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Eine stückweise Funktion ist nützlich, wenn eine Situation nicht durch eine einzige Formel beschrieben werden kann. Ihr Definitionsbereich wird in Intervalle aufgeteilt, für die jeweils eine eigene Regel gilt.
Beispielsweise können die Stromkosten für die erste Nutzungsstufe günstiger und ab einer bestimmten Grenze teurer sein. Eine solche Grenze ist ein Zeichen dafür, dass das Modell in Teilen geschrieben werden sollte.
Eine stückweise Funktion kann in der Form geschrieben werden:
Dabei sind Intervalle, die den Definitionsbereich der Funktion in disjunkte Teile zerlegen.
Achten Sie beim Lesen oder Erstellen einer stückweisen Funktion auf drei Dinge:
Eine lineare stückweise Funktion verwendet in jedem Intervall eine lineare Funktion. Diese Form tritt häufig auf, wenn die Änderungsrate eine Zeit lang konstant bleibt und sich dann ab einem bestimmten Punkt ändert.
Die obige Funktion kann wie folgt geschrieben werden:
Die drei Reihen sind keine drei separaten Funktionen. Sie arbeiten als eine Funktion zusammen und die gewählte Formel hängt vom Wert von ab.
Stückweise Funktionen können auch quadratische Teile verwenden. Dies ist hilfreich, wenn ein Teil des Modells einer Kurve folgt, anstatt einer geraden Linie zu folgen.
Eine stückweise Funktion ist stetig, wenn der Graph an einem Verbindungspunkt keinen Sprung macht. Der Wert von links, der Wert von rechts und der Funktionswert an diesem Punkt müssen übereinstimmen.
Bedingung für Kontinuität am Punkt :
Beispiel einer stetigen stückweisen Funktion:
Für Kontinuität bei :
Diskontinuierliche stückweise Funktionen weisen an bestimmten Stellen „Sprünge“ oder „Löcher“ auf.
Beispielsweise treffen die beiden folgenden Regeln bei aufeinander, nähern sich dort aber unterschiedlichen Ausgabewerten:
Viele reale Situationen können mit stückweisen Funktionen modelliert werden, da sich ihre Regeln nach bestimmten Grenzen ändern. Gängige Beispiele sind progressive Steuern, gestaffelte Parkgebühren und gestaffelte Stromtarife.
Beispiel: Stromtarife
Ein Elektrizitätsunternehmen wendet gestaffelte Tarife an:
Das mathematische Modell:
Die Zahl in der zweiten Zeile stammt aus dem ersten . Die Zahl in der dritten Zeile ergibt sich aus den Kosten bis zum ersten . Dadurch wird verhindert, dass die Kosten bei neu starten, wenn die Nutzung in ein neues Intervall eintritt.
Stromkostentabelle:
| Verbrauch (kWh) | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Kosten (Rp) |
Beispiel: Reise mit mehreren Verkehrsmitteln
Jemand unternimmt eine Reise mit:
Abstandsfunktion über der Zeit:
Die Konstanten und sorgen dafür, dass die bereits zurückgelegte Strecke beim Wechsel des Verkehrsmittels erhalten bleibt. Jeder neue Abschnitt beginnt daher an der zuletzt erreichten Position und nicht wieder bei .
So ermitteln Sie stückweise Funktionsgleichungen aus Graphen oder Situationen:
Beispiel:
Ein Graph zeigt:
Die Lösung lässt sich wie folgt zusammenfassen:
| Intervall | Informationen aus dem Graphen | Gleichung |
|---|---|---|
| Verläuft durch mit Steigung | ||
| Horizontale Linie | ||
| Verläuft durch mit Steigung |
Stückweise Funktion:
Bestimmen Sie die Werte von , und für die Funktion:
Ein Online-Taxiunternehmen wendet die folgenden Tarife an:
Der Grundpreis beträgt für die ersten . Die Strecke über bis kostet . Oberhalb von beträgt der zusätzliche Tarif .
Bestimmen Sie, ob die folgende Funktion bei stetig ist:
Skizzieren Sie den Graphen der Funktion:
Ein Arbeiter wird nach folgendem System bezahlt:
Die ersten werden mit bezahlt. Jede weitere Stunde wird mit vergütet.
Der Arbeitnehmer darf höchstens arbeiten. Erstellen Sie eine Funktion für seinen Tageslohn.
Funktionswerte berechnen:
Für verwenden wir , da gilt.
Für verwenden wir , da gilt.
Für verwenden wir , da gilt.
Taxi-Tarifmodell:
Sei die Entfernung in km, dann gilt:
Kontinuität prüfen:
Bei :
Skizze des Graphen :
Tageslohnfunktion:
Sei die Arbeitszeit in Stunden. Dann gilt:
Erstellen Sie ein stückweises Funktionsmodell für die Gesamtkosten!
Oder vereinfacht:
Da gilt, ist die Funktion stetig bei .
Oder vereinfacht:
