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Jacob Bernoullis Ars Conjectandi erschien nach seinem Tod im Jahr . Das Buch entwickelte grundlegende Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung, darunter Bernoullis Gesetz der großen Zahlen, und untersuchte wiederholte Erfolgs-Misserfolgs-Versuche, die heute seinen Namen tragen.
Bevor wir uns mit der Binomialverteilung befassen, müssen wir zunächst einige grundlegende Formeln lernen.
Zunächst die Kombinationsformel zum Auswählen von Objekten:
Zweitens Fakultät (sequentielle Multiplikation):
Nach Definition gilt .
Und drittens die Beziehung zwischen der Ereigniswahrscheinlichkeit und ihrem Komplement:
Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, und die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis nicht eintritt.
Eine binomialverteilte Zufallsvariable zählt Erfolge in wiederholten Versuchen. Jeder Versuch hat zwei einander ausschließende Ergebnisse, etwa Kopf oder Zahl bei einer Münze. Das als Erfolg bezeichnete Ergebnis wird gezählt.
Das Modell gilt nur bei einer festen Versuchszahl, unabhängigen Versuchen und gleichbleibender Erfolgswahrscheinlichkeit. Unabhängigkeit bedeutet, dass ein früheres Ergebnis die Wahrscheinlichkeit in einem späteren Versuch nicht verändert.
Anforderungen für Binomialexperimente:
Es gibt nur zwei mögliche Ergebnisse: Erfolg oder Misserfolg
Die Anzahl der Experimente ist vorgegeben und festgelegt
Die einzelnen Versuche sind voneinander unabhängig
Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist für jedes Experiment gleich
Für ein Binomialexperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit und Misserfolgswahrscheinlichkeit gibt die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion die Wahrscheinlichkeit für genau Erfolge in unabhängigen Versuchen an:
Wo:
= feste Anzahl der Versuche
= Anzahl der gezählten Erfolge
= Erfolgswahrscheinlichkeit in einem Versuch
= Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs in einem Versuch
Prüfe vor dem Einsetzen alle vier Binomialbedingungen. Andernfalls beschreibt dieses Wahrscheinlichkeitsmodell den Versuch möglicherweise nicht.
Betrachten wir eine faire Münze. Ihr Ergebnisraum enthält Kopf und Zahl:
Wenn „Zahl“ als Erfolg gilt, beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit . Für den Misserfolg „Kopf“ gilt entsprechend .
Aufgabe: Wir werfen die Münze -mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau -mal Zahl zu erhalten?
Lösung:
Zuerst ordnen wir die Parameter zu:
Nun verwenden wir die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion:
Berechnen wir zunächst :
Die vollständige Berechnung lautet also:
Die Wahrscheinlichkeit, bei Münzwürfen genau -mal Zahl zu erhalten, beträgt somit oder ungefähr .
In einer Tüte befinden sich Kugeln, die bis auf die Farbe genau gleich sind: rote und blaue Kugeln. Wir ziehen Kugeln nacheinander mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau rote Kugeln zu ziehen?
Ein Bogenschütze trifft sein Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei Schüssen genau -mal trifft?
Für jede Frage gibt es eine Multiple-Choice-Prüfung mit Antwortmöglichkeiten. Ein Schüler errät zufällig alle Antworten auf -Fragen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau Fragen richtig beantwortet?
Antwort zum Red-Ball-Problem
Schritt : Parameter identifizieren.
Schritt : Mit der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion berechnen.
Berechnen wir zunächst :
Dann:
Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, genau rote Kugeln zu ziehen, oder ungefähr .
Antwort zum Archer-Problem
Schritt : Parameter identifizieren.
Lösung zur Multiple-Choice-Prüfungsaufgabe
Schritt : Parameter identifizieren.
Schritt : Mit der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion berechnen.
Berechnen wir zunächst :
Dann:
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Bogenschütze genau -mal trifft, beträgt somit oder ungefähr .
Schritt : Mit der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion berechnen.
Berechnen wir zunächst :
Dann:
Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler genau Fragen richtig beantwortet, ungefähr oder .
