Logarithmische Rechenregeln

Logarithmen zerlegen und zusammenfassen

Logarithmische Rechenregeln $verwandeln Produkte in Summen$ , Quotienten in Differenzen und Potenzen in Faktoren. Mit ihnen kann ein Logarithmus in mehrere Terme zerlegt oder mehrere Terme zu einem Logarithmus zusammengefasst werden.

Logarithmen machen Potenzierungen rückgängig. Aus $b^x = a$ folgt $\log_b a = x$ . Alle folgenden Beispiele verwenden positive Logarithmusargumente und Basen mit $b>0$ sowie $b\neq1$ .

Grundlegende Logarithmusregeln

Verwende bei allen Regeln $positive Argumente$ . Bei der Potenzregel bleibt die Basis der Potenz positiv, auch wenn die Potenz selbst für eine negative Zahl berechnet werden könnte.

Produktregel

\log_b(MN) = {\log_b M} + {\log_b N}

Der Logarithmus eines Produkts ist die $Summe der Logarithmen$ seiner Faktoren.

$Beispiel$ :

\begin{aligned} \log_2(8 \times 4) &= {\log_2 8} + {\log_2 4} \\ &= 3 + 2 \\ &= 5 \end{aligned}

Quotientenregel

\log_b\left(\frac{M}{N}\right) = {\log_b M} - {\log_b N}

Der Logarithmus eines Quotienten ist die $Differenz aus dem Logarithmus$ des Zählers und dem Logarithmus des Nenners.

$Beispiel$ :

\begin{aligned} \log_3\left(\frac{81}{9}\right) &= {\log_3 81} - {\log_3 9} \\ &= 4 - 2 \\ &= 2 \end{aligned}

Potenzregel

\log_b(M^p) = p \cdot {\log_b M}

Ein Exponent im Argument kann $als Faktor vor den Logarithmus$ gezogen werden.

$Beispiel$ :

\log_2(4^3) = 3 \cdot {\log_2 4} = 3 \times 2 = 6

Weitere Logarithmusregeln

Prüfe die $Bedingungen für die Basen$ : Sowohl die bisherige als auch die neue Basis muss positiv und ungleich eins sein.

Beim Wechsel von der Basis zwei zur Basis zehn bleibt etwa der Wert unverändert. Der Nenner ist ungleich null, weil die ursprüngliche Basis nicht eins ist.

\log_2 8=\frac{\log_{10}8}{\log_{10}2}=\frac{3\log_{10}2}{\log_{10}2}=3

Wechsel der Basis

\log_b M = \frac{\log_a M}{\log_a b}

Mit dieser Regel lässt sich ein Logarithmus in $eine andere Basis$ umrechnen.

$Beispiel$ :

Da $9=3^2$ gilt, ist der Zähler genau doppelt so groß wie der Nenner:

\log_3 9 = \frac{\log_{10} 9}{\log_{10} 3} = \frac{2\log_{10}3}{\log_{10}3} = 2

Gleichheitsregel

Wenn $\log_b M = {\log_b N}$ , dann gilt $M = N$ .

Zwei Zahlen mit demselben logarithmischen Wert (mit $derselben Basis$ ) müssen dieselbe Zahl sein. Zum Beispiel ist $\log_2 8 = \log_2 2^3$ , beide Seiten ergeben $3$ , und die Argumente $8$ und $2^3$ sind gleich. Die Regel gilt, weil zu jedem Wert eines Logarithmus mit fester Basis genau ein Argument gehört.

Zwei Logarithmen vergleichen

Der Vergleich hängt von der $Richtung des Graphen$ ab. Eine Basis über eins erhält die Reihenfolge der Argumente. Eine Basis zwischen null und eins kehrt sie um.

Wenn $b > 1$ und $\log_b M < {\log_b N}$ , dann $M < N$
Wenn $0 < b < 1$ und $\log_b M < {\log_b N}$ , dann $M > N$

Reihenfolge bei zwei Basen

Bei den Eingaben 2 und 4 liefert die Basis zwei die Werte 1 und 2. Die Basis ein halb liefert minus 1 und minus 2.

