Lage eines Punktes relativ zu einem Kreis

Die Reichweite mit einem Kreismodell prüfen

Für einen Kreis und einen Punkt gibt es genau drei Möglichkeiten: Der Punkt liegt innerhalb, auf der Kreislinie oder außerhalb des Kreises.

Der gleiche Vergleich tritt in vereinfachten Reichweitenmodellen auf, etwa wenn geprüft wird, ob ein Ort innerhalb eines kreisförmig modellierten Funk- oder Radarbereichs liegt. Kreisgleichung und Punktkoordinaten ordnen den Ort dann eindeutig ein.

Potenz eines Punktes

Zur Einordnung verwenden wir die Potenz eines Punktes bezüglich des Kreises. Sie ist eine vorzeichenbehaftete algebraische Größe und kein gewöhnlicher Abstand. Für einen Kreis mit Mittelpunkt $(a,b)$ und Radius $r$ gilt:

Für den Punkt $A(x_0, y_0)$ und den allgemeinen Kreis $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ ist die Potenz von $A$:

Durch Einsetzen der Koordinaten erhältst du $K_A$. Das Vorzeichen der Punktpotenz bestimmt die Lage relativ zum Kreis.

Drei mögliche Lagen

Der Wert der Punktpotenz unterscheidet drei mögliche Lagen:

Die drei Fälle sind in der folgenden Grafik dargestellt:

Im Diagramm liegt der Mittelpunkt bei $(0,0)$ und der Radius beträgt $3$. Prüfe die drei Punkte, indem du neun vom Abstandsquadrat abziehst:

So wird die Lage bestimmt

Wir bestimmen Kreisgleichung und Punktkoordinaten und setzen die Koordinaten dann in die Formel für die Punktpotenz ein.

Für den Punkt $A(1, -2)$ und den Kreis $x^2 + y^2 = 25$ berechnen wir zuerst das Abstandsquadrat zum Mittelpunkt. Anschließend ziehen wir $r^2$ ab:

Wegen $K_A = -20 < 0$ liegt $A(1, -2)$ innerhalb des Kreises.

Für $x^2 + y^2 = r^2$ ist der Vergleich von $d_A^2$ mit $r^2$ gleichbedeutend mit der Vorzeichenprüfung von $K_A=d_A^2-r^2$.

Anwendung auf die allgemeine Form

Für einen Kreis in der allgemeinen Form $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ berechnen wir $K_A=x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F$. Das Vorzeichen von $K_A$ bestimmt, ob der Punkt innerhalb, auf oder außerhalb des Kreises liegt.

Zum Beispiel für Punkt $A(1, -2)$ und Kreis $x^2 + y^2 - 8x - 2y - 8 = 0$:

Da $K_A = -7 < 0$, liegt der Punkt $A(1, -2)$ innerhalb des Kreises.

Übungsaufgaben

In jeder Aufgabe sind ein Punkt und ein Kreis gegeben, und die Antwort ist, ob der Punkt innerhalb, auf oder außerhalb des Kreises liegt. Vergleiche den Abstand zum Mittelpunkt mit dem Radius.

1. Bestimme die Lage des Punktes $A(3, 4)$ relativ zum Kreis $x^2 + y^2 = 16$.

2. Untersuche, ob der Punkt $B(6, -8)$ auf dem Kreis $x^2 + y^2 = 100$ liegt.

3. Bestimme die Lage des Punktes $C(2, 1)$ relativ zum Kreis $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$.

4. Ein Kreis hat die Gleichung $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$. Bestimme die Lage von $D(7, 2)$ relativ zu diesem Kreis.

Ausführliche Lösungen

Lösung 1:

Setze die Koordinaten des Punktes $A(3, 4)$ in die Kreisgleichung $x^2 + y^2 = 16$ ein:

Da $K_A = 9 > 0$, liegt $A(3, 4)$ außerhalb des Kreises.

Lösung 2:

Setze die Koordinaten des Punktes $B(6, -8)$ in die Kreisgleichung $x^2 + y^2 = 100$ ein:

Da $K_B = 0$, liegt $B(6, -8)$ genau auf dem Kreis.

Lösung 3:

Setze die Koordinaten des Punktes $C(2, 1)$ in die Kreisgleichung $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ ein:

Da $K_C = -9 < 0$, liegt der Punkt $C(2, 1)$ innerhalb des Kreises.

Lösung 4:

Der Kreis $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ hat den Mittelpunkt $(3, -2)$ und den Radius $r = 5$.

Wir setzen $D(7, 2)$ ein:

Da $K_D = 7 > 0$, liegt $D(7, 2)$ außerhalb des Kreises.