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Logarithmische Rechenregeln verwandeln Produkte in Summen, Quotienten in Differenzen und Potenzen in Faktoren. Dadurch lassen sich viele logarithmische Terme und Gleichungen leichter bearbeiten.
Logarithmen machen Potenzierungen rückgängig. Aus folgt . In diesem Kapitel sind alle Argumente der Logarithmen positiv. Außerdem gilt für jede Basis und .
Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen seiner Faktoren.
Beispiel:
Der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz aus dem Logarithmus des Zählers und dem Logarithmus des Nenners.
Beispiel:
Ein Exponent im Argument kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden.
Beispiel:
Mit dieser Regel lässt sich ein Logarithmus in eine andere Basis umrechnen.
Beispiel:
Da gilt, ist der Zähler genau doppelt so groß wie der Nenner:
Wenn , dann gilt .
Zwei Zahlen mit demselben logarithmischen Wert (mit derselben Basis) müssen dieselbe Zahl sein.
Vereinfache .
Lösung:
Bestimme , wenn gilt.
Lösung:
In einem vereinfachten Magnitudenmodell wird eine gemessene Amplitude mit einer Referenzamplitude verglichen:
Dabei gilt:
Beispiel: Eine gemessene Amplitude sei -mal so groß wie die Referenzamplitude. Welche Magnitude ergibt das vereinfachte Modell?
Lösung:
Das Amplitudenverhältnis entspricht in diesem vereinfachten Modell der Magnitude . Bei tatsächlichen Erdbebenberechnungen werden außerdem Messgerät, Wellentyp und Entfernung zur Quelle berücksichtigt.
In einem vereinfachten Lademodell erster Ordnung ergibt sich die Zeit bis zu einem bestimmten Anteil der maximalen Kapazität aus:
Dabei gilt:
Beispiel: Wie lange dauert es in diesem Modell, einen leeren Akku auf seiner maximalen Kapazität zu laden? Es gilt .
Lösung:
In diesem vereinfachten Modell dauert das Laden auf ungefähr . Reale Ladesysteme können ihre Rate bei hohem Ladestand ändern.
Ist die momentane Wertminderung proportional zum aktuellen Fahrzeugwert, hat ein exponentielles Modell die Form:
Dabei ist der Wert zum Zeitpunkt .
Beispiel: Ein Neuwagen kostet . Sein modellierter Wert beträgt nach noch . Bestimme den modellierten Wert nach , wenn dieselbe exponentielle Wertminderung anhält.
Lösung:
Aus diesen Ergebnissen ergibt sich für den Autopreis zu jedem Zeitpunkt :
Der modellierte Fahrzeugwert nach beträgt daher:
Aufgabe
Vereinfache:
Aufgabe
Für und ist zu bestimmen.
Aufgabe
Bestimme , wenn gilt.
Antwort
Alle drei Zahlen sind Potenzen von . Zuerst werden die einzelnen Logarithmen bestimmt:
Der vereinfachte Term hat den Wert .
Antwort
Da im gesuchten Term das Produkt steht, passt die Produktregel:
Somit gilt .
Antwort
Auf der rechten Seite wird zuerst die Quotientenregel angewendet. Danach können die Argumente der Logarithmen mit derselben Basis gleichgesetzt werden:
Für den Logarithmus muss gelten. Da gilt, ist die Lösung zulässig.
