Stückweise Funktionsmodellierung

Wann man stückweise Funktionen verwenden sollte

Eine stückweise Funktion ist nützlich, wenn eine Situation nicht durch eine einzige Formel beschrieben werden kann. Ihr Definitionsbereich wird in Intervalle aufgeteilt, $für die jeweils eine eigene Regel gilt$ .

Beispielsweise können die Stromkosten für die erste Nutzungsstufe günstiger und ab einer bestimmten Grenze teurer sein. Eine solche Grenze ist ein Zeichen dafür, dass das Modell in Teilen geschrieben werden sollte.

Definition einer stückweisen Funktion

Eine stückweise Funktion kann in der Form geschrieben werden:

f(x) = \begin{cases} f_1(x), & \text{wenn } x \in D_1 \\ f_2(x), & \text{wenn } x \in D_2 \\ f_3(x), & \text{wenn } x \in D_3 \\ \vdots \\ f_n(x), & \text{wenn } x \in D_n \end{cases}

Dabei sind $D_1, D_2, D_3, \ldots, D_n$ Intervalle, die den Definitionsbereich der Funktion in $disjunkte Teile$ zerlegen.

Prüfe beim Lesen oder Aufstellen einer stückweisen Funktion drei Dinge:

Die Formel in jeder Zeile.
Die Intervallbedingung, die entscheidet, wann diese Formel verwendet wird.
Der Funktionswert an Verbindungspunkten, insbesondere wenn eine Intervallgrenze $\lt$ , $\leq$ , $\gt$ oder $\geq$ verwendet.

Formen der Teilstücke

Die Formel bestimmt die Form jedes Teilstücks. Eine $lineare Formel$ ergibt eine Strecke oder einen Strahl, eine quadratische Formel einen Teil einer Parabel. Die Intervallbedingung legt fest, welcher Teil zum Graphen gehört.

Lineare Stücke

Eine lineare stückweise Funktion verwendet in jedem Intervall eine lineare Funktion. Diese Form tritt häufig auf, wenn die $Änderungsrate eine Zeit lang konstant$ bleibt und sich dann ab einem bestimmten Punkt ändert.

Lineare stückweise Funktion

Beispiel einer linearen stückweisen Funktion mit drei verschiedenen Teilen.

Die obige Funktion kann wie folgt geschrieben werden:

\begin{aligned} &f(x) \\ &= \begin{cases} 2x + 3, & \text{wenn} -2 \leq x < 0 \\ -x + 3, & \text{wenn } 0 \leq x < 2 \\ 0{,}5x, & \text{wenn } x \geq 2 \end{cases} \end{aligned}

Die drei Reihen sind keine drei separaten Funktionen. Sie arbeiten als eine Funktion zusammen und die gewählte Formel hängt vom Wert von $x$ ab.

Quadratische Stücke

Stückweise Funktionen können auch quadratische Teile verwenden. Ein quadratisches Teilstück kann einen $gekrümmten Abschnitt$ des Modells beschreiben.

Kombinierte stückweise Funktion

Kombination quadratischer und linearer Funktionen in einer stückweisen Funktion.

Der Graph verbindet die folgenden $zwei Vorschriften$ . An der Grenze $x=0$ legt die zweite Vorschrift den Funktionswert fest. Der offene Punkt der ersten Vorschrift ergibt keinen weiteren Wert.

f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0\\2x,&x\geq0\end{cases}

Verbindungspunkte und Kontinuität

Vergleiche an einer $Verbindungsstelle$ die Grenzwerte von links und rechts mit dem Funktionswert genau an dieser Stelle. Die drei Werte können übereinstimmen. Unterschiede können dagegen eine Lücke oder einen Sprung zeigen.

Verbindungen ohne Sprünge

Eine stückweise Funktion ist stetig, wenn der Graph an einem Verbindungspunkt keinen Sprung macht. Der Wert von links, der Wert von rechts und der Funktionswert an diesem Punkt $müssen übereinstimmen$ .

Bedingung für Kontinuität am Punkt $x = c$ :

\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)

Beispiel einer stetigen stückweisen Funktion:

f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{wenn } x < 2 \\ 3, & \text{wenn } x = 2 \\ 5 - x, & \text{wenn } x > 2 \end{cases}

Für Kontinuität bei $x = 2$ :

$\lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 3$
$\lim_{x \to 2^+} (5 - x) = 3$
$f(2) = 3$

Verbindungen mit Sprüngen

Diskontinuierliche stückweise Funktionen weisen an bestimmten Stellen „Sprünge“ oder „Löcher“ auf.

Beispielsweise treffen die beiden folgenden Regeln bei $x=1$ aufeinander, nähern sich dort aber $unterschiedlichen Ausgabewerten$ :

f(x)=\begin{cases}x+2,&\text{wenn }x<1\\2x-3,&\text{wenn }x\geq1\end{cases}

Diskontinuierliche stückweise Funktion

Beispiel einer Funktion mit Sprungunstetigkeit bei

x = 1

Modellierung mit stückweisen Funktionen

Eine Situation, deren Regel an einer Schwelle wechselt, passt zu einem stückweisen Modell. Progressive Tarife und gestufte Geschwindigkeiten wechseln die Regel an einer Stelle, die du benennen kannst, und diese Stelle wird zur $Grenze zwischen zwei Stücken$ .

Progressive Tarife

Stückweise Funktionen modellieren Regeln, die sich an festgelegten Schwellen ändern. Progressive Steuern, gestaffelte Parkgebühren und gestaffelte Stromtarife wenden nach dem Überschreiten einer Grenze jeweils eine andere Regel an.

$Beispiel: Stromtarife$

In diesem hypothetischen Beispiel gilt der $neue Tarif nur für den zusätzlichen Verbrauch$ in der jeweiligen Stufe. Der Verbrauch früherer Stufen wird weiterhin zum bisherigen Tarif berechnet:

$0\leq x\leq50$ kWh: $\text{Rp}1{.}000/\text{kWh}$
$50<x\leq100$ kWh: $\text{Rp}1{.}500/\text{kWh}$
$x>100$ kWh: $\text{Rp}2{.}000/\text{kWh}$

Das mathematische Modell:

C(x) = \begin{cases}\begin{gathered}1000x\\\text{wenn } 0 \leq x \leq 50\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}50000 + 1500(x-50)\\\text{wenn } 50 < x \leq 100\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}125000 + 2000(x-100)\\\text{wenn } x > 100\end{gathered}\end{cases}

Die Zahl $50{.}000$ in der zweiten Zeile stammt aus den Kosten für die ersten $50 \text{ kWh}$ . Die Zahl $125{.}000$ in der dritten Zeile ergibt sich aus den Kosten für die ersten $100 \text{ kWh}$ . Dadurch wird verhindert, dass die Kosten bei $0$ neu starten, wenn die Nutzung in ein neues Intervall eintritt.

Die Kosten eines neuen Intervalls ersetzen die bisherigen Kosten nicht. Beispielsweise gilt bei $75\text{ kWh}$ :

C(75)=1000(50)+1500(75-50)=50000+37500=87500

$Stromkostentabelle$ :

Verbrauch (kWh)	$30$	$50$	$75$	$100$	$150$
Kosten (Rp)	$30{.}000$	$50{.}000$	$87{.}500$	$125{.}000$	$225{.}000$

Wechselnde Geschwindigkeiten

$Beispiel: Reise mit mehreren Verkehrsmitteln$

Jemand unternimmt eine Reise mit:

Gehen: $5 \text{ km/h}$ für $0{,}5 \text{ Stunden}$
Radfahren: $15 \text{ km/h}$ für $1 \text{ Stunde}$
Autofahrt: $60 \text{ km/h}$ für $0{,}5 \text{ Stunden}$

Zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Zeit:

s(t) = \begin{cases}\begin{gathered}5t\\\text{wenn } 0 \leq t \leq 0{,}5\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}2{,}5 + 15(t-0{,}5)\\\text{wenn } 0{,}5 < t \leq 1{,}5\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}17{,}5 + 60(t-1{,}5)\\\text{wenn } 1{,}5 < t \leq 2\end{gathered}\end{cases}

Die Konstanten $2{,}5$ und $17{,}5$ entsprechen der Strecke, die zu Beginn jedes neuen Intervalls $bereits zurückgelegt$ ist. Dadurch bleibt $s(t)$ beim Wechsel des Verkehrsmittels stetig.

Stückweise Funktionsgleichungen bestimmen

So bestimmst du stückweise Funktionsgleichungen aus Graphen oder Situationen:

Teile den Definitionsbereich an jeder $Grenze auf, an der sich die Regel ändert$ .
Bestimme die Formel für jedes Intervall.
Prüfe die Verbindungsstellen, damit Intervallgrenzen und Funktionswerte zusammenpassen.
Schreibe alle Stücke in stückweiser Notation.

$Beispiel$ :

Ein Graph zeigt:

Linie mit Steigung $2$ von $x = -2$ bis $x = 0$
Horizontale Linie $y = 4$ von $x = 0$ bis $x = 2$
Linie mit Steigung $-1$ von $x = 2$ bis $x = 4$

Die Lösung lässt sich wie folgt zusammenfassen:

Intervall	Informationen aus dem Graphen	Gleichung
$[-2, 0)$	Verläuft durch $(-2, 0)$ mit Steigung $2$	$y = 2(x + 2) = 2x + 4$
$[0, 2)$	Horizontale Linie	$y = 4$
$[2, 4]$	Verläuft durch $(2, 4)$ mit Steigung $-1$	$y = -1(x - 2) + 4 = -x + 6$

Stückweise Funktion:

\begin{aligned} &f(x) \\ &= \begin{cases} 2x + 4, & \text{wenn} -2 \leq x < 0 \\ 4, & \text{wenn } 0 \leq x < 2 \\ -x + 6, & \text{wenn } 2 \leq x \leq 4 \end{cases} \end{aligned}

Übungsaufgaben

Wähle vor dem Einsetzen das $Intervall, das die Eingabe enthält$ . Bei Kosten- und Lohnmodellen übernimmst du den bisher angesammelten Betrag in das nächste Intervall.

Bestimme die Werte von $f(1)$ , $f(3)$ und $f(5)$ für die Funktion:

f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{wenn } x < 2 \\ 2x + 1, & \text{wenn } 2 \leq x < 4 \\ 9, & \text{wenn } x \geq 4 \end{cases}

Ein Online-Taxiunternehmen wendet die folgenden Tarife an:

Der Grundpreis beträgt $\text{Rp}10{.}000$ für die ersten $2 \text{ km}$ . Die Strecke über $2 \text{ km}$ bis $10 \text{ km}$ kostet $\text{Rp}4{.}000/\text{km}$ . Oberhalb von $10 \text{ km}$ beträgt der zusätzliche Tarif $\text{Rp}3{.}000/\text{km}$ .

Erstelle ein stückweises Funktionsmodell für die Gesamtkosten!
Bestimme, ob die folgende Funktion bei $x = 1$ stetig ist:

g(x) = \begin{cases} 3x - 1, & \text{wenn } x < 1 \\ 2, & \text{wenn } x = 1 \\ x + 1, & \text{wenn } x > 1 \end{cases}

Skizziere den Graphen der Funktion:

h(x) = \begin{cases} -x + 2, & \text{wenn } x < 0 \\ x^2, & \text{wenn } 0 \leq x < 2 \\ 4, & \text{wenn } x \geq 2 \end{cases}

Ein Arbeiter wird nach folgendem System bezahlt:

Die ersten $8 \text{ Stunden}$ werden mit $\text{Rp}50{.}000/\text{Stunde}$ bezahlt. Jede weitere Stunde wird mit $\text{Rp}75{.}000/\text{Stunde}$ vergütet.

Der Arbeitnehmer darf höchstens $12 \text{ Stunden/Tag}$ arbeiten. Erstelle eine Funktion für seinen Tageslohn.

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Bestimme für jede Eingabe die $zutreffende Zeile$ und berechne dann den Wert.

Für $f(1)$ verwenden wir $f(x) = x^2$ , da $1 < 2$ gilt.

f(1) = 1^2 = 1

Für $f(3)$ verwenden wir $f(x) = 2x + 1$ , da $2 \leq 3 < 4$ gilt.

f(3) = 2(3) + 1 = 7

Für $f(5)$ verwenden wir $f(x) = 9$ , da $5 \geq 4$ gilt.

f(5) = 9

$Aufgabe 2$ . Die Kosten an der ersten Grenze bilden den $Anfangsbetrag$ des nächsten Intervalls. Bis $10\text{ km}$ fallen folgende Kosten an:

10000+4000(10-2)=10000+32000=42000

Sei $x$ die Entfernung in km, dann gilt:

C(x) = \begin{cases}\begin{gathered}10000\\\text{wenn } 0 < x \leq 2\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}10000 + 4000(x-2)\\\text{wenn } 2 < x \leq 10\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}\begin{aligned}10000+32000\\+3000(x-10)\end{aligned}\\\text{wenn } x > 10\end{gathered}\end{cases}

Oder vereinfacht:

C(x) = \begin{cases}\begin{gathered}10000\\\text{wenn } 0 < x \leq 2\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}4000x + 2000\\\text{wenn } 2 < x \leq 10\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}3000x + 12000\\\text{wenn } x > 10\end{gathered}\end{cases}

$Aufgabe 3$ . Bei $x = 1$ :

\begin{aligned} \lim_{x \to 1^-} g(x) &= \lim_{x \to 1^-} (3x - 1) \\ &= 3(1) - 1 \\ &= 2 \end{aligned}

Da $\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^+} g(x) = g(1) = 2$ gilt, ist die Funktion $stetig$ bei $x = 1$ .

$Aufgabe 4$ . Beachte die $offenen und geschlossenen Punkte$ : Bei $x=0$ beträgt der Funktionswert $0$ und nicht $2$ . Bei $x=2$ beträgt er $4$ .

Funktionsgraph

h(x)

Stückweise Funktion mit drei Teilen: abnehmend linear, quadratisch und konstant

$Aufgabe 5$ . Der Lohn nach acht Stunden enthält den $bereits verdienten Betrag$ und zusätzlich die Vergütung für Überstunden.

50000(8)=400000

Sei $t$ die Arbeitszeit in Stunden. Dann gilt:

U(t) = \begin{cases}\begin{gathered}50000t\\\text{wenn } 0 \leq t \leq 8\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}400000 + 75000(t-8)\\\text{wenn } 8 < t \leq 12\end{gathered}\end{cases}

Oder vereinfacht:

U(t) = \begin{cases}\begin{gathered}50000t\\\text{wenn } 0 \leq t \leq 8\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}75000t - 200000\\\text{wenn } 8 < t \leq 12\end{gathered}\end{cases}

Wann man stückweise Funktionen verwenden sollte

Definition einer stückweisen Funktion

Eine stückweise Funktion kann in der Form geschrieben werden:

f(x) = \begin{cases} f_1(x), & \text{wenn } x \in D_1 \\ f_2(x), & \text{wenn } x \in D_2 \\ f_3(x), & \text{wenn } x \in D_3 \\ \vdots \\ f_n(x), & \text{wenn } x \in D_n \end{cases}

Dabei sind $D_1, D_2, D_3, \ldots, D_n$ Intervalle, die den Definitionsbereich der Funktion in $disjunkte Teile$ zerlegen.

Prüfe beim Lesen oder Aufstellen einer stückweisen Funktion drei Dinge:

Die Formel in jeder Zeile.
Die Intervallbedingung, die entscheidet, wann diese Formel verwendet wird.
Der Funktionswert an Verbindungspunkten, insbesondere wenn eine Intervallgrenze $\lt$ , $\leq$ , $\gt$ oder $\geq$ verwendet.

Formen der Teilstücke

Lineare Stücke

Lineare stückweise Funktion

Beispiel einer linearen stückweisen Funktion mit drei verschiedenen Teilen.

Die obige Funktion kann wie folgt geschrieben werden:

\begin{aligned} &f(x) \\ &= \begin{cases} 2x + 3, & \text{wenn} -2 \leq x < 0 \\ -x + 3, & \text{wenn } 0 \leq x < 2 \\ 0{,}5x, & \text{wenn } x \geq 2 \end{cases} \end{aligned}

Die drei Reihen sind keine drei separaten Funktionen. Sie arbeiten als eine Funktion zusammen und die gewählte Formel hängt vom Wert von $x$ ab.

Quadratische Stücke

Stückweise Funktionen können auch quadratische Teile verwenden. Ein quadratisches Teilstück kann einen $gekrümmten Abschnitt$ des Modells beschreiben.

Kombinierte stückweise Funktion

Kombination quadratischer und linearer Funktionen in einer stückweisen Funktion.

Der Graph verbindet die folgenden $zwei Vorschriften$ . An der Grenze $x=0$ legt die zweite Vorschrift den Funktionswert fest. Der offene Punkt der ersten Vorschrift ergibt keinen weiteren Wert.

f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0\\2x,&x\geq0\end{cases}

Verbindungspunkte und Kontinuität

Verbindungen ohne Sprünge

Bedingung für Kontinuität am Punkt $x = c$ :

\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)

Beispiel einer stetigen stückweisen Funktion:

f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{wenn } x < 2 \\ 3, & \text{wenn } x = 2 \\ 5 - x, & \text{wenn } x > 2 \end{cases}

Für Kontinuität bei $x = 2$ :

$\lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 3$
$\lim_{x \to 2^+} (5 - x) = 3$
$f(2) = 3$

Verbindungen mit Sprüngen

Diskontinuierliche stückweise Funktionen weisen an bestimmten Stellen „Sprünge“ oder „Löcher“ auf.

Beispielsweise treffen die beiden folgenden Regeln bei $x=1$ aufeinander, nähern sich dort aber $unterschiedlichen Ausgabewerten$ :

f(x)=\begin{cases}x+2,&\text{wenn }x<1\\2x-3,&\text{wenn }x\geq1\end{cases}

Diskontinuierliche stückweise Funktion

Beispiel einer Funktion mit Sprungunstetigkeit bei

x = 1

Modellierung mit stückweisen Funktionen

Progressive Tarife

$Beispiel: Stromtarife$

In diesem hypothetischen Beispiel gilt der $neue Tarif nur für den zusätzlichen Verbrauch$ in der jeweiligen Stufe. Der Verbrauch früherer Stufen wird weiterhin zum bisherigen Tarif berechnet:

$0\leq x\leq50$ kWh: $\text{Rp}1{.}000/\text{kWh}$
$50<x\leq100$ kWh: $\text{Rp}1{.}500/\text{kWh}$
$x>100$ kWh: $\text{Rp}2{.}000/\text{kWh}$

Das mathematische Modell:

C(x) = \begin{cases}\begin{gathered}1000x\\\text{wenn } 0 \leq x \leq 50\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}50000 + 1500(x-50)\\\text{wenn } 50 < x \leq 100\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}125000 + 2000(x-100)\\\text{wenn } x > 100\end{gathered}\end{cases}

Die Kosten eines neuen Intervalls ersetzen die bisherigen Kosten nicht. Beispielsweise gilt bei $75\text{ kWh}$ :

C(75)=1000(50)+1500(75-50)=50000+37500=87500

$Stromkostentabelle$ :

