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Für einen Kreis und einen Punkt gibt es genau drei Möglichkeiten: Der Punkt liegt innerhalb des Kreises, auf seiner Kreislinie oder außerhalb des Kreises.
Der gleiche Vergleich tritt in vereinfachten Reichweitenmodellen auf, etwa wenn geprüft wird, ob ein Ort innerhalb eines kreisförmig modellierten Funk- oder Radarbereichs liegt. Sobald das Kreismodell feststeht, liefert die Koordinatengeometrie eine eindeutige Antwort.
Kreisgleichung und Punktkoordinaten liefern eine mathematisch eindeutige Einordnung.
Zur Einordnung verwenden wir die Potenz eines Punktes bezüglich des Kreises. Sie ist eine vorzeichenbehaftete algebraische Größe und kein gewöhnlicher Abstand. Für einen Kreis mit Mittelpunkt und Radius gilt:
Wenn wir Punkt und einen Kreis mit der allgemeinen Gleichung haben, dann ist die Potenz von Punkt definiert als:
Einmaliges Einsetzen der Koordinaten liefert einen Wert, dessen Vorzeichen die Lage bestimmt.
Der Wert der Punktpotenz unterscheidet drei mögliche Lagen:
Der Punkt liegt innerhalb des Kreises, wenn .
Der Punkt liegt auf dem Kreis, wenn .
Der Punkt liegt außerhalb des Kreises, wenn .
Die drei Fälle sind in der folgenden Grafik dargestellt:
Zuerst werden Kreisgleichung und Punktkoordinaten bestimmt. Danach setzen wir die Koordinaten in die Gleichung ein und prüfen das Vorzeichen des Ergebnisses.
Ist das Ergebnis negativ, liegt der Punkt im Inneren. Bei null liegt der Punkt auf dem Kreis. Ist es positiv, liegt der Punkt außerhalb des Kreises.
Versuchen wir es anhand eines konkreten Beispiels. Angenommen, wir haben den Punkt und den Kreis .
Zuerst berechnen wir das Abstandsquadrat zum Mittelpunkt und ziehen dann ab:
Wegen liegt innerhalb des Kreises.
Für ist der Vergleich von mit gleichbedeutend mit der Vorzeichenprüfung von .
Hat der Kreis die allgemeine Form , bleibt das Verfahren gleich. Wir setzen die Punktkoordinaten in die gesamte linke Seite ein und prüfen das Vorzeichen.
Zum Beispiel für Punkt und Kreis :
Da , liegt der Punkt innerhalb des Kreises.
Bestimme die Lage des Punktes relativ zum Kreis .
Untersuche, ob der Punkt auf dem Kreis liegt.
Bestimme die Lage des Punktes relativ zum Kreis .
Ein Kreis hat die Gleichung . Bestimme die Lage von relativ zu diesem Kreis.
Lösung:
Setze die Koordinaten des Punktes in die Kreisgleichung ein:
Da , liegt außerhalb des Kreises.
Lösung:
Setze die Koordinaten des Punktes in die Kreisgleichung ein:
Lösung:
Setze die Koordinaten des Punktes in die Kreisgleichung ein:
Lösung:
Der Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius .
Da , liegt genau auf dem Kreis.
Da , liegt der Punkt innerhalb des Kreises.
Wir setzen ein:
Da , liegt außerhalb des Kreises.
