Die Kreise liegen außerhalb voneinander und berühren sich in einem Punkt.
Innere Berührung liegt vor, wenn gilt. Der kleinere Kreis liegt im größeren und berührt ihn in einem Punkt.
Das nächste Diagramm zeigt eine innere Berührung:
Zwei Kreise liegen außen getrennt, wenn sich weder ihre Kreislinien noch ihre Kreisflächen treffen.
Der getrennte Zustand liegt vor, wenn der Abstand zwischen den Mittelpunkten größer ist als die Summe beider Radien:
In diesem Fall gehört kein Punkt zu beiden Kreisflächen.
Konzentrische Kreise haben denselben Mittelpunkt, aber unterschiedliche Radien, wie die Kreislinien auf einer Zielscheibe.
Bei konzentrischen Kreisen beträgt der Abstand zwischen den Mittelpunkten Null (), aber die Radien sind unterschiedlich ().
Identische Kreise sind ein Sonderfall: Beide Kreise haben denselben Mittelpunkt und denselben Radius. Deshalb liegen sie vollständig aufeinander und erscheinen als ein einziger Kreis.
Zwei Kreise sind identisch, wenn:
Um zwei Kreise einzuordnen, berechnen wir ihren Mittelpunktabstand und vergleichen ihn mit der Summe und dem absoluten Unterschied der Radien.
Der erste Kreis habe den Mittelpunkt und den Radius . Der zweite Kreis habe den Mittelpunkt und den Radius .
Der Abstand zwischen den Mittelpunkten wird nach folgender Formel berechnet:
Unter der Annahme positiver Radien erfassen die folgenden Bedingungen alle Möglichkeiten, ohne sich zu überschneiden:
Wir bestimmen die Lage der Kreise mit den Gleichungen und .
Schritt : Mittelpunkt und Radius beider Kreise bestimmen.
Erster Kreis: Mittelpunkt , Radius
Für den zweiten Kreis vervollständigen wir das Quadrat:
Zweiter Kreis: Mittelpunkt , Radius
Schritt : Abstand zwischen den Mittelpunkten berechnen.
Schritt : Mit Positionsbedingungen vergleichen.
Da gilt, schneiden sich die beiden Kreise.
Zur Kontrolle setzen wir die drei Werte in ein:
