For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.

Nakafa

Kostenlose Lernmaterialien.

Für dich

Fächer
Probetest
Nina fragen

Entdecken

Koran
Politik

Trigonometrische Funktion eines beliebigen Winkels

Trigonometrische Funktion eines beliebigen Winkels

Trigonometrie für Winkel in allen Quadranten

Bewegt sich der Minutenzeiger einer Uhr von $12$ auf , überstreicht er einen Winkel von . Bei einer vollständigen Umdrehung überstreicht der Zeiger .

6

180^\circ

360^\circ

Trigonometrische Werte gelten für $Winkel in jedem Quadranten$ , also auch außerhalb der spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks.

Einheitskreis

Um trigonometrische Funktionen beliebiger Winkel zu verstehen, verwenden wir den Einheitskreis. Er hat den $Radius$ $1$ und seinen Mittelpunkt im Ursprung $O(0,0)$ .

Erkundung des Einheitskreises

Ändere den Winkel im Eingabefeld und beobachte, wie sich die Koordinaten des Kreispunkts ändern.

\sin\theta = \frac{1}{2}

\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}

\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}

\theta = 30^\circ

0,52 Bogenmaß

Winkel

Dabei gilt:

Der Winkel $\theta$ wird immer von der positiven $x$ -Achse aus gemessen
Die positive Richtung ist gegen den Uhrzeigersinn
Jeder Punkt auf dem Kreis hat die Koordinaten $(x, y)$

$Wichtige Definitionen$ :

\sin \theta = y \text{(vertikale Koordinate)}

Vorzeichen der Funktionen in jedem Quadranten

Bei einer Bewegung um den Kreis können die Koordinaten $x$ und $\theta$ positiv oder negativ sein. Deshalb ändern sich die $Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen$ je nach Quadrant.

Visualisierung von Vorzeichenänderungen

Beobachte, wie sich die Werte von

\sin

,

\cos

und

\tan

ändern, wenn der Winkel die vier Quadranten durchläuft.

\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}

\tan\theta = -1

\theta = 135^\circ

2,36 Bogenmaß

Winkel

$Zeichen in jedem Quadranten$ :

Quadrant	Winkelbereich	$x$	$y$	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$\text{I}$	$0^\circ < \theta < 90^\circ$

Die Vorzeichen lassen sich aus den Koordinaten ablesen: $\sin\theta$ hat das Vorzeichen von $y$ , $\cos\theta$ das Vorzeichen von $x$ , und $\tan\theta=y/x$ ist genau dann positiv, wenn $x$ und $y$ dasselbe Vorzeichen haben.

Referenzwinkel

Für einen Winkel, dessen Endschenkel auf keiner Koordinatenachse liegt, ist der Referenzwinkel der $eindeutige spitze Winkel$ $0^\circ<\alpha<90^\circ$ zwischen diesem Endschenkel und der nächstgelegenen $x$ -Achse. So lassen sich bekannte Werte spitzer Winkel wiederverwenden. Bei einem Quadrantenwinkel wie $90^\circ$ oder $180^\circ$ werden die Koordinaten direkt am Einheitskreis abgelesen.

Referenzwinkel verstehen

Bestimme den spitzen Referenzwinkel zur

x

-Achse.

\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}

\tan\theta = -1

\theta = 135^\circ

2,36 Bogenmaß

Winkel

$\alpha$ :

Quadrant I: $\alpha = \theta$
Quadrant II: $\alpha = 180^\circ - \theta$
Quadrant III: $\alpha = \theta - 180^\circ$
Quadrant IV: $\alpha = 360^\circ - \theta$

Ermitteln trigonometrischer Werte

Hier sind systematische Schritte zur Bestimmung trigonometrischer Funktionswerte:

$Vereinfache den Winkel$ (wenn größer als $360^\circ$ oder negativ)
$Bestimme den Quadranten$ , in dem der Winkel liegt
$Berechne den Referenzwinkel$
$Verwende den Referenzwinkelwert$ mit dem entsprechenden Vorzeichen für den Quadranten

Winkel im zweiten Quadranten

$Problem$ : Bestimme $\sin 120^\circ$ , $\cos 120^\circ$ und $\tan 120^\circ$

$Lösung$ :

Winkel $120^\circ$ liegt im Quadranten II, da $90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$ gilt
Referenzwinkel: $\alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
Im Quadranten II: $\sin(+), \cos(-), \tan(-)$

Verwendung spezieller Winkelwerte für $60^\circ$ :

\sin 120^\circ = +\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

Winkel im dritten Quadranten

$Aufgabe$ : Bestimme trigonometrische Werte für den Winkel $240^\circ$

$Lösung$ :

Winkel $240^\circ$ liegt im Quadranten III, da $180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$ gilt
Referenzwinkel: $\alpha = 240^\circ - 180^\circ = 60^\circ$
Im Quadranten III: $\sin(-), \cos(-), \tan(+)$

Verwendung spezieller Winkelwerte für $60^\circ$ :

\sin 240^\circ = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Winkel im vierten Quadranten

$Aufgabe$ : Bestimme trigonometrische Werte für den Winkel $300^\circ$

$Lösung$ :

Winkel $300^\circ$ liegt im $Quadranten IV$ , da $270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$ gilt
Referenzwinkel: $\alpha = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$
Im Quadranten IV: $\sin(-), \cos(+), \tan(-)$

Verwendung spezieller Winkelwerte für $300^\circ$ :

Lösung

Umgang mit Sonderwinkeln

Negative Winkel und Winkel über eine volle Umdrehung kannst du durch $Winkel mit demselben Endschenkel$ ersetzen. Liegt der Endpunkt auf einer Achse, liest du die Koordinaten direkt ab. Sonst verwendest du einen Referenzwinkel und die Vorzeichen des Quadranten.

