Unendliche geometrische Reihe

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\frac{1}{4}

Die Abwurfhöhe und die anschließenden Rücksprunghöhen bilden eine $geometrische Folge$ :

1, \quad 1 \times \frac{1}{4}, \quad (1 \times \frac{1}{4}) \times \frac{1}{4}, \quad \dots

Das erste Glied ( $a$ ) ist $1$ , der Faktor ( $r$ ) ist $\frac{1}{4}$ .

Wie groß ist die Gesamtstrecke, die der Ball vom Loslassen bis zum Stillstand zurücklegt?

Im idealisierten Modell bewegt sich der Ball nach unten, dann nach oben, wieder nach unten und so weiter, ohne einen letzten Sprung. Die Gesamtstrecke setzt sich aus allen Abwärts- und Aufwärtswegen zusammen. Da ihre Längen ein unendliches geometrisches Muster bilden, berechnen wir sie mit einer $unendlichen geometrischen Reihe$ .

Die Bedingung für Konvergenz

Die mathematische Reihe besitzt keinen letzten Sprung. Ihre Teilsummen können sich dennoch einem endlichen Grenzwert nähern. Bei einer geometrischen Reihe geschieht das, wenn der Betrag des Faktors $r$ kleiner als $1$ ist.

|r| < 1 \quad \text{oder} \quad -1 < r < 1

Eine solche Reihe heißt $konvergent$ : Ihre Teilsummen nähern sich $einem endlichen Wert$ . Im Ballbeispiel gilt $r = \frac{1}{4}$ . Wegen $-1 < \frac{1}{4} < 1$ ist die Reihe konvergent.

Wenn $|r| \ge 1$ und $a\ne0$ , nähern sich die Glieder nicht null. Die Reihe ist dann $divergent$ . Ihre Teilsummen können unbegrenzt wachsen, unbegrenzt abnehmen oder oszillieren. Divergenz bedeutet, dass kein endlicher Grenzwert existiert. Das Ergebnis muss nicht $+\infty$ oder $-\infty$ sein.

Berechnen der Summe einer unendlichen Reihe

Für eine $konvergente unendliche Reihe$ beginnen wir mit der Formel für die Summe der ersten $n$ Glieder einer geometrischen Reihe:

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

Für eine unendliche Reihe betrachten wir $S_n$ , wenn $n$ immer größer wird. Ist die Reihe konvergent ( $-1 < r < 1$ ), nähert sich $r^n$ dem Wert null, wenn $n$ gegen unendlich geht. Zum Beispiel: $(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$ , $(\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$ , $(\frac{1}{4})^{10} \approx 0{,}00000095$ . Je größer $n$ wird, desto näher liegt $(\frac{1}{4})^n$ bei $0$ .

Für $n \to \infty$ und $-1 < r < 1$ gilt also $r^n \to 0$ . Die Formel lautet:

\begin{aligned} S_\infty &= \lim_{n \to \infty} S_n \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \\ &= \frac{a(1 - 0)}{1 - r} \end{aligned}

Somit lautet die Formel für die Summe einer konvergenten unendlichen geometrischen Reihe:

S_\infty = \frac{a}{1 - r}

Dabei gilt:

$S_\infty$ = Summe der unendlichen Reihe
$a$ = erstes Glied
$r$ = Faktor mit $-1<r<1$

Kontrolle mit halbierten Strecken

Betrachte die Reihe:

1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots

Hier $a=1$ und $r=\frac12$ , also:

S_\infty=\frac{1}{1-1/2}=2

Keine endliche Teilsumme ist gleich $2$ , aber die Teilsummen können beliebig nahe an $2$ herankommen. Die unendliche Summe ist die Grenze dieser endlichen Teilsummen.

Partialsummen nähern sich zwei

Die Punkte zeigen die Summe nach 1 bis 6 Gliedern. Verbindungslinien verdeutlichen nur ihre Reihenfolge. Die waagerechte Linie markiert den Grenzwert 2. Drehe oder vergrößere die Ansicht und vergleiche die Punkte mit dieser Linie.

Auch den Abstand zum Grenzwert kannst du berechnen. Nach sechs Gliedern beträgt die Summe $1{,}96875$ und der Abstand $0{,}03125$ . Mit jedem weiteren Glied halbiert sich $der verbleibende Abstand zum Grenzwert$ .

S_n=2-2^{1-n},\qquad 2-S_n=2^{1-n}

Berechnung der Gesamtstrecke

Mit der Formel $S_\infty$ können wir die vom Ball zurückgelegte Gesamtstrecke berechnen. Der Weg besteht aus zwei Teilen:

$Zähle den ersten Fall einmal$ . Jede Rücksprunghöhe durchläuft der Ball danach zweimal, einmal aufwärts und einmal abwärts. Trenne die beiden Richtungen, damit kein Teil des Weges fehlt.

Richtung	Durchlaufene Höhen	Erstes Glied	Streckensumme
Abwärts	$a,ar,ar^2,\ldots$	$a$	$S_{\downarrow}=\frac{a}{1-r}$
Aufwärts	$ar,ar^2,ar^3,\ldots$	$ar$

Die Gesamtstrecke ist die Summe aller Abwärtsstrecken und aller Aufwärtsstrecken.

\begin{aligned} \text{Gesamt} &= S_{\downarrow} + S_{\uparrow} \\ &= \frac{a}{1 - r} + \frac{ar}{1 - r} \end{aligned}

Für das Tennisball-Beispiel mit $a = 1 \text{ Meter}$ und $r = \frac{1}{4}$ :

\begin{aligned}\text{Gesamt} &= \frac{1(1 + \frac{1}{4})}{1 - \frac{1}{4}} \\ &= \frac{1(\frac{5}{4})}{\frac{3}{4}} \\ &= \frac{5/4}{3/4} \\ &= \frac{5}{4} \times \frac{4}{3} \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

Das Modell ergibt also eine Gesamtstrecke von $\frac{5}{3} \text{ Metern}$ .

Dies ist ein idealisiertes mathematisches Modell. Ein echter Ball vollführt nicht unendlich viele messbare Sprünge und sein Sprungverhältnis ist nicht vollkommen konstant.

$Eine zweite Berechnung$ : Die Gesamtstrecke lässt sich auch als erste Abwärtsstrecke plus $2 \text{ mal}$ der Summe aller Aufwärtsstrecken berechnen.

\begin{aligned} \text{Gesamt} &= a + 2 \times S_{\uparrow} \\ &= a + 2 \times \left( \frac{ar}{1 - r} \right) \end{aligned}

Beide Wege führen zum selben Ergebnis.

Übung mit einer alternierenden Reihe

Berechne die Summe:

12-6+3-\frac32+\cdots

Hier $a=12$ und $r=-\frac12$ . Da $|r|<1$ $konvergiert$ die Reihe:

\begin{aligned}S_\infty&=\frac{12}{1-(-1/2)}\\&=\frac{12}{3/2}\\&=12\cdot\frac23=8\end{aligned}

Durch den negativen Faktor wechseln sich die Vorzeichen der Glieder ab. Ihre Beträge werden jedoch schnell genug kleiner, sodass sich die Teilsummen dem Wert $8$ nähern.

Unendliche geometrische Reihe

Ein springender Ball

Unendliche geometrische Reihe

Ein springender Ball

Die Bedingung für Konvergenz

Berechnen der Summe einer unendlichen Reihe

Kontrolle mit halbierten Strecken

Berechnung der Gesamtstrecke

Übung mit einer alternierenden Reihe