Definition der Quadratwurzelfunktion
Eine Quadratwurzelfunktion wendet die Hauptquadratwurzel auf einen Ausdruck an. Es hat die Form , wobei der Radikand ist, der Ausdruck unter dem Radikalzeichen.
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Eine Quadratwurzelfunktion wendet die Hauptquadratwurzel auf einen Ausdruck an. Es hat die Form , wobei der Radikand ist, der Ausdruck unter dem Radikalzeichen.
Die Grundfunktion ist . Sie ordnet jeder nicht negativen Eingabe ihre nicht negative Quadratwurzel zu.
Drei Merkmale bilden die Grundlage für den Rest dieser Lektion:
Eingeschränkter Definitionsbereich: Im Bereich der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel negativer Zahlen nicht definiert. Zulässig sind deshalb nur Eingaben, für die der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ ist.
Erkennbarer Grundgraph: Der Graph von beginnt bei und steigt mit zunehmendem immer langsamer. Transformationen können diese Form verschieben, strecken oder spiegeln.
Nichtnegative Hauptwurzel: Der Wert von selbst ist immer nicht negativ. Ein vorgelagerter Faktor oder eine Verschiebung kann eine transformierte Funktion dennoch negativ machen.
Der Definitionsbereich beschreibt die zulässigen Eingaben. Der Wertebereich enthält die Ausgaben, die die Funktion tatsächlich annehmen kann.
Der Definitionsbereich einer Quadratwurzelfunktion umfasst alle Werte von , die ergeben.
Schritte zum Ermitteln des Definitionsbereichs:
| Schritt | Erklärung | Beispiel: |
|---|---|---|
| Identifizieren Sie den Ausdruck innerhalb der Quadratwurzel | ||
Der Wertebereich einer Quadratwurzelfunktion umfasst alle Ausgabewerte, die bei zulässigen Eingaben tatsächlich entstehen.
Für kann der Radikand jeden Wert ab Null annehmen. Die Hauptquadratwurzel hat daher den Wertebereich
Visualisieren wir die grundlegende Quadratwurzelfunktion .
Transformationen verändern die Form und Lage des Graphen einer Quadratwurzelfunktion.
Die Funktion verschiebt den Graphen der grundlegenden Quadratwurzelfunktion um nach rechts (wenn ) oder nach links (wenn ).
Die Funktion verschiebt den Graphen der grundlegenden Quadratwurzelfunktion um nach oben (wenn ) oder nach unten (wenn ).
| Funktion | Transformation | Definitionsbereich | Wertebereich |
|---|---|---|---|
| Grundfunktion | |||
| nach oben verschieben | |||
| nach unten verschieben |
Für streckt den Graphen vertikal, während ihn vertikal staucht. Ein negatives spiegelt den Graphen zusätzlich an der -Achse.
Für den nicht entarteten Fall und hat die transformierte Quadratwurzelfunktion die Form:
Hier:
Der reelle Definitionsbereich folgt aus . Das Vorzeichen von bestimmt anschließend, ob sich der Wertebereich von aus nach oben oder unten erstreckt.
Schritte zum Zeichnen des Graphen:
| Schritt | Aktion | Beispiel: |
|---|---|---|
| Startpunkt bestimmen | , , Punkt: |
Um eine Gleichung mit einer Quadratwurzel zu lösen, isolieren Sie die Wurzel, quadrieren Sie beide Seiten und prüfen anschließend jeden Lösungskandidaten in der ursprünglichen Gleichung. Das Quadrieren ist für beliebige reelle Ausdrücke nicht umkehrbar und kann deshalb Scheinlösungen erzeugen.
| Schritt | Erklärung | Beispiel: |
|---|---|---|
| Isolieren Sie die Quadratwurzel | Bereits isoliert | |
| Beide Seiten quadrieren |
Für eine Quadratwurzelungleichung erzwingen Sie zunächst den Definitionsbereich. Überprüfen Sie vor dem Quadrieren auch das Vorzeichen der anderen Seite, damit der Vergleich gleich bleibt.
Beispiel: Lösen Sie
Da beide Seiten im Definitionsbereich nicht negativ sind, bleibt die Ungleichung beim Quadrieren äquivalent. Zusammen mit und ergibt sich .
Bestimmen Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich der Funktion
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion
Lösen Sie die Gleichung
Eine Rakete wird senkrecht gestartet. Das Modell beschreibt ihre Höhe nach . Wie hoch ist die Rakete nach ?
Bestimmen Sie alle Werte von , für die gilt.
Der Radikand darf nicht negativ sein:
Damit ist . Wenn diesen Definitionsbereich durchläuft, nimmt jeden nicht negativen Wert an. Folglich gilt .
Graph von
Schritte zum Zeichnen:
| | Transformationen identifizieren | (Spiegelung entlang der -Achse), (Verschiebung nach links), (Verschiebung nach oben) | | | Startpunkt bestimmen | , , Startpunkt: | | | Definitionsbereich bestimmen | | | | Wertebereich bestimmen | Da , fällt der Graph vom Startpunkt aus. Deshalb gilt . | | | Wertetabelle erstellen | Wählen Sie Werte |
Wertetabelle:
Der Graph beginnt bei . Das negative Vorzeichen spiegelt den Grundgraphen an der -Achse, sodass die Kurve nach rechts fällt und ihre Funktionswerte höchstens betragen.
Der Definitionsbereich erfordert . Isolieren Sie einen Wurzelausdruck:
Überprüfen Sie die Originalgleichung: . Somit ist gültig.
Ersetzen Sie im Modell:
Halten Sie zunächst den Definitionsbereich fest: Aus folgt . Teilen Sie durch die positive Zahl und quadrieren Sie anschließend die nicht negativen Seiten:
| Erstellen Sie die Ungleichung |
| Lösen Sie die Ungleichung |
| Definitionsbereich angeben |
| Definitionsbereich bestimmen |
| Wertetabelle erstellen | Wählen Sie mehrere Werte |
| Funktionswerte berechnen | Für : |
| Punkte eintragen | Tragen Sie , , usw. ein |
| Punkte verbinden | Zeichnen Sie eine glatte Kurve durch die Punkte |
| Vereinfachen |
| Lösen |
| Überprüfen | ✓ |
| Schritt | Erklärung | Details für |
|---|
Das Modell verwendet , und liegt in diesem Definitionsbereich. Die modellierte Höhe beträgt .
Der Schnitt mit dem Definitionsbereich ergibt weiterhin .