Logarithmische Rechenregeln anwenden

Hier trifft eine Identität auf einen algebraischen Ausdruck, deshalb muss der Ausdruck zuerst in eine $geeignete Form$ gebracht werden. Arbeite Schritt für Schritt und notiere bei jedem Schritt, welche Identität du benutzt.

Die Identitäten helfen, sobald ein Term vor dem Lösen vereinfacht werden muss.

Ausdrücke vereinfachen

Verbinde die drei Terme mit der $Produktregel und anschließend der Quotientenregel$ .

Vereinfache $\log_2 32 + {\log_2 8} - {\log_2 4}$ .

$Lösung$ :

\log_2 32 + {\log_2 8} - {\log_2 4}

Gleichungen lösen

Am Anfang steht die Bedingung $positiver Argumente$ . Die Eingabe muss deshalb größer als null sein. Die Lösung neun erfüllt diese Bedingung.

Bestimme $x$ , wenn $\log_3 x + {\log_3 9} = {\log_3 81}$ gilt.

$Lösung$ :

\log_3 x + {\log_3 9} = {\log_3 81}

Anwendungen in Modellen

In einem Modell steht die $gesuchte Größe im Exponenten$ , und der Logarithmus holt sie von dort herunter. Die Beispiele unten zeigen, welche Identität dafür jeweils nötig ist.

Logarithmische Identitäten treten auch auf, wenn ein Modell exponentielles Wachstum oder Abklingen enthält.

Eine logarithmische Magnitudenskala

Dieses Modell vergleicht ein $Amplitudenverhältnis$ mit Logarithmen zur Basis zehn.

In einem vereinfachten Magnitudenmodell wird eine gemessene Amplitude $A$ mit einer Referenzamplitude $A_0$ verglichen:

M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)

Dabei gilt:

$M$ ist die Magnitude in diesem vereinfachten Modell
$A$ ist die gemessene Amplitude
$A_0$ ist die Referenzamplitude

$Beispiel$ : Eine gemessene Amplitude sei $10^7$ -mal so groß wie die Referenzamplitude. Welche Magnitude ergibt das vereinfachte Modell?

$Lösung$ :

M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)

Das Amplitudenverhältnis entspricht in diesem vereinfachten Modell der Magnitude $7$ . Bei tatsächlichen Erdbebenberechnungen werden außerdem Messgerät, Wellentyp und Entfernung zur Quelle berücksichtigt.

Aufladen eines Akkus

In einem vereinfachten Lademodell erster Ordnung ergibt sich die Zeit bis zu einem bestimmten Anteil der maximalen Kapazität aus:

t = -\frac{1}{k}\ln\left(1 - \frac{C}{C_0}\right)

Dabei gilt:

$t$ = Ladezeit (in Minuten)
$k$ = Ladekonstante
$C$ = gewünschte Kapazität
$C_0$ = maximale Kapazität

$Beispiel$ : Wie lange dauert es in diesem Modell, einen leeren Akku auf $90\%$ seiner maximalen Kapazität zu laden? Es gilt $k = 0{,}02\ \text{min}^{-1}$ .

$Lösung$ :

t = -\frac{1}{k}\ln\left(1 - \frac{C}{C_0}\right)

In diesem vereinfachten Modell dauert das Laden auf $90\%$ ungefähr $115 \text{ Minuten}$ . Reale Ladesysteme können ihre Rate bei hohem Ladestand ändern.

Der $Definitionsbereich des Lademodells$ reicht von null bis zu einer Ladung unterhalb des Maximums.

C_0>0,\quad k>0,\quad0\leq C<C_0

In diesem Modell wird $die volle Ladung nur angenähert$ , in endlicher Zeit aber nicht erreicht. Der Vergleich mehrerer Zielwerte zeigt, warum ein weiteres Prozent nahe der vollen Ladung länger dauern kann.

Ladeziel	Zeit (Minuten)
$50\%$	$-50\ln(0{,}5)\approx34{,}66$
$90\%$	$-50\ln(0{,}1)\approx115{,}13$
$99\%$	$-50\ln(0{,}01)\approx230{,}26$

Abwertung des Autopreises

Die konstante Rate ist eine $Annahme für den betrachteten Zeitraum$ . Der Fahrzeugwert halbiert sich alle fünf Jahre.

