Geometrische Reihe

Die monatlichen Stückzahlen bilden eine geometrische Folge. Addiert man die neuen Chargen vom ersten bis zu einem gewählten Monat, entsteht eine geometrische Reihe. Da jede Charge neu hinzukommt, werden keine Setzlinge doppelt gezählt.

Eine geometrische Reihe ist die Summe der Glieder einer geometrischen Folge. Bei dieser Folge entsteht jedes Glied durch Multiplikation des vorherigen Gliedes mit einem konstanten Faktor $r$.

Für die Setzlinge gilt:

• Das erste Glied $a$ beziehungsweise $U_1$ ist $4$.
• Der Faktor ist $(r) = \frac{12}{4} = \frac{36}{12} = \frac{108}{36} = \frac{324}{108} = 3$.

Die Folge der monatlichen Chargen lautet $4, 12, 36, 108, 324$. Die geometrische Reihe entsteht durch Addition ihrer Glieder:

• Summe der ersten $2 \text{Monate}$ $(S_2) = 4 + 12 = 16$
• Summe der ersten $3 \text{Monate}$ $(S_3) = 4 + 12 + 36 = 52$
• Summe der ersten $4 \text{Monate}$ $(S_4) = 4 + 12 + 36 + 108 = 160$
• und so weiter.

Formel für die Summe der ersten Glieder herleiten

Wie lässt sich die Summe der ersten $n$ Glieder $(S_n)$ berechnen, ohne jedes Glied einzeln zu addieren?

Die Tabelle zeigt das Muster anhand der Setzlingsfolge:

Für $r\ne1$ liefert die rechte untere Zelle die allgemeine Form:

Für das $n$-te Glied einer geometrischen Folge gilt $U_n = ar^{n-1}$. Daher ist $U_{n+1} = ar^{(n+1)-1} = ar^n$. Setzen wir $U_{n+1} = ar^n$ und $U_1 = a$ in die Formel für $S_n$ ein:

Damit ist die Summe der ersten $n$ Glieder bestimmt.

Eine zweite Herleitung multipliziert die Summe mit $r$ und subtrahiert beide Zeilen:

Die mittleren Glieder heben sich auf. Deshalb enthält das Ergebnis nur das erste Glied und die Potenz unmittelbar nach dem letzten Glied.

Geometrische Reihenformel

Für die Summe der ersten $n$ Glieder gilt:

Eine äquivalente Form ist

Beide Formen gelten für positive und negative Faktoren, solange $r\ne1$. Für $r=1$ sind alle Glieder gleich $a$. Dann gilt:

Dabei gilt:

• $S_n$ = Summe der ersten $n$ Glieder
• $a$ = erstes Glied $(U_1)$
• $r$ = konstanter Faktor, hier mit $(r \neq 1)$
• $n$ = Anzahl der Glieder

Beispielanwendung

Die Monatsproduktion eines Fahrradunternehmens bildet im Jahr $2020$ ein idealisiertes geometrisches Muster. Im Januar werden $120 \text{Einheiten}$ produziert, im April $3{.}240 \text{Einheiten}$. Gesucht ist die gesamte Produktion von Januar bis Mai.

Lösung:

• Januar-Produktion $(U_1) = a = 120$
• April-Produktion $(U_4) = 3{.}240$
• Gesucht: Gesamtproduktion bis Mai $(S_5)$

Schritt $1$: Faktor $(r)$ bestimmen

Schritt $2$: $S_5$ berechnen. Da $r = 3 > 1$, verwenden wir die passende Form der Summenformel:

Die gesamte Fahrradproduktion von Januar bis Mai beträgt $14{.}520 \text{Einheiten}$.

Die Addition ist sinnvoll, weil jeder Monatswert neu produzierte Fahrräder beschreibt. Wiederholte Messungen eines unveränderten Bestands dürften dagegen nicht addiert werden, weil dieselben Objekte sonst mehrfach gezählt würden.

Übung: Ein negativer Faktor

Berechne die endliche Summe:

Das erste Glied ist $a=81$, der Faktor ist $r=-\frac13$, und die Reihe enthält $n=5$ Glieder. Daher:

Die direkte Addition bestätigt das Ergebnis: $81-27+9-3+1=61$.