Arithmetische Reihe
Eine arithmetische Reihe ist die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge. Zwischen den aufeinanderfolgenden Gliedern dieser Folge liegt die .
Nakafa
Kostenlose Lernmaterialien.For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Summiert werden also Glieder mit dem Muster .
Die Summe der ersten Glieder wird mit bezeichnet und lässt sich so berechnen:
Eine gleichwertige Formel ist:
Dabei ist das erste Glied und das -te Glied.
Ein Stapel bestehe in der ersten Schicht aus Stein, in der zweiten aus Steinen und in der dritten aus Steinen. Die gemeinsame Differenz beträgt . Die arithmetische Reihe gibt die Gesamtzahl der Steine in den ersten Schichten an.
Eine geometrische Reihe ist die Summe der Glieder einer geometrischen Folge. Der konstante gemeinsame Quotient aufeinanderfolgender Glieder wird mit bezeichnet.
Summiert werden also Glieder mit dem Muster .
Für die Summe der ersten Glieder gilt:
Diese Formel gilt für . Dabei ist das erste Glied und der Quotient.
Für sind alle Glieder gleich . Dann gilt der Sonderfall:
Eine Werkstatt fertige in aufeinanderfolgenden Stunden , dann und anschließend neue Bauteile. Die Stundenproduktion hat den Quotienten . Die geometrische Reihe beschreibt die kumulative Produktion über . In den ersten entstehen insgesamt .
Die Tabelle stellt die beiden Summenformeln nebeneinander, sodass sich das addierte Glied und die entstehende Formel Zeile für Zeile vergleichen lassen.
| Merkmal | Arithmetische Reihe | Geometrische Reihe |
|---|---|---|
| Grundlage | Summe der Glieder einer arithmetischen Folge mit gemeinsamer Differenz | Summe der Glieder einer geometrischen Folge mit Quotient |
| Summenformel | ||
| Muster | Konstante Addition/Subtraktion | Konstante Multiplikation/Division |
Für die arithmetische Reihe:
Die gemeinsame Differenz ist . Daher:
Für die geometrische Reihe:
Der gemeinsame Quotient ist . Daher:
Arithmetische Glieder hängen linear vom Index ab. Ihre Partialsummen sind quadratisch, wenn die Differenz ungleich null ist. In einer geometrischen Folge wird jedes Glied mit einem festen Quotienten multipliziert. Ein positiver Quotient ungleich eins ergibt ein exponentielles Muster. Bei einem negativen Quotienten wechseln die Vorzeichen.
Vergleiche für die beiden berechneten Beispiele, welche Summe nach jedem zusätzlichen Glied entsteht:
| Anzahl der Glieder | Arithmetische Summe | Geometrische Summe |
|---|---|---|
Der Name einer Reihe bezieht sich auf die Folge ihrer Glieder. Er sagt nicht, dass die Partialsummen selbst eine arithmetische oder geometrische Folge bilden.
Klassifiziere jede Reihe und berechne ihre Summe. Bestimme den Typ aus den Gliedern selbst und wende dann die passende Summenformel an. Beide Reihen sind kurz genug, um das Formelergebnis durch direktes Addieren zu prüfen.
Aufgabe 1. Die erste Reihe ist arithmetisch mit . Berechne ihre Summe aus dem ersten und letzten Glied:
Aufgabe 2. Die zweite Reihe ist geometrisch mit . Berechne ihre Summe mithilfe dieses Quotienten:
Veröffentlicht: . Aktualisiert: .