Trigonometrische Funktion eines beliebigen Winkels

Trigonometrie für Winkel in allen Quadranten

Bewegt sich der Minutenzeiger einer Uhr von $12$ auf $6$ , überstreicht er einen Winkel von $180^\circ$ . Bei einer vollständigen Umdrehung überstreicht der Zeiger $360^\circ$ .

Trigonometrische Werte gelten für $Winkel in jedem Quadranten$ , also auch außerhalb der spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks.

Einheitskreis

Um trigonometrische Funktionen beliebiger Winkel zu verstehen, verwenden wir den Einheitskreis. Er hat den $Radius$ $1$ und seinen Mittelpunkt im Ursprung $O(0,0)$ .

Erkundung des Einheitskreises

Ändere den Winkel im Eingabefeld und beobachte, wie sich die Koordinaten des Kreispunkts ändern.

\sin\theta = \frac{1}{2}

\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}

\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}

\theta = 30^\circ

0,52 Bogenmaß

Dabei gilt:

Der Winkel $\theta$ wird immer von der positiven $x$ -Achse aus gemessen
Die positive Richtung ist gegen den Uhrzeigersinn
Jeder Punkt auf dem Kreis hat die Koordinaten $(x, y)$

$Wichtige Definitionen$ :

\sin \theta = y \text{(vertikale Koordinate)}

Vorzeichen der Funktionen in jedem Quadranten

Bei einer Bewegung um den Kreis können die Koordinaten $x$ und $y$ positiv oder negativ sein. Deshalb ändern sich die $Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen$ je nach Quadrant.

Visualisierung von Vorzeichenänderungen

Beobachte, wie sich die Werte von

\sin

\cos

und

\tan

ändern, wenn der Winkel die vier Quadranten durchläuft.

\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}

\tan\theta = -1

\theta = 135^\circ

2,36 Bogenmaß

$Zeichen in jedem Quadranten$ :

Quadrant	Winkelbereich	$x$	$y$	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$\text{I}$	$0^\circ < \theta < 90^\circ$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$\text{II}$	$90^\circ < \theta < 180^\circ$	$-$	$+$	$+$	$-$	$-$
$\text{III}$	$180^\circ < \theta < 270^\circ$	$-$	$-$	$-$	$-$	$+$
$\text{IV}$	$270^\circ < \theta < 360^\circ$	$+$	$-$	$-$	$+$	$-$

Die Vorzeichen lassen sich aus den Koordinaten ablesen: $\sin\theta$ hat das Vorzeichen von $y$ , $\cos\theta$ das Vorzeichen von $x$ , und $\tan\theta=y/x$ ist genau dann positiv, wenn $x$ und $y$ dasselbe Vorzeichen haben.

Referenzwinkel

Für einen Winkel, dessen Endschenkel auf keiner Koordinatenachse liegt, ist der Referenzwinkel der $eindeutige spitze Winkel$ $0^\circ<\alpha<90^\circ$ zwischen diesem Endschenkel und der nächstgelegenen $x$ -Achse. So lassen sich bekannte Werte spitzer Winkel wiederverwenden. Bei einem Quadrantenwinkel wie $90^\circ$ oder $180^\circ$ werden die Koordinaten direkt am Einheitskreis abgelesen.

Referenzwinkel verstehen

Bestimme den spitzen Referenzwinkel zur

x

-Achse.

