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Trigonometrische Funktion eines beliebigen Winkels

Winkel verstehen, die größer als ein rechter Winkel sind

Bewegt sich der Minutenzeiger einer Uhr von $12$ auf , überstreicht er einen Winkel von . Bei einer vollständigen Umdrehung überstreicht der Zeiger .

Trigonometrische Funktion eines beliebigen WinkelsLernen Sie trigonometrische Funktionen für jeden Winkel mithilfe der Einheitskreismethode. Lernen Sie Quadrantenzeichen und Referenzwinkel und lösen Sie Probleme mit der Windmühlenrotation.

Auf dieser Seite

Winkel verstehen, die größer als ein rechter Winkel sind
Einheitskreis
Warum ändern sich die Vorzeichen in jedem Quadranten?
Referenzwinkel
Ermitteln trigonometrischer Werte
Umgang mit Sonderwinkeln
- Negative Winkel
- Winkel größer als eine volle Umdrehung
Übungen
- Antwortschlüssel

Kommentare

6

180^\circ

360^\circ

Trigonometrische Funktionen sind nicht auf spitze Winkel in rechtwinkligen Dreiecken beschränkt. Wir benötigen sie auch für solche größeren Winkel.

Einheitskreis

Um trigonometrische Funktionen beliebiger Winkel zu verstehen, verwenden wir den Einheitskreis. Er hat den Radius $1$ und seinen Mittelpunkt im Ursprung $O(0,0)$ .

Erkundung des Einheitskreises

Bewegen Sie den Schieberegler, um zu sehen, wie sich die Koordinaten ändern, wenn der Winkel gedreht wird.

Sin (30°) = 0.50Cos (30°) = 0.87Tan (30°) = 0.58

30°0.52 Bogenmaß

Angle

Dabei gilt:

Der Winkel $\theta$ wird immer von der positiven $x$ -Achse aus gemessen
Die positive Richtung ist gegen den Uhrzeigersinn
Jeder Punkt auf dem Kreis hat die Koordinaten $(x, y)$

Wichtige Definitionen:

\sin \theta = y \text{(vertikale Koordinate)}

Warum ändern sich die Vorzeichen in jedem Quadranten?

Beachten Sie, dass die Koordinaten $x$ und $y$ positiv oder negativ sein können, wenn sich der Punkt um den Kreis bewegt. Dies führt dazu, dass sich die Vorzeichen trigonometrischer Funktionen ändern.

Visualisierung von Vorzeichenänderungen

Beobachte, wie sich die Werte von

\sin

,

\cos

und

\tan

ändern, wenn der Winkel die vier Quadranten durchläuft.

Sin (0°) = 0.00Cos (0°) = 1.00Tan (0°) = 0.00

0°0.00 Bogenmaß

Angle

Zeichen in jedem Quadranten:

Quadrant	Winkelbereich	$x$	$y$	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$\text{I}$	$0^\circ < \theta < 90^\circ$

Eine sprachabhängige Eselsbrücke ist nicht nötig. Die Vorzeichen lassen sich direkt aus den Koordinaten ablesen: $\sin\theta$ hat das Vorzeichen von $y$ , $\cos\theta$ das Vorzeichen von $x$ , und $\tan\theta=y/x$ ist genau dann positiv, wenn $x$ und $y$ dasselbe Vorzeichen haben.

Referenzwinkel

Für einen Winkel, dessen Endschenkel auf keiner Koordinatenachse liegt, ist der Referenzwinkel der eindeutige spitze Winkel $0^\circ<\alpha<90^\circ$ zwischen diesem Endschenkel und der nächstgelegenen $x$ -Achse. So lassen sich bekannte Werte spitzer Winkel wiederverwenden. Bei einem Quadrantenwinkel wie $90^\circ$ oder $180^\circ$ werden die Koordinaten direkt am Einheitskreis abgelesen.

Referenzwinkel verstehen

Beobachte, wie sich der spitze Referenzwinkel zur

x

-Achse mit dem Winkel verändert.

Sin (135°) = 0.71Cos (135°) = -0.71Tan (135°) = -1.00

135°2.36 Bogenmaß

Angle

So wird der Referenzwinkel $\alpha$ für einen Nichtquadrantenwinkel $0^\circ<\theta<360^\circ$ bestimmt:

Quadrant I: $\alpha = \theta$
Quadrant II: $\alpha = 180^\circ - \theta$
Quadrant III: $\alpha = \theta - 180^\circ$
Quadrant IV: $\alpha = 360^\circ - \theta$

Ermitteln trigonometrischer Werte

Hier sind systematische Schritte zur Bestimmung trigonometrischer Funktionswerte:

Vereinfachen Sie den Winkel (wenn größer als $360^\circ$ oder negativ)
Bestimmen Sie den Quadranten, in dem der Winkel liegt
Berechnen Sie den Referenzwinkel
Verwenden Sie den Referenzwinkelwert mit dem entsprechenden Vorzeichen für den Quadranten

Winkel im zweiten Quadranten

Problem: Bestimmen Sie $\sin 120^\circ$ , $\cos 120^\circ$ und $\tan 120^\circ$

Lösung:

Winkel $120^\circ$ liegt im Quadranten II, da $90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$ gilt
Referenzwinkel: $\alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
Im Quadranten II: $\sin(+), \cos(-), \tan(-)$

Verwendung spezieller Winkelwerte für $60^\circ$ :

\sin 120^\circ = +\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

Winkel im dritten Quadranten

Aufgabe: Bestimmen Sie trigonometrische Werte für den Winkel $240^\circ$

Lösung:

Winkel $240^\circ$ liegt im Quadranten III, da $180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$ gilt
Referenzwinkel: $\alpha = 240^\circ - 180^\circ = 60^\circ$
Im Quadranten III: $\sin(-), \cos(-), \tan(+)$

Verwendung spezieller Winkelwerte für $60^\circ$ :

\sin 240^\circ = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Winkel im vierten Quadranten

Aufgabe: Bestimmen Sie trigonometrische Werte für den Winkel $300^\circ$

Lösung:

Winkel $300^\circ$ liegt im Quadranten IV, da $270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$ gilt
Referenzwinkel: $\alpha = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$
Im Quadranten IV: $\sin(-), \cos(+), \tan(-)$

Verwendung spezieller Winkelwerte für $60^\circ$ :

\sin 300^\circ = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Umgang mit Sonderwinkeln

Negative Winkel

Wenn der Winkel negativ ist, bewegen wir uns im Uhrzeigersinn. Nutzen Sie die Eigenschaften:

$\sin(-\theta) = -\sin \theta$ (ungerade Funktion)
$\cos(-\theta) = \cos \theta$ (gerade Funktion)
$\tan(-\theta) = -\tan \theta$ (ungerade Funktion)

Beispiel: $\sin(-30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$

Winkel größer als eine volle Umdrehung

Verwenden Sie die Periodizitätseigenschaft. Subtrahieren oder addieren Sie Vielfache von $360^\circ$ , bis der Winkel im Bereich von $0^\circ$ bis $360^\circ$ liegt.

Beispiel:

$750^\circ = 750^\circ - 2(360^\circ) = 750^\circ - 720^\circ = 30^\circ$
Also $\sin 750^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Übungen

Bestimmen Sie die Werte von $\sin 315^\circ$ , $\cos 315^\circ$ und $\tan 315^\circ$ .
Berechnen Sie $\sin(-60^\circ) + \cos 210^\circ - \tan(-135^\circ)$ .
Wenn $\sin \theta = \frac{3}{5}$ gilt und $\theta$ im Quadranten II liegt, bestimmen Sie $\cos \theta$ und .
Vereinfachen Sie $\sin 840^\circ \cdot \cos(-330^\circ)$ .
Ein Windmühlenflügel dreht sich aus seiner Ausgangsposition um $1050^\circ$ . Seine Spitze liegt anfangs auf der positiven $\sin 315^\circ$ -Achse des Einheitskreises. Bestimmen Sie die Koordinaten der Flügelspitze nach der Drehung.

Antwortschlüssel

Für den Winkel $\cos 315^\circ$ müssen wir zunächst seinen Quadranten bestimmen.

Da $270^\circ < 315^\circ < 360^\circ$ liegt der Winkel im Quadranten IV.

Der Referenzwinkel beträgt $360^\circ - 315^\circ = 45^\circ$ .
$\sin 315^\circ = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Berechnen wir jeden Term einzeln. Verwenden Sie für $\sin(-60^\circ)$ die ungerade Funktionseigenschaft.

Für $\cos 210^\circ$ liegt der Winkel im Quadranten III und hat den Referenzwinkel $30^\circ$ .
Gegeben $\sin \theta = \frac{3}{5}$ im Quadranten II.

Die pythagoräische Identität liefert $\cos \theta$ .

Im zweiten Quadranten ist $\cos$ negativ.
Vereinfachen Sie zunächst die Winkel.

$840^\circ = 840^\circ - 2(360^\circ) = 120^\circ$
Winkel $1050^\circ$ muss zunächst vereinfacht werden.

$1050^\circ = 1050^\circ - 2(360^\circ) = 1050^\circ - 720^\circ = 330^\circ$

Modellieren mit Stufenfunktionen

Graphen trigonometrischer Funktionen

+

\cos

+

+

+

\text{II}

90^\circ < \theta < 180^\circ

-

+

+

-

-

\text{III}

180^\circ < \theta < 270^\circ

-

-

-

-

+

\text{IV}

270^\circ < \theta < 360^\circ

+

-

-

+

-

\tan \theta

\cos 315^\circ = +\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}

\tan 315^\circ = -\tan 45^\circ = -1

Für $\tan(-135^\circ)$ nutzen wir ebenfalls die Ungeradheit des Tangens.

\sin(-60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

Für $-330^\circ$ addieren wir $360^\circ$ und erhalten $30^\circ$ .

\sin 840^\circ = \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

Winkel $330^\circ$ liegt im Quadranten IV mit Referenzwinkel $30^\circ$ .

x = \cos 330^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}