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Beispielsweise können die Stromkosten für die erste Nutzungsstufe günstiger und ab einer bestimmten Grenze teurer sein. Eine solche Grenze ist ein Zeichen dafür, dass das Modell in Teilen geschrieben werden sollte.
Eine stückweise Funktion kann in der Form geschrieben werden:
Dabei sind Intervalle, die den Definitionsbereich der Funktion in disjunkte Teile zerlegen.
Prüfe beim Lesen oder Aufstellen einer stückweisen Funktion drei Dinge:
Die Formel bestimmt die Form jedes Teilstücks. Eine lineare Formel ergibt eine Strecke oder einen Strahl, eine quadratische Formel einen Teil einer Parabel. Die Intervallbedingung legt fest, welcher Teil zum Graphen gehört.
Eine lineare stückweise Funktion verwendet in jedem Intervall eine lineare Funktion. Diese Form tritt häufig auf, wenn die Änderungsrate eine Zeit lang konstant bleibt und sich dann ab einem bestimmten Punkt ändert.
Die obige Funktion kann wie folgt geschrieben werden:
Die drei Reihen sind keine drei separaten Funktionen. Sie arbeiten als eine Funktion zusammen und die gewählte Formel hängt vom Wert von ab.
Stückweise Funktionen können auch quadratische Teile verwenden. Ein quadratisches Teilstück kann einen gekrümmten Abschnitt des Modells beschreiben.
Der Graph verbindet die folgenden zwei Vorschriften. An der Grenze legt die zweite Vorschrift den Funktionswert fest. Der offene Punkt der ersten Vorschrift ergibt keinen weiteren Wert.
Vergleiche an einer Verbindungsstelle die Grenzwerte von links und rechts mit dem Funktionswert genau an dieser Stelle. Die drei Werte können übereinstimmen. Unterschiede können dagegen eine Lücke oder einen Sprung zeigen.
Eine stückweise Funktion ist stetig, wenn der Graph an einem Verbindungspunkt keinen Sprung macht. Der Wert von links, der Wert von rechts und der Funktionswert an diesem Punkt müssen übereinstimmen.
Bedingung für Kontinuität am Punkt :
Beispiel einer stetigen stückweisen Funktion:
Für Kontinuität bei :
Diskontinuierliche stückweise Funktionen weisen an bestimmten Stellen „Sprünge“ oder „Löcher“ auf.
Beispielsweise treffen die beiden folgenden Regeln bei aufeinander, nähern sich dort aber unterschiedlichen Ausgabewerten:
Eine Situation, deren Regel an einer Schwelle wechselt, passt zu einem stückweisen Modell. Progressive Tarife und gestufte Geschwindigkeiten wechseln die Regel an einer Stelle, die du benennen kannst, und diese Stelle wird zur Grenze zwischen zwei Stücken.
Stückweise Funktionen modellieren Regeln, die sich an festgelegten Schwellen ändern. Progressive Steuern, gestaffelte Parkgebühren und gestaffelte Stromtarife wenden nach dem Überschreiten einer Grenze jeweils eine andere Regel an.
Beispiel: Stromtarife
In diesem hypothetischen Beispiel gilt der neue Tarif nur für den zusätzlichen Verbrauch in der jeweiligen Stufe. Der Verbrauch früherer Stufen wird weiterhin zum bisherigen Tarif berechnet:
Das mathematische Modell:
Die Zahl in der zweiten Zeile stammt aus den Kosten für die ersten . Die Zahl in der dritten Zeile ergibt sich aus den Kosten für die ersten . Dadurch wird verhindert, dass die Kosten bei neu starten, wenn die Nutzung in ein neues Intervall eintritt.
Die Kosten eines neuen Intervalls ersetzen die bisherigen Kosten nicht. Beispielsweise gilt bei :
Stromkostentabelle:
| Verbrauch (kWh) | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Kosten (Rp) |
Beispiel: Reise mit mehreren Verkehrsmitteln
Jemand unternimmt eine Reise mit:
Zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Zeit:
Die Konstanten und entsprechen der Strecke, die zu Beginn jedes neuen Intervalls bereits zurückgelegt ist. Dadurch bleibt beim Wechsel des Verkehrsmittels stetig.
So bestimmst du stückweise Funktionsgleichungen aus Graphen oder Situationen:
Beispiel:
Ein Graph zeigt:
Die Lösung lässt sich wie folgt zusammenfassen:
| Intervall | Informationen aus dem Graphen | Gleichung |
|---|---|---|
| Verläuft durch mit Steigung | ||
| Horizontale Linie | ||
| Verläuft durch mit Steigung |
Stückweise Funktion:
Wähle vor dem Einsetzen das Intervall, das die Eingabe enthält. Bei Kosten- und Lohnmodellen übernimmst du den bisher angesammelten Betrag in das nächste Intervall.
Ein Online-Taxiunternehmen wendet die folgenden Tarife an:
Der Grundpreis beträgt für die ersten . Die Strecke über bis kostet . Oberhalb von beträgt der zusätzliche Tarif .
Erstelle ein stückweises Funktionsmodell für die Gesamtkosten!
Bestimme, ob die folgende Funktion bei stetig ist:
Ein Arbeiter wird nach folgendem System bezahlt:
Die ersten werden mit bezahlt. Jede weitere Stunde wird mit vergütet.
Der Arbeitnehmer darf höchstens arbeiten. Erstelle eine Funktion für seinen Tageslohn.
Aufgabe 1. Bestimme für jede Eingabe die zutreffende Zeile und berechne dann den Wert.
Für verwenden wir , da gilt.
Für verwenden wir , da gilt.
Für verwenden wir , da gilt.
Aufgabe 2. Die Kosten an der ersten Grenze bilden den Anfangsbetrag des nächsten Intervalls. Bis fallen folgende Kosten an:
Sei die Entfernung in km, dann gilt:
Oder vereinfacht:
Aufgabe 3. Bei :
Da gilt, ist die Funktion stetig bei .
Aufgabe 4. Beachte die offenen und geschlossenen Punkte: Bei beträgt der Funktionswert und nicht . Bei beträgt er .
Aufgabe 5. Der Lohn nach acht Stunden enthält den bereits verdienten Betrag und zusätzlich die Vergütung für Überstunden.
Sei die Arbeitszeit in Stunden. Dann gilt:
Oder vereinfacht:
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