Nichtnegative Quadratwurzeln als Funktionswerte
Eine Quadratwurzelfunktion wendet die Hauptquadratwurzel auf einen Ausdruck an. Sie hat die Form , wobei der Radikand ist, also der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.
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Die Grundfunktion ist . Sie ordnet jeder nicht negativen Eingabe ihre nicht negative Quadratwurzel zu.
Quadratwurzelfunktionen haben drei wesentliche Merkmale:
Eingeschränkter Definitionsbereich: Im Bereich der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel negativer Zahlen nicht definiert. Zulässig sind deshalb nur Eingaben, für die der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ ist.
Erkennbarer Grundgraph: Der Graph von beginnt bei und steigt mit zunehmendem immer langsamer. Transformationen können diese Form verschieben, strecken oder spiegeln.
Nichtnegative Hauptwurzel: Der Wert von selbst ist immer nicht negativ. Ein vorgelagerter Faktor oder eine Verschiebung kann eine transformierte Funktion dennoch negativ machen.
Die Definitionsmenge begrenzt Eingaben, die Wertemenge enthält tatsächlich erreichte Ausgaben. Eine Hauptquadratwurzel ohne äußeren Faktor oder Verschiebung liefert nichtnegative Werte. Ein begrenzter Radikand kann auch die Wertemenge nach oben begrenzen.
Prüfe die Bedingung nur dort, wo der Radikand definiert ist. Bei einem Bruch bleibt jeder Ausschluss wegen eines Nenners mit Wert null bestehen.
Der Definitionsbereich einer Quadratwurzelfunktion umfasst alle Werte von , die ergeben.
Schritte zum Ermitteln des Definitionsbereichs:
| Schritt | Erklärung | Beispiel: |
|---|---|---|
| Identifiziere den Ausdruck innerhalb der Quadratwurzel | ||
Der Wertebereich einer Quadratwurzelfunktion umfasst alle Ausgabewerte, die bei zulässigen Eingaben tatsächlich entstehen.
Für kann der Radikand jeden Wert ab Null annehmen. Die Hauptquadratwurzel hat daher den Wertebereich
Die Wertemenge hängt auch vom Maximum des Radikanden ab. Der folgende Radikand wird zum Beispiel nie größer als vier.
Der Grundgraph existiert nur für und verläuft durch , und . Um die Ausgabe um eine weitere Einheit zu erhöhen, muss die Eingabe stärker wachsen als zuvor.
Eine Verschiebung ändert die Lage des Startpunkts. Eine vertikale Streckung verändert die Höhe jedes Punktes relativ zur waagerechten Achse. Eine Spiegelung kann die Kurvenrichtung umkehren. Wird die Grundfunktion nur gestreckt, bleibt ihr Startpunkt im Ursprung.
Die Funktion verschiebt den Graphen der grundlegenden Quadratwurzelfunktion um nach rechts (wenn ) oder nach links (wenn ).
Die Funktion verschiebt den Graphen der grundlegenden Quadratwurzelfunktion um nach oben (wenn ) oder nach unten (wenn ).
| Funktion | Transformation | Definitionsbereich | Wertebereich |
|---|---|---|---|
| Grundfunktion | |||
| nach oben verschieben | |||
| nach unten verschieben |
Für streckt den Graphen vertikal, während ihn vertikal staucht. Ein negatives spiegelt den Graphen zusätzlich an der -Achse.
Für den nicht entarteten Fall und hat die transformierte Quadratwurzelfunktion die Form:
Hier:
Der reelle Definitionsbereich folgt aus . Das Vorzeichen von bestimmt anschließend, ob sich der Wertebereich von aus nach oben oder unten erstreckt.
Schritte zum Zeichnen des Graphen:
| Schritt | Aktion | Beispiel: |
|---|---|---|
| Startpunkt bestimmen | , , Punkt: |
Um eine Gleichung mit einer Quadratwurzel zu lösen, isolierst du die Wurzel, quadrierst beide Seiten und prüfst anschließend jeden Lösungskandidaten in der ursprünglichen Gleichung. Das Quadrieren ist für beliebige reelle Ausdrücke nicht umkehrbar und kann deshalb Scheinlösungen erzeugen.
| Schritt | Erklärung | Beispiel: |
|---|---|---|
| Isoliere die Quadratwurzel | Bereits isoliert | |
| Beide Seiten quadrieren |
Prüfe die ursprüngliche Gleichung, um Scheinlösungen auszuschließen. Wird eine Quadratwurzel gleich minus zwei gesetzt und dann quadriert, entsteht der Kandidat vier. Beim Einsetzen scheitert dieser Kandidat jedoch.
Bestimme bei einer Quadratwurzelungleichung zuerst den Definitionsbereich. Prüfe vor dem Quadrieren auch das Vorzeichen der Seite ohne Wurzelausdruck, damit die Ungleichung äquivalent bleibt.
Beispiel: Löse
Da beide Seiten im Definitionsbereich nicht negativ sind, bleibt die Ungleichung beim Quadrieren äquivalent. Zusammen mit und ergibt sich .
Die Aufgaben verlangen den Definitionsbereich, den Wertebereich oder den Graphen einer Wurzelfunktion. Beginne mit der Bedingung unter der Wurzel.
Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich der Funktion
Zeichne den Graphen der Funktion
Löse die Gleichung
Eine Rakete wird senkrecht gestartet. Das Modell beschreibt ihre Höhe nach . Wie hoch ist die Rakete nach ?
Bestimme alle Werte von , für die gilt.
Aufgabe 1. Der Radikand darf nicht negativ sein:
Damit ist . Wenn diesen Definitionsbereich durchläuft, nimmt jeden nicht negativen Wert an. Folglich gilt .
Aufgabe 2. Graph von
Schritte zum Zeichnen:
| Schritt | Erklärung | Details für |
|---|---|---|
| Transformationen identifizieren | (Spiegelung entlang der -Achse), (Verschiebung nach links), (Verschiebung nach oben) |
Wertetabelle:
Der Graph beginnt bei . Das negative Vorzeichen spiegelt den Grundgraphen an der -Achse, sodass die Kurve nach rechts fällt und ihre Funktionswerte höchstens betragen.
Aufgabe 3. Der Definitionsbereich erfordert . Isoliere einen Wurzelausdruck:
Prüfe die ursprüngliche Gleichung: . Somit ist gültig.
Aufgabe 4. Ersetze im Modell:
Das Modell verwendet , und liegt in diesem Definitionsbereich. Die modellierte Höhe beträgt .
Aufgabe 5. Halte zunächst den Definitionsbereich fest: Aus folgt . Teile durch die positive Zahl und quadriere anschließend die nicht negativen Seiten:
Der Schnitt mit dem Definitionsbereich ergibt weiterhin .
Veröffentlicht: . Aktualisiert: .
| Erstelle die Ungleichung |
| Löse die Ungleichung |
| Definitionsbereich angeben |
| Definitionsbereich bestimmen |
| Wertetabelle erstellen | Wähle mehrere Werte |
| Funktionswerte berechnen | Für : |
| Punkte eintragen | Trage , , usw. ein |
| Punkte verbinden | Zeichne eine glatte Kurve durch die Punkte |
| Vereinfachen |
| Lösen |
| Überprüfen | ✓ |
| Startpunkt bestimmen | , , Startpunkt: |
| Definitionsbereich bestimmen |
| Wertebereich bestimmen | Da , fällt der Graph vom Startpunkt aus. Deshalb gilt . |
| Wertetabelle erstellen | Wähle Werte |