Quadratwurzelfunktion

Nichtnegative Quadratwurzeln als Funktionswerte

Eine Quadratwurzelfunktion $wendet die Hauptquadratwurzel auf einen Ausdruck an$ . Sie hat die Form $f(x) = \sqrt{g(x)}$ , wobei $g(x)$ der Radikand ist, also der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

Die Grundfunktion ist $f(x) = \sqrt{x}$ . Sie ordnet jeder nicht negativen Eingabe ihre nicht negative Quadratwurzel zu.

Eigenschaften von Quadratwurzelfunktionen

Quadratwurzelfunktionen haben drei wesentliche Merkmale:

$Eingeschränkter Definitionsbereich$ : Im Bereich der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel negativer Zahlen nicht definiert. Zulässig sind deshalb nur Eingaben, für die der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ ist.
$Erkennbarer Grundgraph$ : Der Graph von $y=\sqrt{x}$ beginnt bei $(0,0)$ und steigt mit zunehmendem $x$ immer langsamer. Transformationen können diese Form verschieben, strecken oder spiegeln.
$Nichtnegative Hauptwurzel$ : Der Wert von $\sqrt{g(x)}$ selbst ist immer nicht negativ. Ein vorgelagerter Faktor oder eine Verschiebung kann eine transformierte Funktion dennoch negativ machen.

Definitionsbereich und Wertebereich von Quadratwurzelfunktionen

Die $Definitionsmenge begrenzt Eingaben$ , die Wertemenge enthält tatsächlich erreichte Ausgaben. Eine Hauptquadratwurzel ohne äußeren Faktor oder Verschiebung liefert nichtnegative Werte. Ein begrenzter Radikand kann auch die Wertemenge $nach oben$ begrenzen.

Definitionsbereich bestimmen

Prüfe die Bedingung nur dort, wo der $Radikand definiert$ ist. Bei einem Bruch bleibt jeder Ausschluss wegen eines Nenners mit Wert null bestehen.

D_f=\{x\in D_g\mid g(x)\geq0\}

Der Definitionsbereich einer Quadratwurzelfunktion $f(x) = \sqrt{g(x)}$ umfasst alle Werte von $x$ , die $g(x) \geq 0$ ergeben.

$Schritte zum Ermitteln des Definitionsbereichs$ :

Schritt	Erklärung	Beispiel: $f(x) = \sqrt{x-2}$
$1$	Identifiziere den Ausdruck innerhalb der Quadratwurzel	$g(x) = x-2$
$2$	Erstelle die Ungleichung $g(x) \geq 0$	$x-2 \geq 0$
$3$	Löse die Ungleichung	$x \geq 2$
$4$	Definitionsbereich angeben	$D_f = \{x \mid x \geq 2, x \in \mathbb{R}\}$

Wertebereich bestimmen

Der Wertebereich einer Quadratwurzelfunktion umfasst alle Ausgabewerte, die bei zulässigen Eingaben tatsächlich entstehen.

Für $f(x) = \sqrt{x-2}$ kann der Radikand jeden Wert ab Null annehmen. Die Hauptquadratwurzel hat daher den Wertebereich

R_f = \{y \mid y \geq 0, y \in \mathbb{R}\}

Die Wertemenge hängt auch vom $Maximum des Radikanden$ ab. Der folgende Radikand wird zum Beispiel nie größer als vier.

r(x)=\sqrt{4-x^2},\quad -2\leq x\leq2

Graph der grundlegenden Quadratwurzelfunktion

Der Grundgraph existiert nur für $x \geq 0$ und verläuft durch $(0,0)$ , $(1,1)$ und $(4,2)$ . $Um die Ausgabe$ um eine weitere Einheit zu erhöhen, muss die Eingabe stärker wachsen als zuvor.

Grundlegende Quadratwurzelfunktion:

f(x) = \sqrt{x}

Der Graph der grundlegenden Quadratwurzelfunktion beginnt mit dem Punkt

(0,0)

und steigt immer langsamer an.

Transformationen von Quadratwurzelfunktionen

Eine Verschiebung ändert die $Lage des Startpunkts$ . Eine vertikale Streckung verändert die Höhe jedes Punktes relativ zur waagerechten Achse. Eine Spiegelung kann die Kurvenrichtung umkehren. Wird die Grundfunktion nur gestreckt, bleibt ihr Startpunkt im Ursprung.

Horizontale Verschiebung

Die Funktion $f(x) = \sqrt{x-h}$ verschiebt den Graphen der grundlegenden Quadratwurzelfunktion um $h \text{ Einheiten}$ $nach rechts$ (wenn $h > 0$ ) oder nach links (wenn $h < 0$ ).

Horizontale Verschiebung von Quadratwurzelfunktionen

Vergleich von

f(x) = \sqrt{x}

g(x) = \sqrt{x-2}

, und

h(x) = \sqrt{x+2}

Vertikale Verschiebung

Die Funktion $f(x) = \sqrt{x} + k$ verschiebt den Graphen der grundlegenden Quadratwurzelfunktion um $k \text{ Einheiten}$ $nach oben$ (wenn $k > 0$ ) oder nach unten (wenn $k < 0$ ).

Funktion	Transformation	Definitionsbereich	Wertebereich
$f(x) = \sqrt{x}$	Grundfunktion	$x \geq 0$	$y \geq 0$
$f(x) = \sqrt{x} + 2$	$2 \text{ Einheiten}$ nach oben verschieben	$x \geq 0$	$y \geq 2$
$f(x) = \sqrt{x} - 3$	$3 \text{ Einheiten}$ nach unten verschieben	$x \geq 0$	$y \geq -3$

Vertikale Streckung und Stauchung

Für $f(x) = a\sqrt{x}$ streckt $|a|>1$ $den Graphen vertikal$ , während $0<|a|<1$ ihn vertikal staucht. Ein negatives $a$ spiegelt den Graphen zusätzlich an der $x$ -Achse.

Vertikale Streckung und Stauchung

Vergleich von

f(x) = \sqrt{x}

g(x) = 2\sqrt{x}

, und

h(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x}

Allgemeine Form von Quadratwurzelfunktionen

Für den nicht entarteten Fall $a\neq 0$ und $b\neq 0$ hat die transformierte Quadratwurzelfunktion die Form:

f(x) = a\sqrt{b(x-h)} + k

Hier:

$a$ bestimmt die vertikale Skalierung und bei $a<0$ die Spiegelung an der $x$ -Achse
$b$ bestimmt die horizontale Skalierung und bei $b<0$ die horizontale Spiegelung
$h$ bestimmt die horizontale Verschiebung
$k$ bestimmt die vertikale Verschiebung

Der reelle Definitionsbereich folgt aus $b(x-h)\geq 0$ . Das Vorzeichen von $a$ bestimmt anschließend, ob sich der Wertebereich von $y=k$ aus nach oben oder unten erstreckt.

$Schritte zum Zeichnen des Graphen$ :

Schritt	Aktion	Beispiel: $f(x) = 2\sqrt{x-1} + 3$
$1$	Startpunkt bestimmen	$x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$ , $f(1) = 3$ , Punkt: $(1, 3)$
$2$	Definitionsbereich bestimmen	$x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$
$3$	Wertetabelle erstellen	Wähle mehrere Werte $x \geq 1$
$4$	Funktionswerte berechnen	Für $x = 2$ : $f(2) = 2\sqrt{1} + 3 = 5$
$5$	Punkte eintragen	Trage $(1,3)$ , $(2,5)$ , $(5,7)$ usw. ein
$6$	Punkte verbinden	Zeichne eine glatte Kurve durch die Punkte

Quadratwurzelfunktionsgleichungen

Um eine Gleichung mit einer Quadratwurzel zu lösen, $isolierst du die Wurzel$ , quadrierst beide Seiten und prüfst anschließend jeden Lösungskandidaten in der ursprünglichen Gleichung. Das Quadrieren ist für beliebige reelle Ausdrücke nicht umkehrbar und kann deshalb Scheinlösungen erzeugen.

Schritt	Erklärung	Beispiel: $\sqrt{2x+3} = 5$
$1$	Isoliere die Quadratwurzel	Bereits isoliert
$2$	Beide Seiten quadrieren	$(\sqrt{2x+3})^2 = 5^2$
$3$	Vereinfachen	$2x+3 = 25$
$4$	Lösen	$2x = 22 \Rightarrow x = 11$
$5$	Überprüfen	$\sqrt{2(11)+3} = \sqrt{25} = 5$ ✓

$Prüfe die ursprüngliche Gleichung$ , um Scheinlösungen auszuschließen. Wird eine Quadratwurzel gleich minus zwei gesetzt und dann quadriert, entsteht der Kandidat vier. Beim Einsetzen scheitert dieser Kandidat jedoch.

\sqrt{x}=-2\quad\Longrightarrow\quad x=4

Quadratwurzelfunktionsungleichungen

Bestimme bei einer Quadratwurzelungleichung $zuerst den Definitionsbereich$ . Prüfe vor dem Quadrieren auch das Vorzeichen der Seite ohne Wurzelausdruck, damit die Ungleichung äquivalent bleibt.

$Beispiel$ : Löse $\sqrt{x-1} < 3$

\text{Bedingung:} x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1

Da beide Seiten im Definitionsbereich nicht negativ sind, bleibt die Ungleichung beim Quadrieren äquivalent. Zusammen mit $x\geq 1$ und $x<10$ ergibt sich $1 \leq x < 10$ .

Übungsaufgaben

Die Aufgaben verlangen den Definitionsbereich, den Wertebereich oder den Graphen einer Wurzelfunktion. Beginne mit der $Bedingung unter der Wurzel$ .

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich der Funktion $f(x) = \sqrt{3x-6}$
Zeichne den Graphen der Funktion $g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$
Löse die Gleichung $\sqrt{x+5} + \sqrt{x} = 5$
Eine Rakete wird senkrecht gestartet. Das Modell $h(t) = 100\sqrt{t} \text{ Meter}$ beschreibt ihre Höhe nach $t \text{ Sekunden}$ . Wie hoch ist die Rakete nach $9 \text{ Sekunden}$ ?
Bestimme alle Werte von $x$ , für die $2\sqrt{x-3} \geq 6$ gilt.

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Der $Radikand darf nicht negativ sein$ :

3x-6\geq 0

Damit ist $D_f=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq 2\}$ . Wenn $x$ diesen Definitionsbereich durchläuft, nimmt $3x-6$ jeden nicht negativen Wert an. Folglich gilt $R_f=\{y\in\mathbb{R}\mid y\geq 0\}$ .

$Aufgabe 2$ . $Graph von$ $g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$

$Schritte zum Zeichnen$ :

Schritt	Erklärung	Details für $g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$
$1$	Transformationen identifizieren	$a = -1$ (Spiegelung entlang der $x$ -Achse), $h = -4$ (Verschiebung $4 \text{ Einheiten}$ nach links), $k = 2$ (Verschiebung $2 \text{ Einheiten}$ nach oben)
$2$	Startpunkt bestimmen	$x+4 = 0 \Rightarrow x = -4$ , $g(-4) = 0 + 2 = 2$ , Startpunkt: $(-4, 2)$
$3$	Definitionsbereich bestimmen	$x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4$
$4$	Wertebereich bestimmen	Da $a = -1 < 0$ , fällt der Graph vom Startpunkt aus. Deshalb gilt $y \leq 2$ .
$5$	Wertetabelle erstellen	Wähle Werte $x \geq -4$

$Wertetabelle$ :

$x$	$x+4$	$\sqrt{x+4}$	$-\sqrt{x+4}$	$g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$
$-4$	$0$	$0$	$0$	$2$
$-3$	$1$	$1$	$-1$	$1$
$0$	$4$	$2$	$-2$	$0$
$5$	$9$	$3$	$-3$	$-1$
$12$	$16$	$4$	$-4$	$-2$

Graph von

g(x) = -\sqrt{x+4} + 2

Der Graph wird an der

x

-Achse gespiegelt und anschließend verschoben.

Der Graph beginnt bei $(-4,2)$ . Das negative Vorzeichen spiegelt den Grundgraphen an der $x$ -Achse, sodass die Kurve nach rechts fällt und ihre Funktionswerte höchstens $2$ betragen.

$Aufgabe 3$ . Der Definitionsbereich erfordert $x\geq 0$ . $Isoliere einen Wurzelausdruck$ :

\sqrt{x+5}=5-\sqrt{x}

Prüfe die ursprüngliche Gleichung: $\sqrt{4+5}+\sqrt{4}=3+2=5$ . Somit ist $x=4$ gültig.

$Aufgabe 4$ . $Ersetze$ $t=9$ im Modell:

h(9)=100\sqrt{9}=100\cdot 3=300\text{ m}.

Das Modell verwendet $t\geq 0$ , und $9$ liegt in diesem Definitionsbereich. Die modellierte Höhe beträgt $300\text{ m}$ .

$Aufgabe 5$ . Halte zunächst den Definitionsbereich fest: Aus $x-3\geq 0$ folgt $x\geq 3$ . $Teile durch die positive Zahl$ $2$ und quadriere anschließend die nicht negativen Seiten:

2\sqrt{x-3}\geq 6

Der Schnitt mit dem Definitionsbereich ergibt weiterhin $x\geq 12$ .

Nichtnegative Quadratwurzeln als Funktionswerte

Eine Quadratwurzelfunktion $wendet die Hauptquadratwurzel auf einen Ausdruck an$ . Sie hat die Form $f(x) = \sqrt{g(x)}$ , wobei $g(x)$ der Radikand ist, also der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

Die Grundfunktion ist $f(x) = \sqrt{x}$ . Sie ordnet jeder nicht negativen Eingabe ihre nicht negative Quadratwurzel zu.

Eigenschaften von Quadratwurzelfunktionen

Quadratwurzelfunktionen haben drei wesentliche Merkmale:

$Eingeschränkter Definitionsbereich$ : Im Bereich der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel negativer Zahlen nicht definiert. Zulässig sind deshalb nur Eingaben, für die der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ ist.
$Erkennbarer Grundgraph$ : Der Graph von $y=\sqrt{x}$ beginnt bei $(0,0)$ und steigt mit zunehmendem $x$ immer langsamer. Transformationen können diese Form verschieben, strecken oder spiegeln.
$Nichtnegative Hauptwurzel$ : Der Wert von $\sqrt{g(x)}$ selbst ist immer nicht negativ. Ein vorgelagerter Faktor oder eine Verschiebung kann eine transformierte Funktion dennoch negativ machen.

Definitionsbereich und Wertebereich von Quadratwurzelfunktionen

Definitionsbereich bestimmen

Prüfe die Bedingung nur dort, wo der $Radikand definiert$ ist. Bei einem Bruch bleibt jeder Ausschluss wegen eines Nenners mit Wert null bestehen.

D_f=\{x\in D_g\mid g(x)\geq0\}

Der Definitionsbereich einer Quadratwurzelfunktion $f(x) = \sqrt{g(x)}$ umfasst alle Werte von $x$ , die $g(x) \geq 0$ ergeben.

$Schritte zum Ermitteln des Definitionsbereichs$ :

Schritt	Erklärung	Beispiel: $f(x) = \sqrt{x-2}$
$1$	Identifiziere den Ausdruck innerhalb der Quadratwurzel	$g(x) = x-2$
$2$	Erstelle die Ungleichung $g(x) \geq 0$	$x-2 \geq 0$
$3$	Löse die Ungleichung	$x \geq 2$
$4$	Definitionsbereich angeben	$D_f = \{x \mid x \geq 2, x \in \mathbb{R}\}$

Wertebereich bestimmen

Der Wertebereich einer Quadratwurzelfunktion umfasst alle Ausgabewerte, die bei zulässigen Eingaben tatsächlich entstehen.

Für $f(x) = \sqrt{x-2}$ kann der Radikand jeden Wert ab Null annehmen. Die Hauptquadratwurzel hat daher den Wertebereich

R_f = \{y \mid y \geq 0, y \in \mathbb{R}\}

Die Wertemenge hängt auch vom $Maximum des Radikanden$ ab. Der folgende Radikand wird zum Beispiel nie größer als vier.

r(x)=\sqrt{4-x^2},\quad -2\leq x\leq2

Graph der grundlegenden Quadratwurzelfunktion

Der Grundgraph existiert nur für $x \geq 0$ und verläuft durch $(0,0)$ , $(1,1)$ und $(4,2)$ . $Um die Ausgabe$ um eine weitere Einheit zu erhöhen, muss die Eingabe stärker wachsen als zuvor.

Grundlegende Quadratwurzelfunktion:

f(x) = \sqrt{x}

Der Graph der grundlegenden Quadratwurzelfunktion beginnt mit dem Punkt

(0,0)

und steigt immer langsamer an.

Transformationen von Quadratwurzelfunktionen

Horizontale Verschiebung

Die Funktion $f(x) = \sqrt{x-h}$ verschiebt den Graphen der grundlegenden Quadratwurzelfunktion um $h \text{ Einheiten}$ $nach rechts$ (wenn $h > 0$ ) oder nach links (wenn $h < 0$ ).

Horizontale Verschiebung von Quadratwurzelfunktionen

Vergleich von

f(x) = \sqrt{x}

g(x) = \sqrt{x-2}

, und

h(x) = \sqrt{x+2}

Vertikale Verschiebung

Die Funktion $f(x) = \sqrt{x} + k$ verschiebt den Graphen der grundlegenden Quadratwurzelfunktion um $k \text{ Einheiten}$ $nach oben$ (wenn $k > 0$ ) oder nach unten (wenn $k < 0$ ).

Funktion	Transformation	Definitionsbereich	Wertebereich
$f(x) = \sqrt{x}$	Grundfunktion	$x \geq 0$	$y \geq 0$
$f(x) = \sqrt{x} + 2$	$2 \text{ Einheiten}$ nach oben verschieben	$x \geq 0$	$y \geq 2$
$f(x) = \sqrt{x} - 3$	$3 \text{ Einheiten}$ nach unten verschieben	$x \geq 0$	$y \geq -3$

Vertikale Streckung und Stauchung

Für $f(x) = a\sqrt{x}$ streckt $|a|>1$ $den Graphen vertikal$ , während $0<|a|<1$ ihn vertikal staucht. Ein negatives $a$ spiegelt den Graphen zusätzlich an der $x$ -Achse.

Vertikale Streckung und Stauchung

Vergleich von

f(x) = \sqrt{x}

g(x) = 2\sqrt{x}

, und

h(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x}

Allgemeine Form von Quadratwurzelfunktionen

Für den nicht entarteten Fall $a\neq 0$ und $b\neq 0$ hat die transformierte Quadratwurzelfunktion die Form:

f(x) = a\sqrt{b(x-h)} + k

Hier:

$a$ bestimmt die vertikale Skalierung und bei $a<0$ die Spiegelung an der $x$ -Achse
$b$ bestimmt die horizontale Skalierung und bei $b<0$ die horizontale Spiegelung
$h$ bestimmt die horizontale Verschiebung
$k$ bestimmt die vertikale Verschiebung

Der reelle Definitionsbereich folgt aus $b(x-h)\geq 0$ . Das Vorzeichen von $a$ bestimmt anschließend, ob sich der Wertebereich von $y=k$ aus nach oben oder unten erstreckt.

$Schritte zum Zeichnen des Graphen$ :

Schritt	Aktion	Beispiel: $f(x) = 2\sqrt{x-1} + 3$
$1$	Startpunkt bestimmen	$x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$ , $f(1) = 3$ , Punkt: $(1, 3)$
$2$	Definitionsbereich bestimmen	$x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$
$3$	Wertetabelle erstellen	Wähle mehrere Werte $x \geq 1$
$4$	Funktionswerte berechnen	Für $x = 2$ : $f(2) = 2\sqrt{1} + 3 = 5$
$5$	Punkte eintragen	Trage $(1,3)$ , $(2,5)$ , $(5,7)$ usw. ein
$6$	Punkte verbinden	Zeichne eine glatte Kurve durch die Punkte

Quadratwurzelfunktionsgleichungen

Schritt	Erklärung	Beispiel: $\sqrt{2x+3} = 5$
$1$	Isoliere die Quadratwurzel	Bereits isoliert
$2$	Beide Seiten quadrieren	$(\sqrt{2x+3})^2 = 5^2$
$3$	Vereinfachen	$2x+3 = 25$
$4$	Lösen	$2x = 22 \Rightarrow x = 11$
$5$	Überprüfen	$\sqrt{2(11)+3} = \sqrt{25} = 5$ ✓

\sqrt{x}=-2\quad\Longrightarrow\quad x=4

Quadratwurzelfunktionsungleichungen

Bestimme bei einer Quadratwurzelungleichung $zuerst den Definitionsbereich$ . Prüfe vor dem Quadrieren auch das Vorzeichen der Seite ohne Wurzelausdruck, damit die Ungleichung äquivalent bleibt.