\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}

\tan\theta = -1

\theta = 135^\circ

2,36 Bogenmaß

$\alpha$ :

Quadrant I: $\alpha = \theta$
Quadrant II: $\alpha = 180^\circ - \theta$
Quadrant III: $\alpha = \theta - 180^\circ$
Quadrant IV: $\alpha = 360^\circ - \theta$

Ermitteln trigonometrischer Werte

Hier sind systematische Schritte zur Bestimmung trigonometrischer Funktionswerte:

$Vereinfache den Winkel$ (wenn größer als $360^\circ$ oder negativ)
$Bestimme den Quadranten$ , in dem der Winkel liegt
$Berechne den Referenzwinkel$
$Verwende den Referenzwinkelwert$ mit dem entsprechenden Vorzeichen für den Quadranten

Winkel im zweiten Quadranten

$Problem$ : Bestimme $\sin 120^\circ$ , $\cos 120^\circ$ und $\tan 120^\circ$

$Lösung$ :

Winkel $120^\circ$ liegt im Quadranten II, da $90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$ gilt
Referenzwinkel: $\alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
Im Quadranten II: $\sin(+), \cos(-), \tan(-)$

Verwendung spezieller Winkelwerte für $60^\circ$ :

\sin 120^\circ = +\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

Winkel im dritten Quadranten

$Aufgabe$ : Bestimme trigonometrische Werte für den Winkel $240^\circ$

$Lösung$ :

Winkel $240^\circ$ liegt im Quadranten III, da $180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$ gilt
Referenzwinkel: $\alpha = 240^\circ - 180^\circ = 60^\circ$
Im Quadranten III: $\sin(-), \cos(-), \tan(+)$

Verwendung spezieller Winkelwerte für $60^\circ$ :

\sin 240^\circ = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Winkel im vierten Quadranten

$Aufgabe$ : Bestimme trigonometrische Werte für den Winkel $300^\circ$

$Lösung$ :

Winkel $300^\circ$ liegt im $Quadranten IV$ , da $270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$ gilt
Referenzwinkel: $\alpha = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$
Im Quadranten IV: $\sin(-), \cos(+), \tan(-)$

Verwendung spezieller Winkelwerte für $60^\circ$ :

\sin 300^\circ = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Umgang mit Sonderwinkeln

Negative Winkel und Winkel über eine volle Umdrehung kannst du durch $Winkel mit demselben Endschenkel$ ersetzen. Liegt der Endpunkt auf einer Achse, liest du die Koordinaten direkt ab. Sonst verwendest du einen Referenzwinkel und die Vorzeichen des Quadranten.

Negative Winkel

Negative Winkel werden $im Uhrzeigersinn$ gemessen. Du kannst eine volle Umdrehung addieren oder direkt die Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen verwenden:

$\sin(-\theta) = -\sin \theta$ (ungerade Funktion)
$\cos(-\theta) = \cos \theta$ (gerade Funktion)
$\tan(-\theta) = -\tan \theta$ (ungerade Funktion)

$Beispiel$ : $\sin(-30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$

Winkel größer als eine volle Umdrehung

Ein Winkel über $360^\circ$ enthält volle Umdrehungen, die den Endpunkt nicht verändern. Ziehst du sie ab, bleibt derselbe Punkt auf dem Einheitskreis und derselbe Funktionswert.

Verwende die $Periodizität$ . Subtrahiere oder addiere Vielfache von $360^\circ$ , bis der Winkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$ liegt.

$Beispiel$ :

Ziehe zwei volle Umdrehungen ab:

\begin{aligned} &750^\circ - 2(360^\circ) \\ &= 750^\circ - 720^\circ \\ &= 30^\circ \end{aligned}

Also $\sin 750^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Übungen

Jede Aufgabe verlangt einen trigonometrischen Wert für einen Winkel außerhalb des ersten Quadranten. Führe den Winkel zuerst auf seinen Referenzwinkel zurück und setze dann das $passende Vorzeichen$ .

Bestimme die Werte von $\sin 315^\circ$ , $\cos 315^\circ$ und $\tan 315^\circ$ .
Berechne $\sin(-60^\circ) + \cos 210^\circ - \tan(-135^\circ)$ .
Wenn $\sin \theta = \frac{3}{5}$ gilt und $\theta$ im Quadranten II liegt, bestimme $\cos \theta$ und $\tan \theta$ .
Vereinfache $\sin 840^\circ \cdot \cos(-330^\circ)$ .
Ein Windmühlenflügel dreht sich aus seiner Ausgangsposition um $1050^\circ$ . Seine Spitze liegt anfangs auf der positiven $x$ -Achse des Einheitskreises. Bestimme die Koordinaten der Flügelspitze nach der Drehung.

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Für den Winkel $315^\circ$ müssen wir zunächst seinen Quadranten bestimmen.

Da $270^\circ < 315^\circ < 360^\circ$ liegt der Winkel im Quadranten IV.

Der $Referenzwinkel$ beträgt $360^\circ - 315^\circ = 45^\circ$ .

\sin 315^\circ = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}

$Aufgabe 2$ . Berechnen wir jeden Term einzeln. Verwende für $\sin(-60^\circ)$ die ungerade Funktionseigenschaft.

Für $\cos 210^\circ$ liegt der Winkel im Quadranten III und hat den Referenzwinkel $30^\circ$ .

Für den negativen Tangens verwenden wir die $Ungeradheit$ , wie die folgende Rechnung zeigt.

\sin(-60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}

$Aufgabe 3$ . Gegeben $\sin \theta = \frac{3}{5}$ im Quadranten II.

Die $pythagoräische Identität$ liefert $\cos \theta$ .

Im zweiten Quadranten ist $\cos$ negativ.

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

Der Wert ist in Quadrant II negativ:

\cos\theta=-\frac45

$Aufgabe 4$ . $Vereinfache zunächst die Winkel$ .

\begin{aligned} &840^\circ - 2(360^\circ) \\ &= 120^\circ \end{aligned}

Für $-330^\circ$ addieren wir $360^\circ$ und erhalten $30^\circ$ .

\begin{aligned} \sin 840^\circ &= \sin 120^\circ \\ &= \sin(180^\circ - 60^\circ) \\ &= \sin 60^\circ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

$Aufgabe 5$ . Winkel $1050^\circ$ muss zunächst vereinfacht werden.

\begin{aligned} &1050^\circ - 2(360^\circ) \\ &= 1050^\circ - 720^\circ \\ &= 330^\circ \end{aligned}

Winkel $330^\circ$ liegt im Quadranten IV mit $Referenzwinkel$ $30^\circ$ .

x = \cos 330^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

Die Blattspitze hat die Koordinaten $\left(\frac{\sqrt3}{2},-\frac12\right)$ .

Koordinaten nach der Drehung

Ändere den Winkel von 330 auf 1050 Grad: Der Endpunkt bleibt gleich, weil sich die Winkel um zwei volle Umdrehungen unterscheiden.

\sin\theta = -\frac{1}{2}

\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}

\tan\theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}

\theta = 330^\circ

5,76 Bogenmaß

Trigonometrie für Winkel in allen Quadranten

Bewegt sich der Minutenzeiger einer Uhr von $12$ auf $6$ , überstreicht er einen Winkel von $180^\circ$ . Bei einer vollständigen Umdrehung überstreicht der Zeiger $360^\circ$ .

Trigonometrische Werte gelten für $Winkel in jedem Quadranten$ , also auch außerhalb der spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks.

Einheitskreis

Um trigonometrische Funktionen beliebiger Winkel zu verstehen, verwenden wir den Einheitskreis. Er hat den $Radius$ $1$ und seinen Mittelpunkt im Ursprung $O(0,0)$ .

Erkundung des Einheitskreises

Ändere den Winkel im Eingabefeld und beobachte, wie sich die Koordinaten des Kreispunkts ändern.

\sin\theta = \frac{1}{2}

\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}

\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}

\theta = 30^\circ

0,52 Bogenmaß

Dabei gilt:

Der Winkel $\theta$ wird immer von der positiven $x$ -Achse aus gemessen
Die positive Richtung ist gegen den Uhrzeigersinn
Jeder Punkt auf dem Kreis hat die Koordinaten $(x, y)$

$Wichtige Definitionen$ :

\sin \theta = y \text{(vertikale Koordinate)}

Vorzeichen der Funktionen in jedem Quadranten

Bei einer Bewegung um den Kreis können die Koordinaten $x$ und $y$ positiv oder negativ sein. Deshalb ändern sich die $Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen$ je nach Quadrant.

Visualisierung von Vorzeichenänderungen

Beobachte, wie sich die Werte von

\sin

\cos

und

\tan

ändern, wenn der Winkel die vier Quadranten durchläuft.

\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}

\tan\theta = -1

\theta = 135^\circ

2,36 Bogenmaß

$Zeichen in jedem Quadranten$ :

Quadrant	Winkelbereich	$x$	$y$	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$\text{I}$	$0^\circ < \theta < 90^\circ$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$\text{II}$	$90^\circ < \theta < 180^\circ$	$-$	$+$	$+$	$-$	$-$
$\text{III}$	$180^\circ < \theta < 270^\circ$	$-$	$-$	$-$	$-$	$+$
$\text{IV}$	$270^\circ < \theta < 360^\circ$	$+$	$-$	$-$	$+$	$-$

Referenzwinkel

Referenzwinkel verstehen

Bestimme den spitzen Referenzwinkel zur

x

-Achse.

\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}

\tan\theta = -1

\theta = 135^\circ

2,36 Bogenmaß

$\alpha$ :

Quadrant I: $\alpha = \theta$
Quadrant II: $\alpha = 180^\circ - \theta$
Quadrant III: $\alpha = \theta - 180^\circ$
Quadrant IV: $\alpha = 360^\circ - \theta$

Ermitteln trigonometrischer Werte

Hier sind systematische Schritte zur Bestimmung trigonometrischer Funktionswerte:

$Vereinfache den Winkel$ (wenn größer als $360^\circ$ oder negativ)
$Bestimme den Quadranten$ , in dem der Winkel liegt
$Berechne den Referenzwinkel$
$Verwende den Referenzwinkelwert$ mit dem entsprechenden Vorzeichen für den Quadranten

Winkel im zweiten Quadranten

$Problem$ : Bestimme $\sin 120^\circ$ , $\cos 120^\circ$ und $\tan 120^\circ$

$Lösung$ :

Winkel $120^\circ$ liegt im Quadranten II, da $90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$ gilt
Referenzwinkel: $\alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
Im Quadranten II: $\sin(+), \cos(-), \tan(-)$

Verwendung spezieller Winkelwerte für $60^\circ$ :

\sin 120^\circ = +\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

Winkel im dritten Quadranten

$Aufgabe$ : Bestimme trigonometrische Werte für den Winkel $240^\circ$

$Lösung$ :

Winkel $240^\circ$ liegt im Quadranten III, da $180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$ gilt
Referenzwinkel: $\alpha = 240^\circ - 180^\circ = 60^\circ$
Im Quadranten III: $\sin(-), \cos(-), \tan(+)$

Verwendung spezieller Winkelwerte für $60^\circ$ :

\sin 240^\circ = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Winkel im vierten Quadranten

$Aufgabe$ : Bestimme trigonometrische Werte für den Winkel $300^\circ$

$Lösung$ :

Winkel $300^\circ$ liegt im $Quadranten IV$ , da $270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$ gilt
Referenzwinkel: $\alpha = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$
Im Quadranten IV: $\sin(-), \cos(+), \tan(-)$

Verwendung spezieller Winkelwerte für $60^\circ$ :

\sin 300^\circ = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Umgang mit Sonderwinkeln

Negative Winkel

Negative Winkel werden $im Uhrzeigersinn$ gemessen. Du kannst eine volle Umdrehung addieren oder direkt die Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen verwenden:

$\sin(-\theta) = -\sin \theta$ (ungerade Funktion)
$\cos(-\theta) = \cos \theta$ (gerade Funktion)
$\tan(-\theta) = -\tan \theta$ (ungerade Funktion)

$Beispiel$ : $\sin(-30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$

Winkel größer als eine volle Umdrehung

Ein Winkel über $360^\circ$ enthält volle Umdrehungen, die den Endpunkt nicht verändern. Ziehst du sie ab, bleibt derselbe Punkt auf dem Einheitskreis und derselbe Funktionswert.

