Multiplikation und Division von Funktionen

Wie bei Summe und Differenz ist das Produkt nur dort definiert, wo beide Ausgangsfunktionen definiert sind. Sein Definitionsbereich ist die Schnittmenge beider Definitionsbereiche.

Beispiel einer Multiplikation

Verwenden wir dieses Mal etwas andere Funktionen:

1. $f(x) = x^2$, mit Definitionsbereich $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ (alle reelle Zahlen).
2. $g(x) = x - 1$, mit Definitionsbereich $D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ (alle reelle Zahlen).

Schritt $1$: Bestimmen Sie die resultierende Funktion aus der Multiplikation

Schritt $2$: Bestimmen Sie den Definitionsbereich der resultierenden Funktion

Wir finden den Schnittpunkt von $D_f$ und $D_g$:

Die resultierende Funktion aus der Multiplikation ist also $(f \cdot g)(x) = x^3 - x^2$ mit dem Definitionsbereich aller reellen Zahlen.

Division zweier Funktionen

Auch die Division der Funktion $f$ durch die Funktion $g$ ist ähnlich: Wir dividieren das Ergebnis von $f(x)$ durch $g(x)$. Das Ergebnis ist eine neue Funktion $(\frac{f}{g})$.

Bei der Division gilt eine zusätzliche Bedingung. Neben der Zugehörigkeit zu den Definitionsbereichen von $f$ und $g$ muss die Eingabe $x$ auch $g(x)\neq0$ erfüllen, damit der Nenner nicht null ist.

Der Definitionsbereich der Quotientenfunktion $(\frac{f}{g})$ ist somit die Schnittmenge von $D_f$ und $D_g$, aus der alle Werte von $x$ mit $g(x) = 0$ ausgeschlossen werden.

Das Symbol $\setminus$ bezeichnet die Mengendifferenz: Die aufgeführten Eingaben werden aus der Schnittmenge der Definitionsbereiche entfernt.

Beispiel für eine Division

Wir verwenden die gleichen Funktionen wie im Multiplikationsbeispiel:

1. $f(x) = x^2$, $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$
2. $g(x) = x - 1$, $D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$

Schritt $1$: Bestimmen Sie die resultierende Funktion aus der Division

Schritt $2$: Bestimmen Sie den Definitionsbereich der resultierenden Funktion

Finden Sie zunächst den Schnittpunkt von $D_f$ und $D_g$:

Zweitens ermitteln Sie den Wert von $x$, der $g(x) = 0$ ergibt:

Drittens schließen Sie $x=1$ aus der Schnittmenge der Definitionsbereiche aus:

Oder es kann auch geschrieben werden als:

Die resultierende Funktion aus der Division ist also $(\frac{f}{g})(x) = \frac{x^2}{x-1}$ mit dem Definitionsbereich aller reellen Zahlen außer $x=1$.

Übungsaufgaben

Gegeben sei die Funktion $f(x) = \sqrt{x+4}$ mit $D_f = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$ und die Funktion $g(x) = x^2 - 9$ mit $D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$.

1. Bestimmen Sie $(f \cdot g)(x)$ und seinen Definitionsbereich $D_{f \cdot g}$.
2. Bestimmen Sie $(\frac{f}{g})(x)$ und seinen Definitionsbereich $D_{\frac{f}{g}}$.
3. Berechnen Sie den Wert von $(f \cdot g)(5)$.
4. Ist $(\frac{f}{g})(3)$ definiert? Erklären.

Lösungen

1. Bestimmung von $(f \cdot g)(x)$:

   $$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$$

   $$= (\sqrt{x+4}) \cdot (x^2 - 9)$$

   $$= (x^2 - 9)\sqrt{x+4}$$

   Definitionsbereich $D_{f \cdot g}$:

   $$D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g$$

   Damit gilt $(f \cdot g)(x) = (x^2 - 9)\sqrt{x+4}$ mit dem Definitionsbereich .

2. Bestimmung von $(\frac{f}{g})(x)$:

   $$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{x+4}}{x^2 - 9}$$

3. Berechnung von $(f \cdot g)(5)$:

   Wir verwenden das Ergebnis aus Aufgabe $1$: $(f \cdot g)(x) = (x^2 - 9)\sqrt{x+4}$.

4. Ist $(\frac{f}{g})(3)$ definiert?

   Nein. Aus Teil $2$ kennen wir den Definitionsbereich von $(\frac{f}{g})(x)$ als . Der Wert ist ausgeschlossen, weil der Nenner dort Null wird (). Eine Division durch Null ist nicht definiert.

Definitionsbereich $D_{\frac{f}{g}}$:

Zunächst ist die Schnittmenge $D_f \cap D_g = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$.

Nun bestimmen wir alle Werte von $x$ mit $g(x)=0$:

Schließen Sie $x=3$ und $x=-3$ aus der Schnittmenge der Definitionsbereiche aus:

Oder es kann geschrieben werden als:

Damit gilt $(\frac{f}{g})(x) = \frac{\sqrt{x+4}}{x^2 - 9}$ mit dem Definitionsbereich $\{x | x \ge -4, x \neq -3, x \neq 3\}$.

Wegen $5 \ge -4$ liegt $x=5$ im Definitionsbereich $D_{f \cdot g}$.