Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Binomialverteilung

Beiträge von Jacob Bernoulli zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Jacob Bernoullis Ars Conjectandi erschien nach seinem Tod im Jahr $1713$ . $Das Buch entwickelte grundlegende Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung$ , darunter Bernoullis Gesetz der großen Zahlen, und untersuchte wiederholte Erfolgs-Misserfolgs-Versuche, die heute seinen Namen tragen.

Kombination und Basiswahrscheinlichkeit

Für eine Binomialwahrscheinlichkeit müssen wir $die Positionen der Erfolge auswählen$ und die Wahrscheinlichkeit einer Ergebnisfolge berechnen. Kombinationen zählen die möglichen Positionen. Die Wahrscheinlichkeitsregeln bestimmen das Gewicht jeder Folge.

Zunächst die Kombinationsformel zum Auswählen von Objekten:

C_k^n = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Zweitens Fakultät (sequentielle Multiplikation):

n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1

Nach Definition gilt $0!=1$ .

Und drittens die Beziehung zwischen der Ereigniswahrscheinlichkeit und ihrem Komplement:

P(A) + P(A^c) = 1

Dabei ist $P(A)$ die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, und $P(A^c)$ die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis nicht eintritt.

Binomialverteilungskonzept

Eine binomialverteilte Zufallsvariable $zählt Erfolge in wiederholten Versuchen$ . Jeder Versuch hat zwei einander ausschließende Ergebnisse, etwa Kopf oder Zahl bei einer Münze. Das als $Erfolg$ bezeichnete Ergebnis wird gezählt.

Das Modell gilt nur bei einer festen Versuchszahl, unabhängigen Versuchen und gleichbleibender Erfolgswahrscheinlichkeit. Unabhängigkeit bedeutet, dass ein früheres Ergebnis die Wahrscheinlichkeit in einem späteren Versuch nicht verändert.

$Anforderungen für Binomialexperimente$ :

Es gibt nur zwei mögliche Ergebnisse: Erfolg oder Misserfolg
Die Anzahl der Experimente ist vorgegeben und festgelegt
Die einzelnen Versuche sind voneinander unabhängig
Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist für jedes Experiment gleich

Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Binomialverteilung

Für ein Binomialexperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ und Misserfolgswahrscheinlichkeit $q = 1-p$ gibt die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion die Wahrscheinlichkeit für genau $x$ Erfolge in $n$ $unabhängigen Versuchen$ an:

\begin{aligned} &P(X=x) = \binom{n}{x}p^xq^{n-x}, \\ &x=0{,}1{,}2{,}\ldots{,}n \end{aligned}

Wo:

$n$ = feste Anzahl der Versuche
$x$ = Anzahl der gezählten Erfolge
$p$ = Erfolgswahrscheinlichkeit in einem Versuch
$q = 1-p$ = Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs in einem Versuch

Prüfe vor dem Einsetzen alle vier Binomialbedingungen. Andernfalls beschreibt dieses Wahrscheinlichkeitsmodell den Versuch möglicherweise nicht.

Münzexperiment

Betrachten wir eine faire Münze. Ihr Ergebnisraum enthält Kopf und Zahl:

S = \{\text{Kopf},\text{Zahl}\}

Wenn „Zahl“ als Erfolg gilt, beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit $p = \frac{1}{2}$ . Für den Misserfolg „Kopf“ gilt entsprechend $q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ .

$Aufgabe$ : Wir werfen die Münze $7$ -mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau $5$ -mal Zahl zu erhalten?

$Lösung$ :

Zuerst ordnen wir die Parameter zu:

$n = 7$ (Anzahl der Würfe)
$x = 5$ (gewünschte Anzahl von „Zahl“)
$p = \frac{1}{2}$ (Wahrscheinlichkeit, Zahl zu bekommen)
$q = \frac{1}{2}$ (Wahrscheinlichkeit für Kopf)

Nun verwenden wir die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion:

P(X=5) = \binom{7}{5} \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^{7-5}

Berechnen wir zunächst $\binom{7}{5}$ :

\binom{7}{5} = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5! \cdot 2!}

Die vollständige Berechnung lautet also:

\begin{aligned} P(X=5) &= 21 \times \frac{1}{2^7} \\ &= 21 \times \frac{1}{128} \\ &= \frac{21}{128} \end{aligned}

Die Wahrscheinlichkeit, bei $7$ Münzwürfen genau $5$ -mal Zahl zu erhalten, beträgt somit $\frac{21}{128}$ oder ungefähr $16{,}4\%$ .

Wahrscheinlichkeiten für Zahl bei sieben Würfen

Die waagerechte Achse zählt Zahl-Ergebnisse und bezeichnet nicht die Reihenfolge der Würfe. Jeder Balken zeigt die Wahrscheinlichkeit genau dieser Anzahl.

Die Balken für zweimal und fünfmal Zahl sind gleich hoch. Bei einer fairen Münze ändert das $Vertauschen von Kopf und Zahl$ die Wahrscheinlichkeit nicht. Beide Ereignisse umfassen 21 passende Folgen unter 128 gleich wahrscheinlichen Folgen.

Übungsaufgaben

Nimm $unabhängige Versuche$ mit gleichbleibender Erfolgswahrscheinlichkeit an. Mische beim Kugelbeispiel den Beutel vor jeder zufälligen Ziehung erneut. In der Prüfung hat jede Frage genau eine richtige Antwort und jede Möglichkeit wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewählt.

In jeder Aufgabe wird ein Versuch eine feste Anzahl oft wiederholt und nach einer genauen Anzahl von Erfolgen gefragt, deshalb passt die binomiale Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion direkt. Bestimme zuerst die Anzahl der Versuche, die Erfolgswahrscheinlichkeit und die geforderte Anzahl der Erfolge, bevor du rechnest.

In einer Tüte befinden sich $10$ Kugeln, die bis auf die Farbe genau gleich sind: $6$ rote und $4$ blaue Kugeln. Wir ziehen $5$ Kugeln nacheinander mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau $3$ rote Kugeln zu ziehen?
Ein Bogenschütze trifft sein Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von $80\%$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei $6$ Schüssen genau $4$ -mal trifft?
Eine Multiple-Choice-Prüfung hat pro Frage $4$ Antwortmöglichkeiten. Ein Schüler errät zufällig alle Antworten auf $8$ Fragen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau $2$ Fragen richtig beantwortet?

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau drei rote Kugeln bei fünf Ziehungen $mit Zurücklegen$ .

$Schritt 1$ : Parameter identifizieren.

$n = 5$ (Anzahl der Ziehungen)
$x = 3$ (Anzahl der gewünschten roten Kugeln)
$p = \frac{6}{10} = 0{,}6$ (Wahrscheinlichkeit, eine $rote Kugel$ zu ziehen)
$q = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$ (Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen)

$Schritt 2$ : Mit der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion berechnen.

P(X=3) = \binom{5}{3} (0{,}6)^3 (0{,}4)^2

Berechnen wir zunächst $\binom{5}{3}$ :

\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10

Dann:

= 10 \times (0{,}6)^3 \times (0{,}4)^2

Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, genau $3$ rote Kugeln zu ziehen, $0{,}3456$ oder ungefähr $34{,}6\%$ .

$Aufgabe 2$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau vier Treffer bei sechs Schüssen.

$Schritt 1$ : Parameter identifizieren.

$n = 6$ (Anzahl der Schüsse)
$x = 4$ (gewünschte Anzahl von Treffern)
$p = 0{,}8$ (Wahrscheinlichkeit, $das Ziel zu treffen$ )
$q = 0{,}2$ (Wahrscheinlichkeit eines Fehlschusses)

$Schritt 2$ : Mit der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion berechnen.