Verbrauch (kWh)	$30$	$50$	$75$	$100$	$150$
Kosten (Rp)	$30{.}000$	$50{.}000$	$87{.}500$	$125{.}000$	$225{.}000$

Wechselnde Geschwindigkeiten

$Beispiel: Reise mit mehreren Verkehrsmitteln$

Jemand unternimmt eine Reise mit:

Gehen: $5 \text{ km/h}$ für $0{,}5 \text{ Stunden}$
Radfahren: $15 \text{ km/h}$ für $1 \text{ Stunde}$
Autofahrt: $60 \text{ km/h}$ für $0{,}5 \text{ Stunden}$

Zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Zeit:

s(t) = \begin{cases}\begin{gathered}5t\\\text{wenn } 0 \leq t \leq 0{,}5\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}2{,}5 + 15(t-0{,}5)\\\text{wenn } 0{,}5 < t \leq 1{,}5\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}17{,}5 + 60(t-1{,}5)\\\text{wenn } 1{,}5 < t \leq 2\end{gathered}\end{cases}

Die Konstanten $2{,}5$ und $17{,}5$ entsprechen der Strecke, die zu Beginn jedes neuen Intervalls $bereits zurückgelegt$ ist. Dadurch bleibt $s(t)$ beim Wechsel des Verkehrsmittels stetig.

Stückweise Funktionsgleichungen bestimmen

So bestimmst du stückweise Funktionsgleichungen aus Graphen oder Situationen:

Teile den Definitionsbereich an jeder $Grenze auf, an der sich die Regel ändert$ .
Bestimme die Formel für jedes Intervall.
Prüfe die Verbindungsstellen, damit Intervallgrenzen und Funktionswerte zusammenpassen.
Schreibe alle Stücke in stückweiser Notation.

$Beispiel$ :

Ein Graph zeigt:

Linie mit Steigung $2$ von $x = -2$ bis $x = 0$
Horizontale Linie $y = 4$ von $x = 0$ bis $x = 2$
Linie mit Steigung $-1$ von $x = 2$ bis $x = 4$

Die Lösung lässt sich wie folgt zusammenfassen:

Intervall	Informationen aus dem Graphen	Gleichung
$[-2, 0)$	Verläuft durch $(-2, 0)$ mit Steigung $2$	$y = 2(x + 2) = 2x + 4$
$[0, 2)$	Horizontale Linie	$y = 4$
$[2, 4]$	Verläuft durch $(2, 4)$ mit Steigung $-1$	$y = -1(x - 2) + 4 = -x + 6$

Stückweise Funktion:

\begin{aligned} &f(x) \\ &= \begin{cases} 2x + 4, & \text{wenn} -2 \leq x < 0 \\ 4, & \text{wenn } 0 \leq x < 2 \\ -x + 6, & \text{wenn } 2 \leq x \leq 4 \end{cases} \end{aligned}

Übungsaufgaben

Wähle vor dem Einsetzen das $Intervall, das die Eingabe enthält$ . Bei Kosten- und Lohnmodellen übernimmst du den bisher angesammelten Betrag in das nächste Intervall.

Bestimme die Werte von $f(1)$ , $f(3)$ und $f(5)$ für die Funktion:

f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{wenn } x < 2 \\ 2x + 1, & \text{wenn } 2 \leq x < 4 \\ 9, & \text{wenn } x \geq 4 \end{cases}

Ein Online-Taxiunternehmen wendet die folgenden Tarife an:

Der Grundpreis beträgt $\text{Rp}10{.}000$ für die ersten $2 \text{ km}$ . Die Strecke über $2 \text{ km}$ bis $10 \text{ km}$ kostet $\text{Rp}4{.}000/\text{km}$ . Oberhalb von $10 \text{ km}$ beträgt der zusätzliche Tarif $\text{Rp}3{.}000/\text{km}$ .

