Zusammensetzung mit der Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion hebt die Wirkung der ursprünglichen Funktion auf. Setzt man eine Funktion und ihre Umkehrfunktion in der passenden Reihenfolge zusammen, erhält man die Identitätsfunktion .
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Die Umkehrfunktion hebt die Wirkung der ursprünglichen Funktion auf. Setzt man eine Funktion und ihre Umkehrfunktion in der passenden Reihenfolge zusammen, erhält man die Identitätsfunktion .
Zusammensetzung von mit :
Dies gilt für alle im Definitionsbereich von . Dieser entspricht der Bildmenge von .
Zusammensetzung von mit :
Beispiel:
Für lautet die Umkehrfunktion . Wir prüfen beide Zusammensetzungen:
Beide Zusammensetzungen geben die ursprüngliche Eingabe zurück.
Kehrt man eine Umkehrfunktion erneut um, erhält man die ursprüngliche Funktion zurück.
Zweimaliges Umkehren stellt also die ursprüngliche Zuordnung wieder her.
Sind beide Funktionen umkehrbar und passen ihre Definitions- und Zielmengen zueinander, entsteht die Umkehrfunktion ihrer Zusammensetzung aus den beiden Umkehrfunktionen in umgekehrter Reihenfolge.
Seien und zwei Funktionen mit den Umkehrfunktionen und . Dann gilt für die Zusammensetzung :
Lesen Sie die Zusammensetzung von rechts nach links: Zuerst wird und danach angewendet.
Das ist wie beim Anziehen: Erst kommen die Socken (), dann die Schuhe (). Beim Ausziehen muss man zuerst die Schuhe () und danach die Socken () ablegen.
Beispiel:
Sei mit und mit .
Finde :
Finden Sie die Umkehrung von :
Sei . Tausche und : .
Finde :
Da die Ergebnisse aus den Schritten und gleich sind, ist bewiesen, dass .
Die Definitionsmenge von wird zur Bildmenge von . Umgekehrt wird die Bildmenge von zur Definitionsmenge von .
Dies gilt für alle im Definitionsbereich von .
Lösen Sie nach auf: .
Also .