P(X=4) = \binom{6}{4} (0{,}8)^4 (0{,}2)^2

Berechnen wir zunächst $\binom{6}{4}$ :

\binom{6}{4} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15

Dann:

= 15 \times (0{,}8)^4 \times (0{,}2)^2

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Bogenschütze genau $4$ -mal trifft, beträgt somit $0{,}2458$ oder ungefähr $24{,}6\%$ .

$Aufgabe 3$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau zwei richtige Antworten bei acht geratenen Antworten.

$Schritt 1$ : Parameter identifizieren.

$n = 8$ (Anzahl der Fragen)
$x = 2$ (Anzahl der gewünschten richtigen Antworten)
$p = \frac{1}{4} = 0{,}25$ (Wahrscheinlichkeit der $richtigen Antwort durch Raten$ )
$q = \frac{3}{4} = 0{,}75$ (Wahrscheinlichkeit einer falschen Antwort)

$Schritt 2$ : Mit der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion berechnen.

P(X=2) = \binom{8}{2} (0{,}25)^2 (0{,}75)^6

Berechnen wir zunächst $\binom{8}{2}$ :

\binom{8}{2} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28

Dann:

= 28 \times (0{,}25)^2 \times (0{,}75)^6

Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler genau $2$ Fragen richtig beantwortet, ungefähr $0{,}3115$ oder $31{,}15\%$ .

Beiträge von Jacob Bernoulli zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kombination und Basiswahrscheinlichkeit

Zunächst die Kombinationsformel zum Auswählen von Objekten:

C_k^n = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Zweitens Fakultät (sequentielle Multiplikation):

n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1

Nach Definition gilt $0!=1$ .

Und drittens die Beziehung zwischen der Ereigniswahrscheinlichkeit und ihrem Komplement:

P(A) + P(A^c) = 1

Dabei ist $P(A)$ die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, und $P(A^c)$ die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis nicht eintritt.

Binomialverteilungskonzept

$Anforderungen für Binomialexperimente$ :

Es gibt nur zwei mögliche Ergebnisse: Erfolg oder Misserfolg
Die Anzahl der Experimente ist vorgegeben und festgelegt
Die einzelnen Versuche sind voneinander unabhängig
Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist für jedes Experiment gleich

Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Binomialverteilung

\begin{aligned} &P(X=x) = \binom{n}{x}p^xq^{n-x}, \\ &x=0{,}1{,}2{,}\ldots{,}n \end{aligned}

Wo:

$n$ = feste Anzahl der Versuche
$x$ = Anzahl der gezählten Erfolge
$p$ = Erfolgswahrscheinlichkeit in einem Versuch
$q = 1-p$ = Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs in einem Versuch

Prüfe vor dem Einsetzen alle vier Binomialbedingungen. Andernfalls beschreibt dieses Wahrscheinlichkeitsmodell den Versuch möglicherweise nicht.

Münzexperiment

Betrachten wir eine faire Münze. Ihr Ergebnisraum enthält Kopf und Zahl:

S = \{\text{Kopf},\text{Zahl}\}

Wenn „Zahl“ als Erfolg gilt, beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit $p = \frac{1}{2}$ . Für den Misserfolg „Kopf“ gilt entsprechend $q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ .

$Aufgabe$ : Wir werfen die Münze $7$ -mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau $5$ -mal Zahl zu erhalten?

$Lösung$ :

Zuerst ordnen wir die Parameter zu:

$n = 7$ (Anzahl der Würfe)
$x = 5$ (gewünschte Anzahl von „Zahl“)
$p = \frac{1}{2}$ (Wahrscheinlichkeit, Zahl zu bekommen)
$q = \frac{1}{2}$ (Wahrscheinlichkeit für Kopf)

Nun verwenden wir die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion:

P(X=5) = \binom{7}{5} \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^{7-5}

Berechnen wir zunächst $\binom{7}{5}$ :

\binom{7}{5} = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5! \cdot 2!}

Die vollständige Berechnung lautet also:

\begin{aligned} P(X=5) &= 21 \times \frac{1}{2^7} \\ &= 21 \times \frac{1}{128} \\ &= \frac{21}{128} \end{aligned}

Die Wahrscheinlichkeit, bei $7$ Münzwürfen genau $5$ -mal Zahl zu erhalten, beträgt somit $\frac{21}{128}$ oder ungefähr $16{,}4\%$ .

