Erwartungswert der Binomialverteilung

Die mittlere Trefferzahl über viele Versuchsreihen

Angenommen, jeder Freiwurf trifft unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit $p=0{,}8$ , und $X$ zählt die Treffer bei $n=10$ Versuchen. Dann gilt $E(X)=8$ : Über viele Serien mit je zehn Würfen nähert sich die mittlere Trefferzahl dem Wert $8$ .

Der Erwartungswert ist der $mit Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittelwert$ einer Zufallsvariablen. Er beschreibt einen langfristigen Durchschnitt, und eine einzelne Serie kann davon abweichen. Ein Erwartungswert kann außerdem nicht ganzzahlig sein, obwohl die Zufallsvariable selbst nur ganzzahlige Werte annimmt.

Erwartungswert einer Binomialverteilung

Eine binomialverteilte Zufallsvariable zählt Erfolge in einer festen Anzahl unabhängiger Versuche mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit. Ihr Erwartungswert gibt $die langfristige mittlere Zahl der Erfolge$ an. Er muss nicht mit der wahrscheinlichsten Erfolgszahl übereinstimmen, denn diese wird durch den Modus beschrieben.

Für die Binomialverteilung $b_{n,p}(x)$ gilt:

E(X) = np

Dabei ist $n$ die Zahl der Versuche und $p$ die Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs.

Den Erwartungswert herleiten

Die Formel folgt direkt daraus, dass jeder einzelne Versuch entweder null oder einen Erfolg beiträgt.

Wir beschreiben den $k$ -ten Versuch durch die Zufallsvariable $I_k$ . Sie hat den Wert $1$ bei $Erfolg$ und $0$ bei $Misserfolg$ .

Die Misserfolgswahrscheinlichkeit ist $q=1-p$ . Für den gewichteten Mittelwert $multiplizierst du jeden Indikatorwert mit seiner Wahrscheinlichkeit$ und addierst beide Beiträge.

Ergebnis	Indikator	Wahrscheinlichkeit	Beitrag
Erfolg	1	$p$	$1p=p$
Misserfolg	0	$q=1-p$	$0q=0$

Der erwartete Wert für einen einzelnen Versuch ist:

E(I_k) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p

Die Gesamtzahl der Erfolge $X$ ist die Summe dieser einzelnen Variablen:

X = I_1 + I_2 + ... + I_n

Erwartungswerte addieren sich. Daher gilt:

E(X) = E(I_1) + E(I_2) + ... + E(I_n)

Der Erwartungswert ist somit das Produkt aus Versuchszahl und Erfolgswahrscheinlichkeit.

Würfeln

$Aufgabe$ :

Ein fairer Würfel wird $7$ -mal geworfen. Wie oft ist dabei im Mittel eine Fünf zu erwarten?

$Lösung$ :

Wir prüfen die Voraussetzungen:

Es gibt nur zwei Möglichkeiten: $Erfolg$ (Würfeln einer $5$ ) oder $Misserfolg$ (Würfeln einer anderen Zahl als $5$ )
Feste Anzahl von Versuchen: $7$ Würfe
Jeder Wurf ist unabhängig: Das Ergebnis vorheriger Würfe hat keinen Einfluss auf nachfolgende Würfe
Gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit: $p = \frac{1}{6}$ bei jedem Wurf

Jetzt identifizieren wir die Parameter:

S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

Jetzt können wir den Erwartungswert direkt mit der Formel berechnen:

E(X) = np = 7 \times \frac{1}{6} = \frac{7}{6} \approx 1{,}167

Was bedeutet die Zahl $1{,}167$ ?

Der Erwartungswert $1{,}167$ bedeutet nicht, dass die Augenzahl $5$ in einer einzelnen Serie genau $1{,}167$ -mal fallen kann. Wiederholt man jedoch sehr viele Serien mit jeweils $7$ Würfen, erscheint die $5$ langfristig im Mittel etwa $1{,}167$ -mal pro Serie.

In einer Serie ist die Anzahl der Fünfen eine ganze Zahl $zwischen null und sieben$ . Der Erwartungswert beschreibt den Durchschnitt über viele Serien, kein vorgeschriebenes Ergebnis einer einzelnen Serie.