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Der folgende Graph vergleicht für mehrere Basen größer als . Alle Graphen verlaufen durch und steigen unterschiedlich schnell.
Für mit gilt der Definitionsbereich nur für positive Eingaben. Die Richtung des Graphen hängt davon ab, ob die Basis größer oder kleiner als ist.
| Merkmal | Verhalten des Graphen |
|---|---|
| Definitionsbereich | |
| Wertebereich | Alle reellen Zahlen, |
| Schnittpunkt mit der -Achse | Verläuft durch , weil ist |
| Senkrechte Asymptote | Nähert sich bei der -Achse |
| Basis | Streng monoton steigend |
| Basis | Streng monoton fallend |
Wähle Potenzen der Basis als Eingaben. Zur Eingabe gehört die Ausgabe . So erhältst du genaue Punkte ohne Rundung.
Auch negative Potenzen liefern zulässige positive Eingaben. Bei der Basis zwei ergibt die Eingabe ein Viertel den Funktionswert minus zwei.
Für die Wertetabelle wählen wir -Werte, die Potenzen von sind. Dann lassen sich die Logarithmen direkt ablesen:
Für eine Basis mit fällt der Graph:
Graphen zu reziproken Basen haben entgegengesetzte Ausgaben. Wegen sind die beiden Kurven unten Spiegelbilder an der waagerechten Achse.
| Eigenschaft | ||
|---|---|---|
| Verlauf | Streng monoton steigend | Streng monoton fallend |
| Definitionsbereich | ||
| Wertebereich | Alle reellen Zahlen | Alle reellen Zahlen |
| -Achsenabschnitt | ||
| Vertikale Asymptote |
Eine vertikale Verschiebung bewegt die ganze Kurve und lässt die senkrechte Asymptote bei . Eine horizontale Verschiebung verschiebt stattdessen die Asymptote zusammen mit dem -Achsenabschnitt nach rechts oder links, der ganze Graph wandert also seitwärts.
Addiere eine Konstante außerhalb des Logarithmus, um alle Ausgaben zu verschieben. Definitionsbereich und senkrechte Asymptote bleiben gleich. Für den waagerechten Achsenabschnitt gilt jedoch , also .
Ersetze die Eingabe durch das Argument , um den Graphen zu verschieben. Aus folgen der Definitionsbereich und die Asymptote . Der waagerechte Achsenabschnitt wandert von zu .
Diese Aufgaben verbinden die Bedingung eines positiven Arguments mit Definitionsbereich, Asymptote und Verschiebungsrichtung. Bestimme vor der Skizze genaue Punkte mithilfe von Potenzen der Basis.
Erstelle eine Wertetabelle und zeichne die Graphen von:
Bestimme Definitionsbereich, Wertebereich und Asymptote der Funktion .
Für und sind zu bestimmen:
Skizziere den Graphen von und bestimme seinen Schnittpunkt mit der -Achse.
Aufgabe 1. Für :
Für :
Trage alle Punkte ein und verbinde sie zu einer glatten Kurve, die rechts von der senkrechten Asymptote bleibt. Der Graph zur Basis steigt, während der Graph zur Basis fällt.
Aufgabe 2. Der Logarithmus ist nur für ein positives Argument definiert. Die Grenze dieser Bedingung liefert die senkrechte Asymptote:
Die Grenze gehört nicht zum Definitionsbereich, denn ein Logarithmus benötigt ein positives Argument. Minus zwei ist zulässig, minus drei macht das Argument jedoch null.
Aufgabe 3. Wird durch ersetzt, verschiebt sich der Graph nach rechts. Derselbe Ausdruck muss außerdem positiv bleiben:
Prüfe den Schnittpunkt mit der waagerechten Achse: Aus der ursprünglichen Eingabe eins wird fünf. Der Funktionswert bleibt null.
Aufgabe 4. Die Addition von außerhalb des Logarithmus verschiebt jeden Punkt nach oben, ohne Definitionsbereich oder Asymptote zu verändern:
Ein Schnittpunkt mit der -Achse würde insbesondere voraussetzen. Dort ist der Logarithmus jedoch nicht definiert. Der folgende Graph bestätigt, dass sich die Kurve der -Achse nur nähert.
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