$Beispiel$ : Löse $\sqrt{x-1} < 3$

\text{Bedingung:} x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1

Da beide Seiten im Definitionsbereich nicht negativ sind, bleibt die Ungleichung beim Quadrieren äquivalent. Zusammen mit $x\geq 1$ und $x<10$ ergibt sich $1 \leq x < 10$ .

Übungsaufgaben

Die Aufgaben verlangen den Definitionsbereich, den Wertebereich oder den Graphen einer Wurzelfunktion. Beginne mit der $Bedingung unter der Wurzel$ .

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich der Funktion $f(x) = \sqrt{3x-6}$
Zeichne den Graphen der Funktion $g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$
Löse die Gleichung $\sqrt{x+5} + \sqrt{x} = 5$
Eine Rakete wird senkrecht gestartet. Das Modell $h(t) = 100\sqrt{t} \text{ Meter}$ beschreibt ihre Höhe nach $t \text{ Sekunden}$ . Wie hoch ist die Rakete nach $9 \text{ Sekunden}$ ?
Bestimme alle Werte von $x$ , für die $2\sqrt{x-3} \geq 6$ gilt.

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Der $Radikand darf nicht negativ sein$ :

3x-6\geq 0

Damit ist $D_f=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq 2\}$ . Wenn $x$ diesen Definitionsbereich durchläuft, nimmt $3x-6$ jeden nicht negativen Wert an. Folglich gilt $R_f=\{y\in\mathbb{R}\mid y\geq 0\}$ .

$Aufgabe 2$ . $Graph von$ $g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$

$Schritte zum Zeichnen$ :

Schritt	Erklärung	Details für $g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$
$1$	Transformationen identifizieren	$a = -1$ (Spiegelung entlang der $x$ -Achse), $h = -4$ (Verschiebung $4 \text{ Einheiten}$ nach links), $k = 2$ (Verschiebung $2 \text{ Einheiten}$ nach oben)
$2$	Startpunkt bestimmen	$x+4 = 0 \Rightarrow x = -4$ , $g(-4) = 0 + 2 = 2$ , Startpunkt: $(-4, 2)$
$3$	Definitionsbereich bestimmen	$x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4$
$4$	Wertebereich bestimmen	Da $a = -1 < 0$ , fällt der Graph vom Startpunkt aus. Deshalb gilt $y \leq 2$ .
$5$	Wertetabelle erstellen	Wähle Werte $x \geq -4$

$Wertetabelle$ :

$x$	$x+4$	$\sqrt{x+4}$	$-\sqrt{x+4}$	$g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$
$-4$	$0$	$0$	$0$	$2$
$-3$	$1$	$1$	$-1$	$1$
$0$	$4$	$2$	$-2$	$0$
$5$	$9$	$3$	$-3$	$-1$
$12$	$16$	$4$	$-4$	$-2$

Graph von

g(x) = -\sqrt{x+4} + 2

Der Graph wird an der

x

-Achse gespiegelt und anschließend verschoben.

Der Graph beginnt bei $(-4,2)$ . Das negative Vorzeichen spiegelt den Grundgraphen an der $x$ -Achse, sodass die Kurve nach rechts fällt und ihre Funktionswerte höchstens $2$ betragen.

$Aufgabe 3$ . Der Definitionsbereich erfordert $x\geq 0$ . $Isoliere einen Wurzelausdruck$ :

\sqrt{x+5}=5-\sqrt{x}

Prüfe die ursprüngliche Gleichung: $\sqrt{4+5}+\sqrt{4}=3+2=5$ . Somit ist $x=4$ gültig.

$Aufgabe 4$ . $Ersetze$ $t=9$ im Modell:

h(9)=100\sqrt{9}=100\cdot 3=300\text{ m}.

Das Modell verwendet $t\geq 0$ , und $9$ liegt in diesem Definitionsbereich. Die modellierte Höhe beträgt $300\text{ m}$ .

$Aufgabe 5$ . Halte zunächst den Definitionsbereich fest: Aus $x-3\geq 0$ folgt $x\geq 3$ . $Teile durch die positive Zahl$ $2$ und quadriere anschließend die nicht negativen Seiten:

2\sqrt{x-3}\geq 6

Der Schnitt mit dem Definitionsbereich ergibt weiterhin $x\geq 12$ .