Arithmetische Folge

Gleiche Differenzen zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern

Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern konstant ist. Diese gemeinsame Differenz wird mit $b$ bezeichnet. Um zu prüfen, ob eine Zahlenfolge arithmetisch ist, ziehst du jedes Glied vom nächsten ab und prüfst, ob jede Subtraktion dieselbe Zahl ergibt.

Beispiele für arithmetische Folgen

Jedes Glied dieser Folge wächst um $2$:

Die aufeinanderfolgenden Differenzen sind:

• Differenz zwischen dem zweiten und dem ersten Glied: $6 - 4 = 2$
• Differenz zwischen dem dritten und dem zweiten Glied: $8 - 6 = 2$
• Differenz zwischen dem vierten und dem dritten Glied: $10 - 8 = 2$

Da die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern immer $2$ beträgt, ist dies eine arithmetische Folge mit der gemeinsamen Differenz $b = 2$.

Gemeinsame Differenz

Die gemeinsame Differenz $b$ wird bestimmt, indem man jeweils ein Glied vom folgenden Glied abzieht:

Dabei gilt:

• $U_n$ ist das $n$-te Glied.
• $U_{n-1}$ ist das vorherige Glied, also das Glied an Position $n-1$.

Formel für ein beliebiges Folgenglied

Zwei Formen beschreiben dieselbe arithmetische Folge. Die allgemeine Formel liefert jedes Glied aus seiner Position mit dem ersten Glied und der gemeinsamen Differenz. Die rekursive Form erzeugt jedes Glied aus dem vorherigen Glied.

Allgemeines Glied der arithmetischen Folge

Das $n$-te Glied einer arithmetischen Folge lässt sich mit folgender Formel bestimmen:

Dabei gilt:

• $U_n$ = $n$-tes Glied
• $a$ = erstes Glied
• $n$ = Gliednummer
• $b$ = gemeinsame Differenz

Ableitung der Formel

Schreiben wir die ersten Glieder einer arithmetischen Folge aus:

Vom ersten zum vierten Glied brauchst du drei Schritte, nicht vier. Bei jedem Schritt addierst du dieselbe Differenz.

Das Muster führt für das $n$-te Glied zur allgemeinen Formel:

Rekursive Form

Dieselbe arithmetische Folge kann auch durch ihr erstes Glied und eine Regel für das jeweils nächste Glied definiert werden:

Die explizite Formel liefert jedes Glied direkt. Die rekursive Form baut die Folge dagegen Glied für Glied auf.

Anwendungen arithmetischer Folgen

Jedes Beispiel unten nennt einen Startwert und eine konstante Änderung pro Schritt. Im Beispiel mit dem Theatersaal wächst die Sitzzahl pro Reihe um vier Sitze, und die allgemeine Formel liefert die Sitzzahl für jede Reihennummer.

Sitzreihen in einem Theater

In diesem Theater wächst die Zahl der Sitzplätze von Reihe zu Reihe:

• Reihe $1$ hat $20$ Sitzplätze.
• Reihe $2$ hat $24$ Sitzplätze.
• Reihe $3$ hat $28$ Sitzplätze.
• Reihe $4$ hat $32$ Sitzplätze.
• Reihe $5$ hat $36$ Sitzplätze.

Um die Zahl der Plätze in einer beliebigen Reihe zu bestimmen, suchen wir zunächst die gemeinsame Differenz.

Schritt 1: Gemeinsame Differenz zwischen benachbarten Sitzreihen bestimmen

• $\text{Reihe}2 - \text{Reihe}1$: $24 - 20 = 4$
• $\text{Reihe}3 - \text{Reihe}2$: $28 - 24 = 4$
• $\text{Reihe}4 - \text{Reihe}3$: $32 - 28 = 4$
• $\text{Reihe}5 - \text{Reihe}4$: $36 - 32 = 4$

Die Zahl der Sitzplätze steigt von einer Reihe zur nächsten stets um $4$. Damit bilden die Sitzplatzanzahlen eine arithmetische Folge mit:

• erstem Glied $a = 20$
• gemeinsamer Differenz $b = 4$

Schritt 2: Zahl der Sitzplätze in Reihe $15$ berechnen

Es gibt also $76$ Sitzplätze in Reihe $15$.

Dieses Ergebnis zählt die Plätze einer einzigen Reihe, der $15$. Sitzreihe. Für die Gesamtzahl der Plätze in den ersten fünfzehn Reihen summierst du die zugehörige arithmetische Reihe.

Steigende fallende und konstante Folgen

Eine arithmetische Folge steigt für $b>0$, fällt für $b<0$ und bleibt für $b=0$ konstant. Zum Beispiel:

Das Vorzeichen der gemeinsamen Differenz zeigt somit, wie sich die Folge entwickelt.

Erste Übung

Diese Aufgabe gibt zwei Glieder einer arithmetischen Folge an bekannten Positionen und verlangt die allgemeine Formel. Jede Position ergibt eine Gleichung, und die gemeinsame Lösung beider Gleichungen liefert das erste Glied und die gemeinsame Differenz.

In einer arithmetischen Folge ist das $3$. Glied gleich $9$ und das $6$. Glied gleich $18$. Bestimme eine Formel für das $n$-te Glied.

Lösung zur ersten Übung

Für die allgemeine Formel benötigen wir das erste Glied $(a)$ und die gemeinsame Differenz $(b)$.

Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten und bestimmen so $b$:

Anschließend setzen wir $b$ in die erste Gleichung ein und bestimmen $a$:

Mit $a = 3$ und $b = 3$ erhalten wir das $n$-te Glied:

Die Formel lautet also $U_n = 3n$.

Zur Kontrolle setzen wir $n=3$ und $n=6$ ein. Dabei müssen die beiden gegebenen Glieder wieder entstehen:

Zweite Übung

Rudi zahlt jeden Monat einen Betrag auf sein Bankkonto ein. Der Einzahlungsbetrag steigt monatlich um einen konstanten Wert. Im $5$. Monat zahlt er $\text{Rp}70{.}000{,}00$ ein, im $9$. Monat $\text{Rp}90{.}000{,}00$.

1. Um welchen Betrag steigt die monatliche Einzahlung?

2. Wie hoch war die Einzahlung im ersten Monat?

Lösung zur zweiten Übung

Jedes Glied beschreibt die Einzahlung eines Monats, nicht den Kontostand. Zwischen dem fünften und dem neunten Monat liegen vier Monate. Die Differenz der Einzahlungen umfasst deshalb vier gleiche Erhöhungen.

Aufgabe 1. Schreibe die Einzahlungen im fünften und neunten Monat mit der Formel für das allgemeine Glied auf, um die monatliche Zunahme zu bestimmen:

Wir subtrahieren Gleichung 1 von Gleichung 2:

Die monatliche Einzahlung steigt also um $\text{Rp}5{.}000{,}00$.

Aufgabe 2. Für die Einzahlung im ersten Monat setzen wir $b = 5{.}000$ in Gleichung (1) ein und bestimmen $a$:

Im ersten Monat zahlte Rudi somit $\text{Rp}50{.}000{,}00$ ein.