Geometrische Reihe

Monatliche Setzlingsmengen zu einer Gesamtsumme addieren

Eine Gärtnerei ziehe jeden Monat eine neue Charge Setzlinge nach folgendem idealisierten Muster heran:

Monat	Januar	Februar	März	April	Mai
Neu herangezogene Setzlinge	$4$	$12$	$36$	$108$	$324$

Die monatlichen Stückzahlen bilden eine geometrische Folge. Addiert man die neuen Chargen vom ersten bis zu einem gewählten Monat, entsteht eine $geometrische Reihe$ . Da jede Charge neu hinzukommt, werden keine Setzlinge doppelt gezählt.

Eine geometrische Reihe ist $die Summe der Glieder einer geometrischen Folge$ . Bei dieser Folge entsteht jedes Glied durch Multiplikation des vorherigen Gliedes mit einem konstanten Faktor $r$ .

Für die Setzlinge gilt:

Das erste Glied $a$ beziehungsweise $U_1$ ist $4$ .
Der Faktor ist $(r) = \frac{12}{4} = \frac{36}{12} = \frac{108}{36} = \frac{324}{108} = 3$ .

Die Folge der monatlichen Chargen lautet $4, 12, 36, 108, 324$ . Die geometrische Reihe entsteht durch Addition ihrer Glieder:

Summe der ersten $2 \text{ Monate}$ $(S_2) = 4 + 12 = 16$
Summe der ersten $3 \text{ Monate}$ $(S_3) = 4 + 12 + 36 = 52$
Summe der ersten $4 \text{ Monate}$ $(S_4) = 4 + 12 + 36 + 108 = 160$
und so weiter.

Formel für die Summe der ersten Glieder herleiten

Der entscheidende Schritt ist $die Subtraktion zweier fast gleicher Summen$ . Multipliziere die Setzlingssumme der ersten drei Monate mit dem Faktor drei. Die Glieder 12 und 36 kommen dann in beiden Summen vor und heben sich auf.

\begin{aligned}S_3&=4+12+36\\3S_3&=12+36+108\\3S_3-S_3&=108-4\\2S_3&=104\\S_3&=52\end{aligned}

Wende dieselbe Subtraktion auf eine Summe mit Anfangsglied $a$ , Faktor $r$ und $n$ Gliedern an. Die Multiplikation mit dem Faktor verschiebt jedes Glied um eine Position:

S_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}

Es bleiben nur $das erste Glied und das Glied nach dem letzten$ übrig. Mit $U_1=a$ und $U_{n+1}=ar^n$ dürfen wir für $r\ne1$ beide Seiten durch $r-1$ teilen:

\begin{aligned}S_n&=\frac{U_{n+1}-U_1}{r-1}\\&=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\end{aligned}

Geometrische Reihenformel

Für die Summe der ersten $n$ Glieder gilt:

S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1},\quad r\ne1

Eine äquivalente Form ist

S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r},\quad r\ne1

Beide Formen gelten für positive und negative Faktoren, solange $r\ne1$ . Für $r=1$ sind alle Glieder gleich $a$ . Dann gilt:

S_n=na

Beim Faktor eins wäre die Division durch $r-1$ eine $Division durch null$ . Addiere stattdessen direkt, zum Beispiel $5+5+5+5=4\cdot5=20$ . Beim Faktor null kann nur das erste Glied ungleich null sein, also gilt $S_n=a$ .

$Dabei gilt$ :

$S_n$ = Summe der ersten $n$ Glieder
$a$ = erstes Glied $(U_1)$
$r$ = konstanter Faktor, hier mit $(r \neq 1)$
$n$ = Anzahl der Glieder

Die gesamte Fahrradproduktion berechnen

Die Monatsproduktion eines Fahrradunternehmens bildet im Jahr $2020$ ein idealisiertes geometrisches Muster. Im Januar werden $120 \text{ Einheiten}$ produziert, im April $3{.}240 \text{ Einheiten}$ . Gesucht ist die gesamte Produktion von Januar bis Mai.

$Lösung$ :

Januar-Produktion $(U_1) = a = 120$
April-Produktion $(U_4) = 3{.}240$
Gesucht: Gesamtproduktion bis Mai $(S_5)$

$Schritt 1$ : Faktor $(r)$ bestimmen

U_4 = ar^{4-1} = ar^3

$Schritt 2$ : $S_5$ berechnen. Da $r = 3 > 1$ , verwenden wir die passende Form der Summenformel:

S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}

Die gesamte Fahrradproduktion von Januar bis Mai beträgt $14{.}520 \text{ Einheiten}$ .

Die Addition ist sinnvoll, weil jeder Monatswert neu produzierte Fahrräder beschreibt. Wiederholte Messungen eines unveränderten Bestands dürften dagegen nicht addiert werden, weil dieselben Objekte sonst mehrfach gezählt würden.

Übung mit einem negativen Faktor

Berechne die $endliche Summe$ :

81-27+9-3+1

Das erste Glied ist $a=81$ , der Faktor ist $r=-\frac13$ , und die Reihe enthält $n=5$ Glieder. Daher:

S_5=81\left(\frac{1-(-1/3)^5}{1-(-1/3)}\right)

Die direkte Addition bestätigt das Ergebnis: $81-27+9-3+1=61$ .