For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Die Definitionsmenge darf auch bewusst eingeschränkt werden. Zum Beispiel ist die Regel für alle reellen Zahlen definiert, eine Funktion kann aber nur für festgelegt werden.
Diese Funktion teilt durch die eingesetzte Zahl, und eine Division ist nur definiert, wenn der Nenner nicht null ist:
Sie teilt durch die eingesetzte Zahl. Bei der Eingabe wird der Nenner null:
Durch Null darf nicht dividiert werden. Deshalb gehört die Zahl nicht zur Definitionsmenge dieser Funktion. Alle anderen reellen Zahlen sind zulässig.
Die Definitionsmenge von umfasst daher alle reellen Zahlen außer .
Ein zweites Beispiel ist
Hier wird die Quadratwurzel der Eingabe gebildet. Für ergäbe sich
Im Bereich der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht definiert. Zulässig sind deshalb nur und positive Zahlen.
Die Definitionsmenge von besteht also aus allen reellen Zahlen größer oder gleich , das heißt mit .
Die Zielmenge wird bei der Definition einer Funktion festgelegt. Sie enthält die Werte, in denen die Ausgaben der Funktion liegen sollen.
Als Beispiel definieren wir .
Als Definitionsmenge wählen wir die natürlichen Zahlen:
Dann legen wir als Zielmenge die ganzen Zahlen fest:
Mit den ganzen Zahlen als Zielmenge legen wir fest, in welcher Menge die Werte von liegen. Für natürliche Eingaben entstehen tatsächlich nur positive gerade Zahlen. Genau diese Werte bilden die Bildmenge:
Die gewählte Zielmenge ist gültig, weil alle tatsächlich entstehenden Werte der Bildmenge in den ganzen Zahlen enthalten sind.
Die Zielmenge beschreibt also den vorgesehenen Ausgaberaum. Nicht jeder ihrer Werte muss von der Funktion tatsächlich erreicht werden.
Die Bildmenge enthält alle Ausgaben, die aus den Elementen der Definitionsmenge tatsächlich entstehen. Sie ist eine Teilmenge der Zielmenge.
Beispiel:
Für dieses Beispiel sind Definitionsmenge und Zielmenge von die ganzen Zahlen.
Setzen wir einige Werte aus der Definitionsmenge ein:
| Eingabe | Quadrat als Ausgabe |
|---|---|
Tatsächlich entstehen und weitere nicht negative Quadratzahlen.
Die Bildmenge dieser Funktion ist daher
Die Bildmenge ist eine echte Teilmenge der gewählten Zielmenge der ganzen Zahlen:
Nicht jedes Element der Zielmenge gehört zur Bildmenge.
Die Definitionsmenge schließt ungültige Eingaben wie eine Division durch null aus. Die Zielmenge legt den Ausgaberaum fest, und die Bildmenge zeigt, welche Werte darin tatsächlich erreicht werden.
Beschränken wir das Quadratbeispiel auf und wählen . Von jeder Eingabe geht ein Pfeil aus, aber manche Elemente der Zielmenge werden nicht erreicht.
Die Pfeile erreichen , also gilt . Die Werte und bleiben in der Zielmenge, gehören jedoch nicht zur Bildmenge dieses eingeschränkten Beispiels.
Mathematisch ordnet eine Funktion jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Zielmenge zu:
Die Bildmenge enthält alle tatsächlich entstehenden Werte für aus der Definitionsmenge:
Damit ist die Bildmenge stets eine Teilmenge der Zielmenge:
Jeder tatsächlich erreichte Funktionswert muss also in der Zielmenge liegen. Umgekehrt muss jedoch nicht jeder Wert der Zielmenge von der Funktion erreicht werden.
Es sei mit . Beantworte die drei Fragen unten zu dieser Funktion. Beginne bei dem Wert, den der Nenner verbietet, und prüfe dann, welche Ausgabewerte der Bruch erreichen kann.
Für wird der Nenner null:
Der Ausdruck ist nicht definiert. Daher kann nicht zur Definitionsmenge gehören.
Nein. Ein Bruch mit dem Zähler kann nicht den Wert annehmen.
Jeder von null verschiedene reelle Wert wird erreicht. Für wählen wir und erhalten . Somit gilt:
Veröffentlicht: . Aktualisiert: .