Verwende die $Periodizität$ . Subtrahiere oder addiere Vielfache von $360^\circ$ , bis der Winkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$ liegt.

$Beispiel$ :

Ziehe zwei volle Umdrehungen ab:

\begin{aligned} &750^\circ - 2(360^\circ) \\ &= 750^\circ - 720^\circ \\ &= 30^\circ \end{aligned}

Also $\sin 750^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Übungen

Bestimme die Werte von $\sin 315^\circ$ , $\cos 315^\circ$ und $\tan 315^\circ$ .
Berechne $\sin(-60^\circ) + \cos 210^\circ - \tan(-135^\circ)$ .
Wenn $\sin \theta = \frac{3}{5}$ gilt und $\theta$ im Quadranten II liegt, bestimme $\cos \theta$ und $\tan \theta$ .
Vereinfache $\sin 840^\circ \cdot \cos(-330^\circ)$ .
Ein Windmühlenflügel dreht sich aus seiner Ausgangsposition um $1050^\circ$ . Seine Spitze liegt anfangs auf der positiven $x$ -Achse des Einheitskreises. Bestimme die Koordinaten der Flügelspitze nach der Drehung.

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Für den Winkel $315^\circ$ müssen wir zunächst seinen Quadranten bestimmen.

Da $270^\circ < 315^\circ < 360^\circ$ liegt der Winkel im Quadranten IV.

Der $Referenzwinkel$ beträgt $360^\circ - 315^\circ = 45^\circ$ .

\sin 315^\circ = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}

$Aufgabe 2$ . Berechnen wir jeden Term einzeln. Verwende für $\sin(-60^\circ)$ die ungerade Funktionseigenschaft.

Für $\cos 210^\circ$ liegt der Winkel im Quadranten III und hat den Referenzwinkel $30^\circ$ .

Für den negativen Tangens verwenden wir die $Ungeradheit$ , wie die folgende Rechnung zeigt.

\sin(-60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}

$Aufgabe 3$ . Gegeben $\sin \theta = \frac{3}{5}$ im Quadranten II.

Die $pythagoräische Identität$ liefert $\cos \theta$ .

Im zweiten Quadranten ist $\cos$ negativ.

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

Der Wert ist in Quadrant II negativ:

\cos\theta=-\frac45

$Aufgabe 4$ . $Vereinfache zunächst die Winkel$ .

\begin{aligned} &840^\circ - 2(360^\circ) \\ &= 120^\circ \end{aligned}

Für $-330^\circ$ addieren wir $360^\circ$ und erhalten $30^\circ$ .

\begin{aligned} \sin 840^\circ &= \sin 120^\circ \\ &= \sin(180^\circ - 60^\circ) \\ &= \sin 60^\circ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

$Aufgabe 5$ . Winkel $1050^\circ$ muss zunächst vereinfacht werden.

\begin{aligned} &1050^\circ - 2(360^\circ) \\ &= 1050^\circ - 720^\circ \\ &= 330^\circ \end{aligned}

Winkel $330^\circ$ liegt im Quadranten IV mit $Referenzwinkel$ $30^\circ$ .

x = \cos 330^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

Die Blattspitze hat die Koordinaten $\left(\frac{\sqrt3}{2},-\frac12\right)$ .

Koordinaten nach der Drehung

Ändere den Winkel von 330 auf 1050 Grad: Der Endpunkt bleibt gleich, weil sich die Winkel um zwei volle Umdrehungen unterscheiden.

\sin\theta = -\frac{1}{2}

\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}

\tan\theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}

\theta = 330^\circ

5,76 Bogenmaß