Arithmetische Folgen verstehen
Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern konstant ist. Diese gemeinsame Differenz wird mit bezeichnet.
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Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern konstant ist. Diese gemeinsame Differenz wird mit bezeichnet.
Betrachten wir die Zahlenfolge:
Die aufeinanderfolgenden Differenzen sind:
Da die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern immer beträgt, ist dies eine arithmetische Folge mit der gemeinsamen Differenz .
Die gemeinsame Differenz wird bestimmt, indem man jeweils ein Glied vom folgenden Glied abzieht:
Dabei gilt:
Das -te Glied einer arithmetischen Folge lässt sich mit folgender Formel bestimmen:
Dabei gilt:
Schreiben wir die ersten Glieder einer arithmetischen Folge aus:
Das Muster führt für das -te Glied zur allgemeinen Formel:
Dieselbe arithmetische Folge kann auch durch ihr erstes Glied und eine Regel für das jeweils nächste Glied definiert werden:
Die explizite Formel liefert jedes Glied direkt. Die rekursive Form baut die Folge dagegen Glied für Glied auf.
Die Sitzreihen eines Theaters haben unterschiedlich viele Plätze:
Um die Zahl der Plätze in einer beliebigen Reihe zu bestimmen, suchen wir zunächst die gemeinsame Differenz.
Schritt : Gemeinsame Differenz zwischen benachbarten Sitzreihen bestimmen
Die Zahl der Sitzplätze steigt von einer Reihe zur nächsten stets um . Damit bilden die Sitzplatzanzahlen eine arithmetische Folge mit:
Schritt : Zahl der Sitzplätze in Reihe berechnen
Es gibt also Sitzplätze in Reihe .
Dieses Ergebnis beschreibt nur die . Sitzreihe. Für die Gesamtzahl der Plätze in den ersten fünfzehn Reihen müsste stattdessen die zugehörige arithmetische Reihe summiert werden.
Eine arithmetische Folge steigt für , fällt für und bleibt für konstant. Zum Beispiel:
Das Vorzeichen der gemeinsamen Differenz zeigt somit, wie sich die Folge entwickelt.
In einer arithmetischen Folge ist das . Glied gleich und das . Glied gleich . Bestimme eine Formel für das -te Glied.
Für die allgemeine Formel benötigen wir das erste Glied und die gemeinsame Differenz .
Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten und bestimmen so :
Anschließend setzen wir in die erste Gleichung ein und bestimmen :
Mit und erhalten wir das -te Glied:
Die Formel lautet also .
Zur Kontrolle setzen wir und ein. Dabei müssen die beiden gegebenen Glieder wieder entstehen:
Rudi zahlt jeden Monat einen Betrag auf sein Bankkonto ein. Der Einzahlungsbetrag steigt monatlich um einen konstanten Wert. Im . Monat zahlt er ein, im . Monat .
Um welchen Betrag steigt die monatliche Einzahlung?
Wie hoch war die Einzahlung im ersten Monat?
Die monatlichen Einzahlungen bilden eine arithmetische Folge, weil ihre Zunahme konstant ist.
Monatliche Zunahme bestimmen
Wir subtrahieren Gleichung von Gleichung :
Die monatliche Einzahlung steigt also um .
Einzahlung im ersten Monat bestimmen
Nun setzen wir in Gleichung ein und bestimmen :
Im ersten Monat zahlte Rudi somit ein.