In der Mathematik ist eine Relation von einer Menge A zu einer Menge eine beliebige Teilmenge des kartesischen Produkts . Ein geordnetes Paar in der Relation besagt, dass zu in Beziehung steht. Eine Relation darf ein Element aus ohne Zuordnung lassen oder ihm mehrere Elemente aus zuordnen.
B
A×B
(a,b)
a
b
A
B
Für die Kleiner als Relation zwischen A={1,2,3} und B={1,2,3,4} gehört (a,b) genau dann zur Relation, wenn a<b gilt:
Für a=1 erhalten wir 1<2, 1<3, 1<4. Paare: (1,2),(1,3),(1,4).
Für a=2 erhalten wir 2<3, 2<4. Paare: (2,3),(2,4).
Jedes Pfeildiagramm lässt sich gegen dieselbe Bedingung prüfen. Die Pfeile zeigen, welche Bedingung jede Relation erfüllt oder verletzt. Eine Relation ist genau dann eine Funktion, wenn von jedem Element des Definitionsbereichs genau ein Pfeil ausgeht.
Die Diagramme zeigen zwei verschiedene Verstöße. Im ersten besitzt die Eingabe b zwei Ausgaben. Im zweiten besitzt die Eingabe c überhaupt keine Ausgabe.
Eins zu vielen
Das Element b besitzt mehr als ein Bild.
a → m
b → m
b → n
c → n
Element der Definitionsmenge ohne Zuordnung
Das Element c ist keinem Element der Zielmenge zugeordnet.
Hier zeigt jede Eingabe aus dem Definitionsbereich auf genau eine Ausgabe, und genau diese Bedingung muss eine Relation erfüllen, um eine Funktion zu sein.
Genau ein Paar
Jedes Element der Definitionsmenge, p, q und r, ist genau einem Element zugeordnet.
Bei geordneten Paaren wird die erste Koordinate geprüft. Tritt dieselbe erste Koordinate mit zwei verschiedenen zweiten Koordinaten auf, ist die Relation keine Funktion.
In einer Tabelle muss jeder Eingabewert eine einheitliche Ausgabe besitzen, auch wenn er in mehreren Zeilen vorkommt.
Im Graphen von y als Funktion von x darf jede senkrechte Gerade den Graphen höchstens einmal schneiden. Dies ist der Senkrechtentest.
Der Kreis x2+y2=4 ist zum Beispiel auf dem gesamten Kreis kein Graph von y als Funktion von x. Für x=0 enthält die Relation sowohl y=2 als auch y=−2.
Jeder Punkt unten nennt eine Relation, und die Prüfung bleibt dieselbe. Betrachte die ersten Koordinaten und entscheide, ob eine Eingabe mit zwei verschiedenen Ausgaben gepaart ist.
Ist R={(−1,3),(0,3),(2,5)} auf den dargestellten Eingaben eine Funktion?
Ist S={(−1,3),(0,3),(−1,5)} auf den dargestellten Eingaben eine Funktion?
Definiert y2=x die Variable y als Funktion jedes x≥0?
