Eigenschaften der Funktionszusammensetzung

Reihenfolge und Klammerung bei verketteten Funktionen

Bei der Komposition werden Funktionen in einer festgelegten Reihenfolge angewendet. Mit diesen drei Regeln vergleichen wir eine geänderte Reihenfolge mit einer geänderten Klammerung:

Die Definitionsmengen sind:

Nichtkommutative Eigenschaft

Die Reihenfolge legt fest, welche Funktion die Ausgabe der anderen erhält. Vertauscht man die Reihenfolge, entsteht daher meist eine andere zusammengesetzte Funktion.

Im Allgemeinen ist $(f \circ g)(x)$ ungleich $(g \circ f)(x)$.

Beispiel:

Vergleichen wir $(g \circ f)(x)$ und $(f \circ g)(x)$.

Berechnung von $(g \circ f)(x)$:

Berechnung von $(f \circ g)(x)$:

Die beiden Polynomterme haben unterschiedliche Koeffizienten und beschreiben daher nicht dieselbe Funktion. Eine einzige Eingabe liefert außerdem ein direktes Gegenbeispiel:

Damit gilt $g\circ f\neq f\circ g$ als Aussage über die Funktionen. Andere Paare müssen auf dieselbe Weise geprüft werden. Im Allgemeinen ist die Funktionskomposition nicht kommutativ.

Assoziative Eigenschaft

Wenn wir drei oder mehr Funktionen mit passenden Definitions- und Zielmengen komponieren, hat die Klammerung keinen Einfluss auf das Endergebnis. Die Reihenfolge der Funktionen bleibt dabei unverändert. Beide Seiten werden nur auf ihrem gemeinsamen Definitionsbereich verglichen.

Mathematisch gesehen gilt für die Funktionen $f$, $g$ und $h$ Folgendes:

Man kann zuerst $f\circ g$ bilden und diese Funktion dann mit $h$ zusammensetzen oder zuerst $g\circ h$ bilden und anschließend $f$ mit dem Ergebnis zusammensetzen. Für jede Eingabe, auf der beide Seiten definiert sind, wird zuerst $h$, dann $g$ und zuletzt $f$ angewendet.

Beispiel:

Wir wollen prüfen, ob $((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x)$.

Berechnung von $((f \circ g) \circ h)(x)$:

Wir kennen bereits $(f \circ g)(x) = 2x^2 + 9$.

Berechnung von $(f \circ (g \circ h))(x)$:

Finde zunächst $(g \circ h)(x)$:

Setze nun $f$ mit diesem Ergebnis zusammen:

Da beide Ergebnisse für $x\neq-1$ gleich $\frac{2}{(x+1)^2} + 9$ sind, gilt die assoziative Eigenschaft auf dem gemeinsamen Definitionsbereich: $((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x)$.

Diese assoziative Eigenschaft gilt auch für andere Kombinationen der Funktionsreihenfolge, wie z. B. $((h \circ f) \circ g)(x) = (h \circ (f \circ g))(x)$ und $((g \circ f) \circ h)(x) = (g \circ (f \circ h))(x)$.

Für $x=0$ folgen beide Klammerungen demselben Rechenweg. Die Zusammenfassung zweier Regeln verändert ihre Anwendungsreihenfolge nicht:

Identitätselement

Eine Identitätsfunktion ordnet jedes Element einer Menge sich selbst zu. Für $f:A\to B$ sei $I_A$ die Identität auf $A$ und $I_B$ die Identität auf $B$.

Die Zusammensetzung mit der Identität der passenden Menge lässt $f$ unverändert:

Beispiel:

Mit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ und $f(x) = 2x + 1$:

• $(f\circ I_{\mathbb{R}})(x)=f(I_{\mathbb{R}}(x))=2x+1$
• $(I_{\mathbb{R}}\circ f)(x)=I_{\mathbb{R}}(f(x))=2x+1$

Beides ergibt wieder die Funktion $f(x)$.