Grundlagen von Folgen

Zahlen mit einer festen Position verknüpfen

Eine Zahlenfolge ordnet Zahlen in einer festgelegten Reihenfolge an. Jede Zahl in der Folge heißt Glied. Dafür verwenden wir folgende Notation:

• Das Glied mit Index $1$ wird mit $U_1$ bezeichnet
• Das Glied mit Index $2$ wird mit $U_2$ bezeichnet
• Das Glied mit Index $3$ wird mit $U_3$ bezeichnet
• Das allgemeine Glied wird mit $U_n$ bezeichnet

Wenn wir das Muster einer Folge verstehen, können wir weitere Glieder bestimmen und eine Formel für das allgemeine Glied aufstellen.

Genauer gesagt weist eine Folge jedem zulässigen Index einen Wert zu:

Die Reihenfolge gehört zur Definition. Die Folgen $1,2,3,\ldots$ und $3,2,1,\ldots$ können dieselben Zahlen enthalten, sind aber nicht dieselbe Folge.

Explizite und rekursive Regeln

Eine explizite Regel berechnet ein Glied direkt aus seinem Index. Zum Beispiel:

Das ergibt $3,5,7,9,\ldots$. Eine rekursive Regel gibt ein Anfangsglied an und beschreibt, wie das nächste Glied entsteht:

Beide Regeln beschreiben dieselbe Folge. Mit der expliziten Form lässt sich ein weit entferntes Glied direkt berechnen. Die rekursive Form berechnet dagegen jedes neue Glied aus dem vorherigen.

Zahlenmuster aus Tischen und Stühlen

Ein einfaches Zahlenmuster entsteht, wenn quadratische Tische in einer Reihe zusammengestellt werden:

Um $1 \text{ Tisch}$ mit quadratischer Platte lassen sich $4$ Stühle stellen.

Werden $2 \text{ Tische}$ aneinandergestellt, passen $6$ Stühle um die gemeinsame Tischfläche.

Wir können eine Tabelle erstellen, um das Muster zu beobachten:

In einer geraden Reihe bietet jeder Tisch zwei Stühle an den Längsseiten. Zwei weitere Stühle stehen an den beiden Enden der Reihe. Bei $n$ Tischen gibt es daher $2n$ Stühle an den Seiten und $2$ an den Enden.

Mit jedem zusätzlichen $1 \text{ Tisch}$ kommen $2$ weitere Stühle hinzu. Das Muster wird durch folgende Formel beschrieben:

Dabei gilt:

• $U_n$ ist die Anzahl der Stühle
• $n$ ist die Anzahl der Tische

Das gleiche Muster kann rekursiv geschrieben werden:

Mit der Regel eine Sitzfrage beantworten

Eine Folgenregel kann eine Zählfrage direkt beantworten. Im Beispiel unten wandelt die Regel eine Personenzahl in eine Tischanzahl um. Setze die Zahl der Personen in die Regel ein und prüfe anschließend, ob das Ergebnis zum beschriebenen Aufbau passt.

Bestimmen der Anzahl der Stühle und Tische

Mit der Folgenregel lässt sich zum Beispiel diese Frage beantworten:

Wie viele Tische müssen zusammengestellt werden, damit $20 \text{ Personen}$ jeweils einen Stuhl haben?

Wir können die Formel $U_n = 2n + 2$ mit $U_n = 20$ verwenden, also:

Es müssen also $9 \text{ Tische}$ zusammengestellt werden, damit $20 \text{ Personen}$ Platz finden.

Typen von Folgen

Nach ihrem Muster lassen sich Zahlenfolgen in verschiedene Typen einteilen. Die beiden häufigsten addieren eine feste Differenz oder multiplizieren mit einem festen Quotienten, und für beide gibt es eigene Formeln.

Arithmetische Folge

Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern konstant. Diese konstante Differenz wird mit $b$ bezeichnet. In der Folge $2, 4, 6, 8, 10, \ldots$ beträgt die Differenz $2$, weil jedes Glied um zwei größer ist als das vorige.

Geometrische Folge

Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant. Dieser Faktor wird mit $r$ bezeichnet. In der Folge $2, 6, 18, 54, \ldots$ beträgt der Faktor $3$, weil jedes Glied das Dreifache des vorigen ist.

Weitere Folgen

Neben arithmetischen und geometrischen Folgen gibt es viele andere Arten wie Fibonacci-Folgen, quadratische Folgen und kubische Folgen. Eine Fibonacci-Folge beginnt mit $0$ und $1$, und jedes weitere Glied ist die Summe der beiden vorigen, ihr Muster lässt sich also nicht als feste Differenz oder fester Quotient schreiben.

Die ersten Glieder der Fibonacci-Folge lauten $0,1,1,2,3,5,8,13,\ldots$.

Für Indizes $n\geq1$ liefert die Summe der beiden vorherigen Glieder die Fibonacci-Rekursion:

Endlich viele Glieder bestimmen keine eindeutige Regel

Eine kurze Liste von Gliedern kann ein plausibles Muster nahelegen, erzwingt aber keine eindeutige Fortsetzung. Die Folge $1,2,4$ könnte mit $8,16,\ldots$ weitergehen, wenn jedes Glied verdoppelt wird. Eine andere Regel könnte zu den ersten drei Gliedern passen und sich ab dem vierten Glied unterscheiden.

Zwei Regeln stimmen an den ersten drei Positionen überein: $A_n=2^{n-1}$ und $B_n=1+\frac{n(n-1)}2$. Ab der vierten Position unterscheiden sich die Werte:

Eine vollständig definierte Folge braucht eine eindeutige Regel oder genügend Bedingungen. Ein erkanntes Muster liefert eine Vermutung. Ein Beweis benötigt eine Regel, die jedes Glied bestimmt.

Muster finden

So lässt sich das Muster einer Folge untersuchen:

1. Berechne die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder.
2. Prüfe, ob die Differenz konstant ist. Dann liegt eine arithmetische Folge vor.
3. Falls nicht, prüfe, ob der Quotient konstant ist. Dann liegt eine geometrische Folge vor.
4. Trifft beides nicht zu, untersuche andere mögliche Regeln.

Eine Folge ordnet jedem Index ein Glied zu. Ihre Regel kann explizit, rekursiv oder auf eine andere Weise angegeben werden.

Übung

Betrachte die Folge $V_n=n^2-n$ für positive ganze Zahlen $n$. Die explizite Formel berechnet ein Glied aus seiner Position. Eine rekursive Regel benötigt einen Anfangswert und einen Zusammenhang zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern.

1. Bestimme die ersten fünf Glieder.
2. Gib eine rekursive Regel für die Folge an.

Lösungen

Aufgabe 1. Setze $n=1,2,3,4,5$ in die gegebene Gliedformel ein.

Aufgabe 2. Eine rekursive Regel beschreibt das nächste Glied mithilfe des vorherigen Glieds:

Das rekursive Inkrement ist $2n$, weil: