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Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad auf einer kreisförmigen Bahn. Verlässt du die Bahn, ohne den Lenker zu drehen, folgt deine Richtung in diesem Moment der Tangente. Sie ist nicht irgendeine Gerade durch diesen Punkt, sondern die einzige Gerade, die dort senkrecht auf dem Radius steht.
Mathematisch trifft eine Tangente den Kreis in genau einem Punkt, dem . Die Tangente steht immer auf dem Radius zu diesem Punkt.
Diese senkrechte Beziehung zieht sich durch die ganze Lektion. Wir konstruieren eine Tangente in einem bekannten Punkt, bestimmen Tangenten mit gegebener Steigung und ziehen beide Tangenten durch einen Punkt außerhalb des Kreises.
Prüfe zuerst, ob der angegebene Berührpunkt wirklich auf dem Kreis liegt. Sein Radiusvektor wird dann zum Normalenvektor der Tangente.
Für den Kreis und den Berührpunkt gehen wir so vor.
Schritt : Prüfe, ob auf dem Kreis liegt.
Schritt : Der Radiusvektor ist ein Normalenvektor der Tangente.
Schritt : Setze diesen Normalenvektor in die Geradengleichung durch ein.
Mit der Punktbedingung aus Schritt erhalten wir die Berührpunktform:
Weil diese Herleitung einen Normalenvektor statt einer Steigung verwendet, funktionieren auch vertikale und horizontale Tangenten ohne Sonderfall.
Ist der Berührpunkt unbekannt, aber die Steigung gegeben, muss der Achsenabschnitt die Gerade genau einen Radius vom Mittelpunkt entfernt platzieren. Dieser Fall tritt etwa auf, wenn die Tangente zu einer anderen Geraden parallel sein soll.
Für den Kreis und die bekannte Steigung setzen wir die Geradengleichung in die Kreisgleichung ein:
Da die Gerade den Kreis tangiert, muss die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung Null sein:
Für den Achsenabschnitt ergibt sich:
Für jede endliche Steigung besitzt der Kreis um den Ursprung damit zwei parallele Tangenten:
Ein Punkt außerhalb des Kreises bestimmt genau zwei Tangenten. Ihre beiden Berührpunkte liegen auf einer gemeinsamen Hilfsgeraden, der Polaren des äußeren Punkts.
Der Punkt liege außerhalb des Kreises . Seine Polare lautet:
Für einen äußeren Punkt ist die Polare die Berührsehne, also die Gerade durch beide Berührpunkte. Die Konstruktion lautet:
Die Polare ist nicht selbst eine der beiden Tangenten. Sie verbindet deren Berührpunkte.
Bestimme beide Tangenten von an den Kreis .
Schritt : Stelle die Polare von bezüglich des Kreises auf.
Schritt : Schneide die Polare mit dem Kreis. Aus der Geradengleichung folgt . Setze diesen Ausdruck in die Kreisgleichung ein.
Schritt : Löse die quadratische Gleichung für die beiden möglichen -Koordinaten.
Schritt : Setze beide Werte in die Polare ein, um die Berührpunkte zu erhalten.
Schritt : Setze jeden Berührpunkt in die Berührpunktform des Kreises ein.
Beide Geraden verlaufen durch und berühren den Kreis genau einmal. Damit sind sie die gesuchten Tangenten.
Bestimme die Tangente an den Kreis im Punkt .
Finde die Tangenten an den Kreis , die parallel zur Geraden verlaufen.
Bestimme die Tangenten an den Kreis , die durch den Punkt verlaufen.
Ein Kreis hat die Gleichung . Bestimme die Tangenten, die senkrecht zur Geraden stehen.
Lösung:
Der Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius . Der Berührpunkt ist .
Setze diese Werte in die Berührpunktform ein.
Daher lautet die Tangentengleichung .
Lösung:
Eine Gerade parallel zu hat die Steigung .
Für den Kreis mit verwenden wir:
Lösung:
Kreis hat Mittelpunkt und .
Lösung:
Wandeln Sie die Kreisgleichung in die Standardform um, indem Sie das Quadrat vervollständigen:
Daher gibt es zwei Tangenten: und .
Die Polare des Punkts lautet:
Verschiebe den Mittelpunkt mit und in den Ursprung. Kreis und Polare werden zu:
Durch Rücksubstitution erhalten wir die beiden Berührpunkte:
Die Steigungen von zu diesen Punkten sind und . Damit lauten die gesuchten Tangenten:
Mittelpunkt , Radius .
Die Gerade lässt sich als schreiben. Ihre Steigung ist daher .
Eine dazu senkrechte Gerade hat die Steigung .
Für den Kreis mit Mittelpunkt gilt die Tangentengleichung mit Steigung :
Daher sind die beiden Tangenten: und .