Wahrscheinlichkeiten für Zahl bei sieben Würfen

Die waagerechte Achse zählt Zahl-Ergebnisse und bezeichnet nicht die Reihenfolge der Würfe. Jeder Balken zeigt die Wahrscheinlichkeit genau dieser Anzahl.

Übungsaufgaben

In einer Tüte befinden sich $10$ Kugeln, die bis auf die Farbe genau gleich sind: $6$ rote und $4$ blaue Kugeln. Wir ziehen $5$ Kugeln nacheinander mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau $3$ rote Kugeln zu ziehen?
Ein Bogenschütze trifft sein Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von $80\%$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei $6$ Schüssen genau $4$ -mal trifft?
Eine Multiple-Choice-Prüfung hat pro Frage $4$ Antwortmöglichkeiten. Ein Schüler errät zufällig alle Antworten auf $8$ Fragen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau $2$ Fragen richtig beantwortet?

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau drei rote Kugeln bei fünf Ziehungen $mit Zurücklegen$ .

$Schritt 1$ : Parameter identifizieren.

$n = 5$ (Anzahl der Ziehungen)
$x = 3$ (Anzahl der gewünschten roten Kugeln)
$p = \frac{6}{10} = 0{,}6$ (Wahrscheinlichkeit, eine $rote Kugel$ zu ziehen)
$q = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$ (Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen)

$Schritt 2$ : Mit der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion berechnen.

P(X=3) = \binom{5}{3} (0{,}6)^3 (0{,}4)^2

Berechnen wir zunächst $\binom{5}{3}$ :

\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10

Dann:

= 10 \times (0{,}6)^3 \times (0{,}4)^2

Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, genau $3$ rote Kugeln zu ziehen, $0{,}3456$ oder ungefähr $34{,}6\%$ .

$Aufgabe 2$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau vier Treffer bei sechs Schüssen.

$Schritt 1$ : Parameter identifizieren.

$n = 6$ (Anzahl der Schüsse)
$x = 4$ (gewünschte Anzahl von Treffern)
$p = 0{,}8$ (Wahrscheinlichkeit, $das Ziel zu treffen$ )
$q = 0{,}2$ (Wahrscheinlichkeit eines Fehlschusses)

$Schritt 2$ : Mit der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion berechnen.

P(X=4) = \binom{6}{4} (0{,}8)^4 (0{,}2)^2

Berechnen wir zunächst $\binom{6}{4}$ :

\binom{6}{4} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15

Dann:

= 15 \times (0{,}8)^4 \times (0{,}2)^2

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Bogenschütze genau $4$ -mal trifft, beträgt somit $0{,}2458$ oder ungefähr $24{,}6\%$ .

$Aufgabe 3$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau zwei richtige Antworten bei acht geratenen Antworten.

$Schritt 1$ : Parameter identifizieren.

$n = 8$ (Anzahl der Fragen)
$x = 2$ (Anzahl der gewünschten richtigen Antworten)
$p = \frac{1}{4} = 0{,}25$ (Wahrscheinlichkeit der $richtigen Antwort durch Raten$ )
$q = \frac{3}{4} = 0{,}75$ (Wahrscheinlichkeit einer falschen Antwort)

$Schritt 2$ : Mit der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion berechnen.

P(X=2) = \binom{8}{2} (0{,}25)^2 (0{,}75)^6

Berechnen wir zunächst $\binom{8}{2}$ :

\binom{8}{2} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28

Dann:

= 28 \times (0{,}25)^2 \times (0{,}75)^6

Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler genau $2$ Fragen richtig beantwortet, ungefähr $0{,}3115$ oder $31{,}15\%$ .