Negative Winkel

Negative Winkel werden $im Uhrzeigersinn$ gemessen. Du kannst eine volle Umdrehung addieren oder direkt die Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen verwenden:

$\sin(-\theta) = -\sin \theta$ (ungerade Funktion)
$\cos(-\theta) = \cos \theta$ (gerade Funktion)
$\tan(-\theta) = -\tan \theta$ (ungerade Funktion)

$Beispiel$ : $\sin(-30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$

Winkel größer als eine volle Umdrehung

Ein Winkel über $360^\circ$ enthält volle Umdrehungen, die den Endpunkt nicht verändern. Ziehst du sie ab, bleibt derselbe Punkt auf dem Einheitskreis und derselbe Funktionswert.

Verwende die $Periodizität$ . Subtrahiere oder addiere Vielfache von $360^\circ$ , bis der Winkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$ liegt.

$Beispiel$ :

Ziehe zwei volle Umdrehungen ab:

\begin{aligned} &750^\circ - 2(360^\circ) \\ &= 750^\circ - 720^\circ \\ &= 30^\circ \end{aligned}

Also $\sin 750^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Übungen

Jede Aufgabe verlangt einen trigonometrischen Wert für einen Winkel außerhalb des ersten Quadranten. Führe den Winkel zuerst auf seinen Referenzwinkel zurück und setze dann das $passende Vorzeichen$ .

Bestimme die Werte von $\sin 315^\circ$ , $\cos 315^\circ$ und $\tan 315^\circ$ .
Berechne $\sin(-60^\circ) + \cos 210^\circ - \tan(-135^\circ)$ .
Wenn $\sin \theta = \frac{3}{5}$ gilt und $\theta$ im Quadranten II liegt, bestimme $\cos \theta$ und .
Vereinfache $\sin 840^\circ \cdot \cos(-330^\circ)$ .
Ein Windmühlenflügel dreht sich aus seiner Ausgangsposition um $1050^\circ$ . Seine Spitze liegt anfangs auf der positiven $x$ -Achse des Einheitskreises. Bestimme die Koordinaten der Flügelspitze nach der Drehung.

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Für den Winkel $315^\circ$ müssen wir zunächst seinen Quadranten bestimmen.

Da $270^\circ < 315^\circ < 360^\circ$ liegt der Winkel im Quadranten IV.

Der $Referenzwinkel$ beträgt $360^\circ - 315^\circ = 45^\circ$ .

\sin 315^\circ = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}

$Aufgabe 2$ . Berechnen wir jeden Term einzeln. Verwende für $\sin(-60^\circ)$ die ungerade Funktionseigenschaft.

Für $\cos 210^\circ$ liegt der Winkel im Quadranten III und hat den Referenzwinkel $30^\circ$ .

Für den negativen Tangens verwenden wir die $Ungeradheit$ , wie die folgende Rechnung zeigt.

\sin(-60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}

$Aufgabe 3$ . Gegeben $\sin \theta = \frac{3}{5}$ im Quadranten II.

Die $pythagoräische Identität$ liefert $\cos \theta$ .

Im zweiten Quadranten ist $\cos$ negativ.

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

Der Wert ist in Quadrant II negativ:

\cos\theta=-\frac45

$Aufgabe 4$ . $Vereinfache zunächst die Winkel$ .

\begin{aligned} &840^\circ - 2(360^\circ) \\ &= 120^\circ \end{aligned}

Für $-330^\circ$ addieren wir $360^\circ$ und erhalten $30^\circ$ .

\begin{aligned} \sin 840^\circ &= \sin 120^\circ \\ &= \sin(180^\circ - 60^\circ) \\ &= \sin 60^\circ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

$Aufgabe 5$ . Winkel $1050^\circ$ muss zunächst vereinfacht werden.

\begin{aligned} &1050^\circ - 2(360^\circ) \\ &= 1050^\circ - 720^\circ \\ &= 330^\circ \end{aligned}

Winkel $330^\circ$ liegt im Quadranten IV mit $Referenzwinkel$ $30^\circ$ .

x = \cos 330^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

Die Blattspitze hat die Koordinaten $\left(\frac{\sqrt3}{2},-\frac12\right)$ .

Koordinaten nach der Drehung

Ändere den Winkel von 330 auf 1050 Grad: Der Endpunkt bleibt gleich, weil sich die Winkel um zwei volle Umdrehungen unterscheiden.

\sin\theta = -\frac{1}{2}

\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}

\tan\theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}

\theta = 330^\circ

5,76 Bogenmaß

Winkel

Modellieren mit Stufenfunktionen

Graphen trigonometrischer Funktionen

Trigonometrische Funktion eines beliebigen WinkelsBestimme trigonometrische Werte in jedem Quadranten mit dem Einheitskreis, den Vorzeichen und den Bezugswinkeln.

Auf dieser Seite

Trigonometrie für Winkel in allen Quadranten
Einheitskreis
Vorzeichen der Funktionen in jedem Quadranten
Referenzwinkel
Ermitteln trigonometrischer Werte
Umgang mit Sonderwinkeln
- Negative Winkel
- Winkel größer als eine volle Umdrehung
Übungen
- Lösungen

Kommentare
Melden
Quellcode

Startseite
Trigonometrische Funktion eines beliebigen Winkels

Veröffentlicht: 22.08.2026. Aktualisiert: 23.09.2026.

+

+

+

+

+

\text{II}

90^\circ < \theta < 180^\circ

-

+

+

-

-

\text{III}

180^\circ < \theta < 270^\circ

-

-

-

-

+

\text{IV}

270^\circ < \theta < 360^\circ

+

-

-

+

-

\tan \theta