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Logarithmen machen Potenzierungen rückgängig. Aus folgt . Alle folgenden Beispiele verwenden positive Logarithmusargumente und Basen mit sowie .
Verwende bei allen Regeln positive Argumente. Bei der Potenzregel bleibt die Basis der Potenz positiv, auch wenn die Potenz selbst für eine negative Zahl berechnet werden könnte.
Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen seiner Faktoren.
Beispiel:
Der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz aus dem Logarithmus des Zählers und dem Logarithmus des Nenners.
Beispiel:
Ein Exponent im Argument kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden.
Beispiel:
Prüfe die Bedingungen für die Basen: Sowohl die bisherige als auch die neue Basis muss positiv und ungleich eins sein.
Beim Wechsel von der Basis zwei zur Basis zehn bleibt etwa der Wert unverändert. Der Nenner ist ungleich null, weil die ursprüngliche Basis nicht eins ist.
Mit dieser Regel lässt sich ein Logarithmus in eine andere Basis umrechnen.
Beispiel:
Da gilt, ist der Zähler genau doppelt so groß wie der Nenner:
Wenn , dann gilt .
Zwei Zahlen mit demselben logarithmischen Wert (mit derselben Basis) müssen dieselbe Zahl sein. Zum Beispiel ist , beide Seiten ergeben , und die Argumente und sind gleich. Die Regel gilt, weil zu jedem Wert eines Logarithmus mit fester Basis genau ein Argument gehört.
Der Vergleich hängt von der Richtung des Graphen ab. Eine Basis über eins erhält die Reihenfolge der Argumente. Eine Basis zwischen null und eins kehrt sie um.
Hier trifft eine Identität auf einen algebraischen Ausdruck, deshalb muss der Ausdruck zuerst in eine geeignete Form gebracht werden. Arbeite Schritt für Schritt und notiere bei jedem Schritt, welche Identität du benutzt.
Die Identitäten helfen, sobald ein Term vor dem Lösen vereinfacht werden muss.
Verbinde die drei Terme mit der Produktregel und anschließend der Quotientenregel.
Vereinfache .
Lösung:
Am Anfang steht die Bedingung positiver Argumente. Die Eingabe muss deshalb größer als null sein. Die Lösung neun erfüllt diese Bedingung.
Bestimme , wenn gilt.
Lösung:
In einem Modell steht die gesuchte Größe im Exponenten, und der Logarithmus holt sie von dort herunter. Die Beispiele unten zeigen, welche Identität dafür jeweils nötig ist.
Logarithmische Identitäten treten auch auf, wenn ein Modell exponentielles Wachstum oder Abklingen enthält.
Dieses Modell vergleicht ein Amplitudenverhältnis mit Logarithmen zur Basis zehn.
In einem vereinfachten Magnitudenmodell wird eine gemessene Amplitude mit einer Referenzamplitude verglichen:
Dabei gilt:
Beispiel: Eine gemessene Amplitude sei -mal so groß wie die Referenzamplitude. Welche Magnitude ergibt das vereinfachte Modell?
Lösung:
Das Amplitudenverhältnis entspricht in diesem vereinfachten Modell der Magnitude . Bei tatsächlichen Erdbebenberechnungen werden außerdem Messgerät, Wellentyp und Entfernung zur Quelle berücksichtigt.
In einem vereinfachten Lademodell erster Ordnung ergibt sich die Zeit bis zu einem bestimmten Anteil der maximalen Kapazität aus:
Dabei gilt:
Beispiel: Wie lange dauert es in diesem Modell, einen leeren Akku auf seiner maximalen Kapazität zu laden? Es gilt .
Lösung:
In diesem vereinfachten Modell dauert das Laden auf ungefähr . Reale Ladesysteme können ihre Rate bei hohem Ladestand ändern.
Der Definitionsbereich des Lademodells reicht von null bis zu einer Ladung unterhalb des Maximums.
In diesem Modell wird die volle Ladung nur angenähert, in endlicher Zeit aber nicht erreicht. Der Vergleich mehrerer Zielwerte zeigt, warum ein weiteres Prozent nahe der vollen Ladung länger dauern kann.
| Ladeziel | Zeit (Minuten) |
|---|---|
Die konstante Rate ist eine Annahme für den betrachteten Zeitraum. Der Fahrzeugwert halbiert sich alle fünf Jahre.
Ist die momentane Wertminderung proportional zum aktuellen Fahrzeugwert, hat ein exponentielles Modell die Form:
Dabei ist der Wert zum Zeitpunkt .
Beispiel: Ein Neuwagen kostet . Sein modellierter Wert beträgt nach noch . Bestimme den modellierten Wert nach , wenn dieselbe exponentielle Wertminderung anhält.
Lösung:
Miss in Millionen Rupiah und in Jahren. Beim Kauf gilt:
Aus diesen Ergebnissen ergibt sich für den Autopreis zu jedem Zeitpunkt :
Der modellierte Fahrzeugwert nach beträgt daher:
Die drei Aufgaben verlangen jeweils eine andere Umformung, deshalb hilft es, vor dem Rechnen aufzuschreiben, welche Regel gebraucht wird. Vergleiche danach deinen Rechenweg mit dem Weg in der Lösung.
Aufgabe 1
Vereinfache:
Aufgabe 2
Für und ist zu bestimmen.
Aufgabe 3
Bestimme , wenn gilt.
Antwort 1
Alle drei Zahlen sind Potenzen von . Zuerst werden die einzelnen Logarithmen bestimmt:
Der vereinfachte Term hat den Wert .
Antwort 2
Da im gesuchten Term das Produkt steht, passt die Produktregel:
Somit gilt .
Antwort 3
Auf der rechten Seite wird zuerst die Quotientenregel angewendet. Danach können die Argumente der Logarithmen mit derselben Basis gleichgesetzt werden:
Für den Logarithmus muss gelten. Da gilt, ist die Lösung zulässig.
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