Definitionsmenge
Die Definitionsmenge enthält alle Werte, die als Eingabe einer Funktion zulässig sind. Ein Wert außerhalb dieser Menge darf nicht eingesetzt werden.
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Die Definitionsmenge enthält alle Werte, die als Eingabe einer Funktion zulässig sind. Ein Wert außerhalb dieser Menge darf nicht eingesetzt werden.
Betrachten wir zunächst die Funktion
Sie teilt durch die eingesetzte Zahl. Ob wirklich jede reelle Zahl zulässig ist, zeigt der Versuch mit :
Durch Null darf nicht dividiert werden. Deshalb gehört die Zahl nicht zur Definitionsmenge dieser Funktion. Alle anderen reellen Zahlen sind zulässig.
Die Definitionsmenge von umfasst daher alle reellen Zahlen außer .
Ein zweites Beispiel ist
Hier wird die Quadratwurzel der Eingabe gebildet. Für ergäbe sich
Im Bereich der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht definiert. Zulässig sind deshalb nur und positive Zahlen.
Die Definitionsmenge von besteht also aus allen reellen Zahlen größer oder gleich , das heißt mit .
Die Zielmenge wird bei der Definition einer Funktion festgelegt. Sie enthält die Werte, in denen die Ausgaben der Funktion liegen sollen.
Als Beispiel definieren wir .
Als Definitionsmenge wählen wir die natürlichen Zahlen:
Dann legen wir als Zielmenge die ganzen Zahlen fest:
Mit den ganzen Zahlen als Zielmenge legen wir fest, in welcher Menge die Werte von liegen. Für natürliche Eingaben entstehen tatsächlich nur positive gerade Zahlen. Genau diese Werte bilden die Bildmenge:
Die gewählte Zielmenge ist gültig, weil alle tatsächlich entstehenden Werte der Bildmenge in den ganzen Zahlen enthalten sind.
Die Zielmenge beschreibt also den vorgesehenen Ausgaberaum. Nicht jeder ihrer Werte muss von der Funktion tatsächlich erreicht werden.
Die Bildmenge enthält alle Ausgabewerte, die bei den zulässigen Eingaben tatsächlich entstehen. Sie ist eine Teilmenge der Zielmenge und kann mit ihr übereinstimmen.
Beispiel:
Betrachten wir nun die Funktion .
Ihre Definitionsmenge sei die Menge der ganzen Zahlen:
Auch als Zielmenge wählen wir die ganzen Zahlen.
Setzen wir einige Werte aus der Definitionsmenge ein:
Tatsächlich entstehen und weitere nicht negative Quadratzahlen.
Die Bildmenge dieser Funktion ist daher
Die Bildmenge ist eine echte Teilmenge der gewählten Zielmenge der ganzen Zahlen:
Nicht jedes Element der Zielmenge gehört zur Bildmenge.
Definitionsmenge, Zielmenge und Bildmenge erfüllen verschiedene Aufgaben. Die Definitionsmenge verhindert unzulässige Eingaben wie eine Division durch Null. Die Zielmenge legt den Ausgaberaum fest, und die Bildmenge zeigt, welche Werte darin tatsächlich erreicht werden.
Mathematisch ordnet eine Funktion jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Zielmenge zu:
Die Bildmenge enthält alle tatsächlich entstehenden Werte für aus der Definitionsmenge:
Damit ist die Bildmenge stets eine Teilmenge der Zielmenge:
Jeder tatsächlich erreichte Funktionswert muss also in der Zielmenge liegen. Umgekehrt muss jedoch nicht jeder Wert der Zielmenge von der Funktion erreicht werden.
Es sei mit .
Für wird der Nenner null:
Der Ausdruck ist nicht definiert. Daher kann nicht zur Definitionsmenge gehören.
Nein. Ein Bruch mit dem Zähler kann nicht den Wert annehmen.
Jeder von null verschiedene reelle Wert wird erreicht. Für wählen wir und erhalten . Somit gilt: