Eigenschaften der Umkehrfunktion

Zusammensetzung mit der Umkehrfunktion

Eine Funktion und ihre Umkehrfunktion $heben einander auf$ . Die Reihenfolge bestimmt, auf welcher Menge die Identität gilt: $f\circ f^{-1}$ ist die Identität auf der Bildmenge von $f$ , während $f^{-1}\circ f$ die Identität auf dem Definitionsbereich von $f$ ist.

$Schritt 1$ . Zusammensetzung von $f$ mit $f^{-1}$ .

(f \circ f^{-1})(x) = f(f^{-1}(x)) = x

Dies gilt für alle $x$ im Definitionsbereich von $f^{-1}$ . Dieser entspricht der Bildmenge von $f$ .

$Schritt 2$ . Zusammensetzung von $f^{-1}$ mit $f$ .

(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x

Dies gilt für alle $x$ im Definitionsbereich von $f$ .

$Beispiel$ :

Für $f(x) = 2x + 3$ lautet die Umkehrfunktion $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$ . Wir prüfen beide Zusammensetzungen:

\begin{aligned}f(f^{-1}(x)) &= f\left(\frac{x - 3}{2}\right) \\ &= 2\left(\frac{x - 3}{2}\right) + 3 \\ &= (x - 3) + 3 \\ &= x\end{aligned}

Beide Zusammensetzungen geben die ursprüngliche Eingabe $x$ zurück.

Umkehrung einer Umkehrfunktion

Kehrt man eine Umkehrfunktion erneut um, erhält man die ursprüngliche Funktion zurück.

(f^{-1})^{-1}(x) = f(x)

Zweimaliges Umkehren stellt also die ursprüngliche Zuordnung wieder her.

Eingabe und Ausgabe werden $zweimal vertauscht$ . Für die Funktion von oben kannst du die Zahlenpaare in der Tabelle verfolgen.

Ursprüngliche Funktion	Umkehrfunktion	Erneute Umkehrung
$(0,3)$	$(3,0)$	$(0,3)$
$(2,7)$	$(7,2)$	$(2,7)$

Umkehrfunktion einer Zusammensetzung

Sind beide Funktionen umkehrbar und passen ihre Definitions- und Zielmengen zueinander, entsteht die Umkehrfunktion ihrer Zusammensetzung aus den beiden Umkehrfunktionen in $umgekehrter Reihenfolge$ .

Seien $f$ und $g$ zwei Funktionen mit den Umkehrfunktionen $f^{-1}$ und $g^{-1}$ . Dann gilt für die Zusammensetzung $f \circ g$ :

(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)

Lies die Zusammensetzung von rechts nach links: Zuerst wird $f^{-1}$ und danach $g^{-1}$ angewendet.

$Beispiel$ :

Sei $f(x) = x + 1$ mit $f^{-1}(x) = x - 1$ und $g(x) = 3x$ mit $g^{-1}(x) = \frac{x}{3}$ .

$Schritt 1$ . Finde $(f \circ g)(x)$ .

\begin{aligned} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f(3x) \\ &= 3x + 1 \end{aligned}

$Schritt 2$ . Finde die Umkehrung von $(f \circ g)(x)$ .

Sei $y = 3x + 1$ . Tausche $x$ und $y$ : $x = 3y + 1$ .

Löse nach $y$ auf: $x - 1 = 3y \implies y = \frac{x - 1}{3}$ .

Also $(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{x - 1}{3}$ .

$Schritt 3$ . Finde $(g^{-1} \circ f^{-1})(x)$ .

\begin{aligned} (g^{-1} \circ f^{-1})(x) &= g^{-1}(f^{-1}(x)) \\ &= g^{-1}(x - 1) \end{aligned}

Da die Ergebnisse aus den Schritten 2 und 3 gleich sind, ist bewiesen, dass $(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)$ .

Die Rechenschritte umkehren

Zusammenhang zwischen Definitionsmenge und Bildmenge

Die Definitionsmenge von $f$ wird zur Bildmenge von $f^{-1}$ . Umgekehrt wird die Bildmenge von $f$ zur Definitionsmenge von $f^{-1}$ .

\begin{aligned} &\text{Definitionsmenge}(f) \\ &= \text{Bildmenge}(f^{-1}) \end{aligned}

Bei der Umkehrung $tauschen Definitionsmenge und Bildmenge ihre Rollen$ . Betrachte diese eingeschränkte quadratische Funktion.

q:[0,\infty)\to[1,\infty),\quad q(x)=x^2+1

Funktion	Definitionsmenge	Bildmenge
$q$	$[0,\infty)$	$[1,\infty)$
$q^{-1}$	$[1,\infty)$	$[0,\infty)$

Die Quadratwurzel liefert die ursprüngliche Eingabe, weil die quadratische Funktion nur nichtnegative Eingaben zulässt. Ohne diese Einschränkung ergibt die Quadratwurzel aus dem Quadrat einer negativen Zahl deren Betrag.

q^{-1}(q(x))=\sqrt{x^2}=x,\quad x\geq0

Zusammensetzung mit der Umkehrfunktion

$Schritt 1$ . Zusammensetzung von $f$ mit $f^{-1}$ .

(f \circ f^{-1})(x) = f(f^{-1}(x)) = x

Dies gilt für alle $x$ im Definitionsbereich von $f^{-1}$ . Dieser entspricht der Bildmenge von $f$ .

$Schritt 2$ . Zusammensetzung von $f^{-1}$ mit $f$ .

(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x

Dies gilt für alle $x$ im Definitionsbereich von $f$ .

$Beispiel$ :

Für $f(x) = 2x + 3$ lautet die Umkehrfunktion $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$ . Wir prüfen beide Zusammensetzungen:

\begin{aligned}f(f^{-1}(x)) &= f\left(\frac{x - 3}{2}\right) \\ &= 2\left(\frac{x - 3}{2}\right) + 3 \\ &= (x - 3) + 3 \\ &= x\end{aligned}

Beide Zusammensetzungen geben die ursprüngliche Eingabe $x$ zurück.

Umkehrung einer Umkehrfunktion

Kehrt man eine Umkehrfunktion erneut um, erhält man die ursprüngliche Funktion zurück.

(f^{-1})^{-1}(x) = f(x)

Zweimaliges Umkehren stellt also die ursprüngliche Zuordnung wieder her.

Eingabe und Ausgabe werden $zweimal vertauscht$ . Für die Funktion von oben kannst du die Zahlenpaare in der Tabelle verfolgen.

Ursprüngliche Funktion	Umkehrfunktion	Erneute Umkehrung
$(0,3)$	$(3,0)$	$(0,3)$
$(2,7)$	$(7,2)$	$(2,7)$

Umkehrfunktion einer Zusammensetzung

Seien $f$ und $g$ zwei Funktionen mit den Umkehrfunktionen $f^{-1}$ und $g^{-1}$ . Dann gilt für die Zusammensetzung $f \circ g$ :

(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)

Lies die Zusammensetzung von rechts nach links: Zuerst wird $f^{-1}$ und danach $g^{-1}$ angewendet.

$Beispiel$ :

Sei $f(x) = x + 1$ mit $f^{-1}(x) = x - 1$ und $g(x) = 3x$ mit $g^{-1}(x) = \frac{x}{3}$ .

$Schritt 1$ . Finde $(f \circ g)(x)$ .

\begin{aligned} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f(3x) \\ &= 3x + 1 \end{aligned}

$Schritt 2$ . Finde die Umkehrung von $(f \circ g)(x)$ .

Sei $y = 3x + 1$ . Tausche $x$ und $y$ : $x = 3y + 1$ .

Löse nach $y$ auf: $x - 1 = 3y \implies y = \frac{x - 1}{3}$ .

Also $(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{x - 1}{3}$ .

$Schritt 3$ . Finde $(g^{-1} \circ f^{-1})(x)$ .

\begin{aligned} (g^{-1} \circ f^{-1})(x) &= g^{-1}(f^{-1}(x)) \\ &= g^{-1}(x - 1) \end{aligned}

Da die Ergebnisse aus den Schritten 2 und 3 gleich sind, ist bewiesen, dass $(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)$ .

Die Rechenschritte umkehren

Zusammenhang zwischen Definitionsmenge und Bildmenge

Die Definitionsmenge von $f$ wird zur Bildmenge von $f^{-1}$ . Umgekehrt wird die Bildmenge von $f$ zur Definitionsmenge von $f^{-1}$ .

\begin{aligned} &\text{Definitionsmenge}(f) \\ &= \text{Bildmenge}(f^{-1}) \end{aligned}

Bei der Umkehrung $tauschen Definitionsmenge und Bildmenge ihre Rollen$ . Betrachte diese eingeschränkte quadratische Funktion.

q:[0,\infty)\to[1,\infty),\quad q(x)=x^2+1

Funktion	Definitionsmenge	Bildmenge
$q$	$[0,\infty)$	$[1,\infty)$
$q^{-1}$	$[1,\infty)$	$[0,\infty)$

q^{-1}(q(x))=\sqrt{x^2}=x,\quad x\geq0