Multiplikation und Division von Funktionen

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g(x)

x

(f\cdot g)

Visualisierung der Funktionsmultiplikation

Beobachte, wie die Funktionswerte von

f(x)=x

und

g(x)=2

multipliziert werden und dadurch

(f \cdot g)(x)=2x

entsteht.

(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)

Das Produkt benötigt $eine zulässige Eingabe für beide Funktionen$ . Sein Definitionsbereich ist die Schnittmenge beider Definitionsbereiche.

D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g

Beispiel einer Multiplikation

Verwenden wir dieses Mal etwas andere Funktionen:

$f(x) = x^2$ , mit Definitionsbereich $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ (alle reellen Zahlen).
$g(x) = x - 1$ , mit Definitionsbereich $D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ (alle reellen Zahlen).

$Schritt 1$ : Bestimme die resultierende Funktion aus der Multiplikation

(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)

$Schritt 2$ : Bestimme den Definitionsbereich der resultierenden Funktion

Wir finden die $Schnittmenge$ von $D_f$ und $D_g$ :

D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g

Die resultierende Funktion aus der Multiplikation ist also $(f \cdot g)(x) = x^3 - x^2$ mit dem Definitionsbereich aller reellen Zahlen.

Division zweier Funktionen

Auch die Division der Funktion $f$ durch die Funktion $g$ ist ähnlich: Wir dividieren das Ergebnis von $f(x)$ durch $g(x)$ . Das Ergebnis ist eine neue Funktion $(\frac{f}{g})$ .

\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

Bei der Division gilt eine zusätzliche Bedingung. Neben der Zugehörigkeit zu den Definitionsbereichen von $f$ und $g$ muss die Eingabe $x$ auch $g(x)\neq0$ erfüllen, $damit der Nenner nicht null ist$ .

Der Definitionsbereich der Quotientenfunktion $(\frac{f}{g})$ ist somit die Schnittmenge von $D_f$ und $D_g$ , aus der alle Werte von $x$ mit $g(x) = 0$ ausgeschlossen werden.

D_{\frac{f}{g}}=(D_f\cap D_g)\setminus\{x\mid g(x)=0\}

Das Symbol $\setminus$ bezeichnet die Mengendifferenz: Die aufgeführten Eingaben werden aus der Schnittmenge der Definitionsbereiche entfernt.

Beispiel für eine Division

Wir verwenden die gleichen Funktionen wie im Multiplikationsbeispiel:

$f(x) = x^2$ , $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$
$g(x) = x - 1$ , $D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$

$Schritt 1$ : Bestimme die resultierende Funktion aus der Division

\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2}{x-1}

$Schritt 2$ : Bestimme den Definitionsbereich der resultierenden Funktion

Finde zunächst den Schnittmenge von $D_f$ und $D_g$ :

D_f \cap D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}

Bestimme anschließend den Wert von $x$ , für den $g(x) = 0$ gilt:

g(x) = 0

Schließe danach $x=1$ aus der $Schnittmenge der Definitionsbereiche$ aus:

D_{\frac{f}{g}}=\{x\mid x\in\mathbb{R}\}\setminus\{1\}

Oder es kann auch geschrieben werden als:

D_{\frac{f}{g}} = \{x | x \in \mathbb{R}, x \neq 1\}

Die resultierende Funktion aus der Division ist also $(\frac{f}{g})(x) = \frac{x^2}{x-1}$ mit dem Definitionsbereich aller reellen Zahlen außer $x=1$ .

Kürzen erweitert den Definitionsbereich nicht

Steht derselbe Faktor im Zähler und Nenner, dürfen wir ihn nur kürzen, wenn er nicht null ist.

h(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1,\quad x\neq1

Die vereinfachte Formel behält die $ursprüngliche Einschränkung des Definitionsbereichs$ . Bei der Eingabe zwei ergeben sowohl der Bruch als auch der vereinfachte Ausdruck drei. Bei der Eingabe eins ist der ursprüngliche Bruch nicht definiert, obwohl der lineare Ausdruck zwei ergibt.

Übungsaufgaben

Gegeben sei die Funktion $f(x) = \sqrt{x+4}$ mit $D_f = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$ und die Funktion $g(x) = x^2 - 9$ mit $D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ .

Bestimme $(f \cdot g)(x)$ und seinen $Definitionsbereich$ $D_{f \cdot g}$ .
Bestimme $(\frac{f}{g})(x)$ und seinen Definitionsbereich $D_{\frac{f}{g}}$ .
Berechne den Wert von $(f \cdot g)(5)$ .
Ist $(\frac{f}{g})(3)$ definiert? Begründe deine Antwort.

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Multipliziere die beiden Funktionswerte an derselben Stelle und prüfe anschließend beide Definitionsbereiche.

(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)

Definitionsbereich $D_{f \cdot g}$ :

D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g

Damit gilt $(f \cdot g)(x) = (x^2 - 9)\sqrt{x+4}$ mit dem $Definitionsbereich$ $\{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$ .

$Aufgabe 2$ . Teile den ersten Funktionswert durch den zweiten. Der Nenner darf nicht null sein.

\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{x+4}}{x^2 - 9}

Definitionsbereich $D_{\frac{f}{g}}$ :

Zunächst ist die Schnittmenge $D_f \cap D_g = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$ .

Nun bestimmen wir alle Werte von $x$ mit $g(x)=0$ :

g(x) = 0

Schließe $x=3$ und $x=-3$ aus der Schnittmenge der Definitionsbereiche aus:

D_{\frac fg}=\{x\in\mathbb R\mid x\geq-4\}\setminus\{-3,3\}

Oder es kann geschrieben werden als:

D_{\frac fg}=[-4,\infty)\setminus\{-3,3\}

Damit gilt $(\frac{f}{g})(x) = \frac{\sqrt{x+4}}{x^2 - 9}$ mit dem $Definitionsbereich$ $\{x | x \ge -4, x \neq -3, x \neq 3\}$ .

$Aufgabe 3$ . Wir verwenden das Ergebnis aus Aufgabe 1: $(f \cdot g)(x) = (x^2 - 9)\sqrt{x+4}$ .

Wegen $5 \ge -4$ liegt $x=5$ im $Definitionsbereich$ $D_{f \cdot g}$ .

(f \cdot g)(5) = (5^2 - 9)\sqrt{5+4}

$Aufgabe 4$ . Nein. Aus Teil 2 kennen wir den $Definitionsbereich$ von $(\frac{f}{g})(x)$ als $\{x | x \ge -4, x \neq -3, x \neq 3\}$ . Der Wert $x=3$ ist ausgeschlossen, weil der Nenner $g(x) = x^2 - 9$ dort Null wird ( $3^2 - 9 = 0$ ). Eine Division durch Null ist nicht definiert.

Multiplikation und Division von Funktionen

Multiplikation zweier Funktionen

Multiplikation und Division von Funktionen

Multiplikation zweier Funktionen

Beispiel einer Multiplikation

Division zweier Funktionen

Beispiel für eine Division

Kürzen erweitert den Definitionsbereich nicht

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