Ist die momentane Wertminderung proportional zum aktuellen Fahrzeugwert, hat ein exponentielles Modell die Form:

H(t) = ce^{kt}

Dabei ist $H(t)$ der Wert zum Zeitpunkt $t$ .

$Beispiel$ : Ein Neuwagen kostet $200 \text{ Millionen Rupiah}$ . Sein modellierter Wert beträgt nach $5 \text{ Jahren}$ noch $100 \text{ Millionen Rupiah}$ . Bestimme den modellierten Wert nach $10 \text{ Jahren}$ , wenn dieselbe exponentielle Wertminderung anhält.

$Lösung$ :

Miss $H(t)$ in Millionen Rupiah und $t$ in Jahren. Beim Kauf gilt:

\begin{aligned} &H(0)=200 \\ &200=ce^0=c \end{aligned}

Aus diesen Ergebnissen ergibt sich für den Autopreis zu jedem Zeitpunkt $t$ :

H(t) = 200e^{\frac{\ln(1/2)}{5}t} \approx 200e^{-0{,}1386t}

Der modellierte Fahrzeugwert nach $10 \text{ Jahren}$ beträgt daher:

\begin{aligned} H(10) &= 200e^{2\ln(1/2)} \\ &= 200\left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ &= 50 \text{ Millionen Rupiah} \end{aligned}

Übungen

Die drei Aufgaben verlangen jeweils eine andere Umformung, deshalb hilft es, vor dem Rechnen aufzuschreiben, $welche Regel gebraucht wird$ . Vergleiche danach deinen Rechenweg mit dem Weg in der Lösung.

$Aufgabe 1$

Vereinfache: $\log_5 125 + {\log_5 25} - {\log_5 5}$

$Aufgabe 2$

Für $\log_2 x = 3$ und $\log_2 y = 5$ ist $\log_2(xy)$ zu bestimmen.

$Aufgabe 3$

Bestimme $x$ , wenn $\log_4(x-1) = {\log_4 16} - {\log_4 2}$ gilt.

Ausführliche Lösungen

$Antwort 1$

Alle drei Zahlen sind Potenzen von $5$ . Zuerst werden die $einzelnen Logarithmen$ bestimmt:

125=5^3,\quad25=5^2,\quad5=5^1

Der vereinfachte Term hat den Wert $4$ .

$Antwort 2$

Da im gesuchten Term das Produkt $xy$ steht, passt die $Produktregel$ :

\log_2(xy) = {\log_2 x} + {\log_2 y}

Somit gilt $\log_2(xy)=8$ .

$Antwort 3$

Auf der rechten Seite wird zuerst die $Quotientenregel$ angewendet. Danach können die Argumente der Logarithmen mit $derselben Basis$ gleichgesetzt werden:

\log_4(x-1) = {\log_4 16} - {\log_4 2}

Für den Logarithmus muss $x-1>0$ gelten. Da $9-1=8>0$ gilt, ist die Lösung zulässig.

Logarithmen zerlegen und zusammenfassen

Logarithmen machen Potenzierungen rückgängig. Aus $b^x = a$ folgt $\log_b a = x$ . Alle folgenden Beispiele verwenden positive Logarithmusargumente und Basen mit $b>0$ sowie $b\neq1$ .

Grundlegende Logarithmusregeln

Verwende bei allen Regeln $positive Argumente$ . Bei der Potenzregel bleibt die Basis der Potenz positiv, auch wenn die Potenz selbst für eine negative Zahl berechnet werden könnte.

Produktregel

\log_b(MN) = {\log_b M} + {\log_b N}

Der Logarithmus eines Produkts ist die $Summe der Logarithmen$ seiner Faktoren.

$Beispiel$ :

\begin{aligned} \log_2(8 \times 4) &= {\log_2 8} + {\log_2 4} \\ &= 3 + 2 \\ &= 5 \end{aligned}

Quotientenregel

\log_b\left(\frac{M}{N}\right) = {\log_b M} - {\log_b N}

Der Logarithmus eines Quotienten ist die $Differenz aus dem Logarithmus$ des Zählers und dem Logarithmus des Nenners.

$Beispiel$ :

\begin{aligned} \log_3\left(\frac{81}{9}\right) &= {\log_3 81} - {\log_3 9} \\ &= 4 - 2 \\ &= 2 \end{aligned}

Potenzregel

\log_b(M^p) = p \cdot {\log_b M}

Ein Exponent im Argument kann $als Faktor vor den Logarithmus$ gezogen werden.

$Beispiel$ :

\log_2(4^3) = 3 \cdot {\log_2 4} = 3 \times 2 = 6

Weitere Logarithmusregeln

Prüfe die $Bedingungen für die Basen$ : Sowohl die bisherige als auch die neue Basis muss positiv und ungleich eins sein.

Beim Wechsel von der Basis zwei zur Basis zehn bleibt etwa der Wert unverändert. Der Nenner ist ungleich null, weil die ursprüngliche Basis nicht eins ist.

\log_2 8=\frac{\log_{10}8}{\log_{10}2}=\frac{3\log_{10}2}{\log_{10}2}=3

Wechsel der Basis

\log_b M = \frac{\log_a M}{\log_a b}

Mit dieser Regel lässt sich ein Logarithmus in $eine andere Basis$ umrechnen.

$Beispiel$ :

Da $9=3^2$ gilt, ist der Zähler genau doppelt so groß wie der Nenner:

\log_3 9 = \frac{\log_{10} 9}{\log_{10} 3} = \frac{2\log_{10}3}{\log_{10}3} = 2

Gleichheitsregel

Wenn $\log_b M = {\log_b N}$ , dann gilt $M = N$ .

Zwei Logarithmen vergleichen

Der Vergleich hängt von der $Richtung des Graphen$ ab. Eine Basis über eins erhält die Reihenfolge der Argumente. Eine Basis zwischen null und eins kehrt sie um.

Wenn $b > 1$ und $\log_b M < {\log_b N}$ , dann $M < N$
Wenn $0 < b < 1$ und $\log_b M < {\log_b N}$ , dann $M > N$

Reihenfolge bei zwei Basen

Bei den Eingaben 2 und 4 liefert die Basis zwei die Werte 1 und 2. Die Basis ein halb liefert minus 1 und minus 2.

Logarithmische Rechenregeln anwenden

Die Identitäten helfen, sobald ein Term vor dem Lösen vereinfacht werden muss.

Ausdrücke vereinfachen

Verbinde die drei Terme mit der $Produktregel und anschließend der Quotientenregel$ .

Vereinfache $\log_2 32 + {\log_2 8} - {\log_2 4}$ .

$Lösung$ :

\log_2 32 + {\log_2 8} - {\log_2 4}

Gleichungen lösen

Am Anfang steht die Bedingung $positiver Argumente$ . Die Eingabe muss deshalb größer als null sein. Die Lösung neun erfüllt diese Bedingung.

Bestimme $x$ , wenn $\log_3 x + {\log_3 9} = {\log_3 81}$ gilt.

$Lösung$ :

\log_3 x + {\log_3 9} = {\log_3 81}

Anwendungen in Modellen

In einem Modell steht die $gesuchte Größe im Exponenten$ , und der Logarithmus holt sie von dort herunter. Die Beispiele unten zeigen, welche Identität dafür jeweils nötig ist.

Logarithmische Identitäten treten auch auf, wenn ein Modell exponentielles Wachstum oder Abklingen enthält.

Eine logarithmische Magnitudenskala

Dieses Modell vergleicht ein $Amplitudenverhältnis$ mit Logarithmen zur Basis zehn.

In einem vereinfachten Magnitudenmodell wird eine gemessene Amplitude $A$ mit einer Referenzamplitude $A_0$ verglichen:

M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)

Dabei gilt:

$M$ ist die Magnitude in diesem vereinfachten Modell
$A$ ist die gemessene Amplitude
$A_0$ ist die Referenzamplitude

$Beispiel$ : Eine gemessene Amplitude sei $10^7$ -mal so groß wie die Referenzamplitude. Welche Magnitude ergibt das vereinfachte Modell?

