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Mathematisch trifft eine Tangente den Kreis in genau einem Punkt, dem Berührpunkt. Die Tangente steht immer senkrecht auf dem Radius zu diesem Punkt.
Diese senkrechte Beziehung wird in drei Fällen verwendet: bei einer Tangente in einem bekannten Punkt, bei Tangenten mit gegebener Steigung und bei den beiden Tangenten durch einen Punkt außerhalb des Kreises.
Prüfe zuerst, ob der angegebene Berührpunkt wirklich auf dem Kreis liegt. Sein Radiusvektor wird dann zum Normalenvektor der Tangente.
Für den Kreis mit Mittelpunkt und den Berührpunkt gehen wir so vor.
Schritt 1: Prüfe, ob auf dem Kreis liegt.
Schritt 2: Der Radiusvektor ist ein Normalenvektor der Tangente.
Schritt 3: Setze diesen Normalenvektor in die Geradengleichung durch ein.
Mit der Punktbedingung aus Schritt 1 erhalten wir die Berührpunktform:
Weil diese Herleitung mit einem Normalenvektor arbeitet, funktionieren auch vertikale und horizontale Tangenten ohne Sonderfall.
Ist der Berührpunkt unbekannt, aber die Steigung gegeben, muss der Achsenabschnitt die Gerade genau einen Radius vom Mittelpunkt entfernt platzieren. Dieser Fall tritt etwa auf, wenn die Tangente zu einer anderen Geraden parallel sein soll.
Für den Kreis und die bekannte Steigung setzen wir die Geradengleichung in die Kreisgleichung ein:
Da die Gerade den Kreis tangiert, muss die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung Null sein:
Für den Achsenabschnitt ergibt sich:
Für jede endliche Steigung besitzt der Kreis um den Ursprung damit zwei parallele Tangenten:
Ein Punkt außerhalb des Kreises bestimmt genau zwei Tangenten. Ihre beiden Berührpunkte liegen auf einer gemeinsamen Hilfsgeraden, der Polaren des äußeren Punkts.
Der Punkt liege außerhalb des Kreises . Seine Polare lautet:
Für einen äußeren Punkt ist die Polare die Berührsehne, also die Gerade durch beide Berührpunkte. Die Konstruktion lautet:
Die Polare ist nicht selbst eine der beiden Tangenten. Sie verbindet deren Berührpunkte.
Bestimme beide Tangenten von an den Kreis .
Schritt 1: Stelle die Polare von bezüglich des Kreises auf.
Schritt 2: Schneide die Polare mit dem Kreis. Aus der Geradengleichung folgt . Setze diesen Ausdruck in die Kreisgleichung ein.
Schritt 3: Löse die quadratische Gleichung für die beiden möglichen -Koordinaten.
Schritt 4: Setze beide Werte in die Polare ein, um die Berührpunkte zu erhalten.
Schritt 5: Setze jeden Berührpunkt in die Berührpunktform des Kreises ein.
Beide Geraden verlaufen durch und berühren den Kreis genau einmal. Damit sind sie die gesuchten Tangenten.
Prüfe, welche Angaben die Tangenten bestimmen. Ein Punkt auf dem Kreis legt eine Tangente fest. Eine Steigung bestimmt zwei parallele Tangenten, ein äußerer Punkt zwei Tangenten durch diesen Punkt. Bei Bedarf bestimmst du die Steigung aus der Parallelität oder dem rechten Winkel.
Bestimme die Tangente an den Kreis im Punkt .
Finde die Tangenten an den Kreis , die parallel zur Geraden verlaufen.
Bestimme die Tangenten an den Kreis , die durch den Punkt verlaufen.
Ein Kreis hat die Gleichung . Bestimme die Tangenten, die senkrecht zur Geraden stehen.
Lösung 1:
Der Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius . Der Berührpunkt ist .
Setze diese Werte in die Berührpunktform ein.
Daher lautet die Tangentengleichung .
Lösung 2:
Eine Gerade parallel zu hat die Steigung .
Für den Kreis mit verwenden wir:
Daher gibt es zwei Tangenten: und .
Lösung 3:
Kreis hat Mittelpunkt und .
Die Polare des Punkts lautet:
Verschiebe den Mittelpunkt mit und in den Ursprung. Kreis und Polare werden zu:
Durch Rücksubstitution erhalten wir die beiden Berührpunkte:
Die Steigungen von zu diesen Punkten sind und . Damit lauten die gesuchten Tangenten:
Berechne für jeden Berührpunkt die Höhendifferenz geteilt durch die waagerechte Differenz zum äußeren Punkt :
Lösung 4:
Wandle die Kreisgleichung in die Standardform um, indem du das Quadrat vervollständigst:
Mittelpunkt , Radius .
Die Gerade lässt sich als schreiben. Ihre Steigung ist daher .
Eine dazu senkrechte Gerade hat die Steigung .
Für den Kreis mit Mittelpunkt gilt die Tangentengleichung mit Steigung :
Die beiden Tangenten sind und .
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