Erstelle ein stückweises Funktionsmodell für die Gesamtkosten!
Bestimme, ob die folgende Funktion bei $x = 1$ stetig ist:

g(x) = \begin{cases} 3x - 1, & \text{wenn } x < 1 \\ 2, & \text{wenn } x = 1 \\ x + 1, & \text{wenn } x > 1 \end{cases}

Skizziere den Graphen der Funktion:

h(x) = \begin{cases} -x + 2, & \text{wenn } x < 0 \\ x^2, & \text{wenn } 0 \leq x < 2 \\ 4, & \text{wenn } x \geq 2 \end{cases}

Ein Arbeiter wird nach folgendem System bezahlt:

Die ersten $8 \text{ Stunden}$ werden mit $\text{Rp}50{.}000/\text{Stunde}$ bezahlt. Jede weitere Stunde wird mit $\text{Rp}75{.}000/\text{Stunde}$ vergütet.

Der Arbeitnehmer darf höchstens $12 \text{ Stunden/Tag}$ arbeiten. Erstelle eine Funktion für seinen Tageslohn.

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Bestimme für jede Eingabe die $zutreffende Zeile$ und berechne dann den Wert.

Für $f(1)$ verwenden wir $f(x) = x^2$ , da $1 < 2$ gilt.

f(1) = 1^2 = 1

Für $f(3)$ verwenden wir $f(x) = 2x + 1$ , da $2 \leq 3 < 4$ gilt.

f(3) = 2(3) + 1 = 7

Für $f(5)$ verwenden wir $f(x) = 9$ , da $5 \geq 4$ gilt.

f(5) = 9

$Aufgabe 2$ . Die Kosten an der ersten Grenze bilden den $Anfangsbetrag$ des nächsten Intervalls. Bis $10\text{ km}$ fallen folgende Kosten an:

10000+4000(10-2)=10000+32000=42000

Sei $x$ die Entfernung in km, dann gilt:

C(x) = \begin{cases}\begin{gathered}10000\\\text{wenn } 0 < x \leq 2\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}10000 + 4000(x-2)\\\text{wenn } 2 < x \leq 10\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}\begin{aligned}10000+32000\\+3000(x-10)\end{aligned}\\\text{wenn } x > 10\end{gathered}\end{cases}

Oder vereinfacht:

C(x) = \begin{cases}\begin{gathered}10000\\\text{wenn } 0 < x \leq 2\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}4000x + 2000\\\text{wenn } 2 < x \leq 10\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}3000x + 12000\\\text{wenn } x > 10\end{gathered}\end{cases}

$Aufgabe 3$ . Bei $x = 1$ :

\begin{aligned} \lim_{x \to 1^-} g(x) &= \lim_{x \to 1^-} (3x - 1) \\ &= 3(1) - 1 \\ &= 2 \end{aligned}

Da $\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^+} g(x) = g(1) = 2$ gilt, ist die Funktion $stetig$ bei $x = 1$ .

$Aufgabe 4$ . Beachte die $offenen und geschlossenen Punkte$ : Bei $x=0$ beträgt der Funktionswert $0$ und nicht $2$ . Bei $x=2$ beträgt er $4$ .

Funktionsgraph

h(x)

Stückweise Funktion mit drei Teilen: abnehmend linear, quadratisch und konstant

$Aufgabe 5$ . Der Lohn nach acht Stunden enthält den $bereits verdienten Betrag$ und zusätzlich die Vergütung für Überstunden.

50000(8)=400000

Sei $t$ die Arbeitszeit in Stunden. Dann gilt:

U(t) = \begin{cases}\begin{gathered}50000t\\\text{wenn } 0 \leq t \leq 8\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}400000 + 75000(t-8)\\\text{wenn } 8 < t \leq 12\end{gathered}\end{cases}

Oder vereinfacht:

U(t) = \begin{cases}\begin{gathered}50000t\\\text{wenn } 0 \leq t \leq 8\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}75000t - 200000\\\text{wenn } 8 < t \leq 12\end{gathered}\end{cases}