$Lösung$ :

M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)

Aufladen eines Akkus

In einem vereinfachten Lademodell erster Ordnung ergibt sich die Zeit bis zu einem bestimmten Anteil der maximalen Kapazität aus:

t = -\frac{1}{k}\ln\left(1 - \frac{C}{C_0}\right)

Dabei gilt:

$t$ = Ladezeit (in Minuten)
$k$ = Ladekonstante
$C$ = gewünschte Kapazität
$C_0$ = maximale Kapazität

$Beispiel$ : Wie lange dauert es in diesem Modell, einen leeren Akku auf $90\%$ seiner maximalen Kapazität zu laden? Es gilt $k = 0{,}02\ \text{min}^{-1}$ .

$Lösung$ :

t = -\frac{1}{k}\ln\left(1 - \frac{C}{C_0}\right)

In diesem vereinfachten Modell dauert das Laden auf $90\%$ ungefähr $115 \text{ Minuten}$ . Reale Ladesysteme können ihre Rate bei hohem Ladestand ändern.

Der $Definitionsbereich des Lademodells$ reicht von null bis zu einer Ladung unterhalb des Maximums.

C_0>0,\quad k>0,\quad0\leq C<C_0

Ladeziel	Zeit (Minuten)
$50\%$	$-50\ln(0{,}5)\approx34{,}66$
$90\%$	$-50\ln(0{,}1)\approx115{,}13$
$99\%$	$-50\ln(0{,}01)\approx230{,}26$

Abwertung des Autopreises

Die konstante Rate ist eine $Annahme für den betrachteten Zeitraum$ . Der Fahrzeugwert halbiert sich alle fünf Jahre.

Ist die momentane Wertminderung proportional zum aktuellen Fahrzeugwert, hat ein exponentielles Modell die Form:

H(t) = ce^{kt}

Dabei ist $H(t)$ der Wert zum Zeitpunkt $t$ .

$Lösung$ :

Miss $H(t)$ in Millionen Rupiah und $t$ in Jahren. Beim Kauf gilt:

\begin{aligned} &H(0)=200 \\ &200=ce^0=c \end{aligned}

Aus diesen Ergebnissen ergibt sich für den Autopreis zu jedem Zeitpunkt $t$ :

H(t) = 200e^{\frac{\ln(1/2)}{5}t} \approx 200e^{-0{,}1386t}

Der modellierte Fahrzeugwert nach $10 \text{ Jahren}$ beträgt daher:

\begin{aligned} H(10) &= 200e^{2\ln(1/2)} \\ &= 200\left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ &= 50 \text{ Millionen Rupiah} \end{aligned}

Übungen

$Aufgabe 1$

Vereinfache: $\log_5 125 + {\log_5 25} - {\log_5 5}$

$Aufgabe 2$

Für $\log_2 x = 3$ und $\log_2 y = 5$ ist $\log_2(xy)$ zu bestimmen.

$Aufgabe 3$

Bestimme $x$ , wenn $\log_4(x-1) = {\log_4 16} - {\log_4 2}$ gilt.

Ausführliche Lösungen

$Antwort 1$

Alle drei Zahlen sind Potenzen von $5$ . Zuerst werden die $einzelnen Logarithmen$ bestimmt:

125=5^3,\quad25=5^2,\quad5=5^1

Der vereinfachte Term hat den Wert $4$ .

$Antwort 2$

Da im gesuchten Term das Produkt $xy$ steht, passt die $Produktregel$ :

\log_2(xy) = {\log_2 x} + {\log_2 y}

Somit gilt $\log_2(xy)=8$ .

$Antwort 3$

Auf der rechten Seite wird zuerst die $Quotientenregel$ angewendet. Danach können die Argumente der Logarithmen mit $derselben Basis$ gleichgesetzt werden:

\log_4(x-1) = {\log_4 16} - {\log_4 2}

Für den Logarithmus muss $x-1>0$ gelten. Da $9-1=8>0$ gilt, ist die Lösung zulässig.