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Schritt 1. Zusammensetzung von mit .
Dies gilt für alle im Definitionsbereich von . Dieser entspricht der Bildmenge von .
Schritt 2. Zusammensetzung von mit .
Dies gilt für alle im Definitionsbereich von .
Beispiel:
Für lautet die Umkehrfunktion . Wir prüfen beide Zusammensetzungen:
Beide Zusammensetzungen geben die ursprüngliche Eingabe zurück.
Kehrt man eine Umkehrfunktion erneut um, erhält man die ursprüngliche Funktion zurück.
Zweimaliges Umkehren stellt also die ursprüngliche Zuordnung wieder her.
Eingabe und Ausgabe werden zweimal vertauscht. Für die Funktion von oben kannst du die Zahlenpaare in der Tabelle verfolgen.
| Ursprüngliche Funktion | Umkehrfunktion | Erneute Umkehrung |
|---|---|---|
Sind beide Funktionen umkehrbar und passen ihre Definitions- und Zielmengen zueinander, entsteht die Umkehrfunktion ihrer Zusammensetzung aus den beiden Umkehrfunktionen in umgekehrter Reihenfolge.
Seien und zwei Funktionen mit den Umkehrfunktionen und . Dann gilt für die Zusammensetzung :
Lies die Zusammensetzung von rechts nach links: Zuerst wird und danach angewendet.
Beispiel:
Sei mit und mit .
Schritt 1. Finde .
Schritt 2. Finde die Umkehrung von .
Sei . Tausche und : .
Löse nach auf: .
Also .
Schritt 3. Finde .
Da die Ergebnisse aus den Schritten 2 und 3 gleich sind, ist bewiesen, dass .
Die Definitionsmenge von wird zur Bildmenge von . Umgekehrt wird die Bildmenge von zur Definitionsmenge von .
Bei der Umkehrung tauschen Definitionsmenge und Bildmenge ihre Rollen. Betrachte diese eingeschränkte quadratische Funktion.
| Funktion | Definitionsmenge | Bildmenge |
|---|---|---|
Die Quadratwurzel liefert die ursprüngliche Eingabe, weil die quadratische Funktion nur nichtnegative Eingaben zulässt. Ohne diese Einschränkung ergibt die Quadratwurzel aus dem Quadrat einer negativen Zahl deren Betrag.
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