Ein springender Ball
Ein Tennisball fällt aus einer Höhe von . In einem idealisierten Modell erreicht jeder Sprung der vorherigen Höhe.
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Ein Tennisball fällt aus einer Höhe von . In einem idealisierten Modell erreicht jeder Sprung der vorherigen Höhe.
Die Abwurfhöhe und die anschließenden Rücksprunghöhen bilden eine geometrische Folge:
Das erste Glied () ist , der Faktor () ist .
Wie groß ist die Gesamtstrecke, die der Ball vom Loslassen bis zum Stillstand zurücklegt?
Im idealisierten Modell bewegt sich der Ball nach unten, dann nach oben, wieder nach unten und so weiter, ohne einen letzten Sprung. Die Gesamtstrecke setzt sich aus allen Abwärts- und Aufwärtswegen zusammen. Da ihre Längen ein unendliches geometrisches Muster bilden, berechnen wir sie mit einer unendlichen geometrischen Reihe.
Die mathematische Reihe besitzt keinen letzten Sprung. Ihre Teilsummen können sich dennoch einem endlichen Grenzwert nähern. Bei einer geometrischen Reihe geschieht das, wenn der Betrag des Faktors kleiner als ist.
Eine solche Reihe heißt konvergent: Ihre Teilsummen nähern sich einem bestimmten endlichen Wert. Im Ballbeispiel gilt . Wegen ist die Reihe konvergent.
Wenn und , nähern sich die Glieder nicht null. Die Reihe ist dann divergent. Ihre Teilsummen können unbegrenzt wachsen, unbegrenzt abnehmen oder oszillieren. Divergenz bedeutet, dass kein endlicher Grenzwert existiert. Das Ergebnis muss nicht oder sein.
Wie berechnen wir die Summe einer konvergenten unendlichen Reihe? Wir beginnen mit der Formel für die Summe der ersten Glieder einer geometrischen Reihe:
Für eine unendliche Reihe betrachten wir , wenn immer größer wird. Ist die Reihe konvergent (), nähert sich dem Wert null, wenn gegen unendlich geht. Zum Beispiel: , , . Je größer wird, desto näher liegt bei .
Für und gilt also . Die Formel lautet:
Somit lautet die Formel für die Summe einer konvergenten unendlichen geometrischen Reihe:
Dabei gilt:
Betrachte die Reihe:
Hier und , also:
Keine endliche Teilsumme ist gleich , aber die Teilsummen können beliebig nahe an herankommen. Die unendliche Summe ist die Grenze dieser endlichen Teilsummen.
Mit der Formel können wir die vom Ball zurückgelegte Gesamtstrecke berechnen. Der Weg besteht aus zwei Teilen:
Abwärtsstrecke: Der Ball fällt aus der Höhe , nach dem ersten Sprung erneut um , nach dem zweiten Sprung um und so weiter.
Aufwärtsstrecke: Nach dem ersten Aufprall steigt der Ball um , nach dem zweiten um und so weiter.
Für das Tennisball-Beispiel mit und :
Das Modell ergibt also eine Gesamtstrecke von .
Dies ist ein idealisiertes mathematisches Modell. Ein echter Ball vollführt nicht unendlich viele messbare Sprünge und sein Sprungverhältnis ist nicht vollkommen konstant.
Eine zweite Berechnung: Die Gesamtstrecke lässt sich auch als erste Abwärtsstrecke plus der Summe aller Aufwärtsstrecken berechnen.
Beide Wege führen zum selben Ergebnis.
Berechne die Summe:
Hier und . Da konvergiert die Reihe:
Durch den negativen Faktor wechseln sich die Vorzeichen der Glieder ab. Ihre Beträge werden jedoch schnell genug kleiner, sodass sich die Teilsummen dem Wert nähern.