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Die „Übersetzungsmaschine“ ordnet hier dem englischen Wort „Mathematics“ die indonesische Übersetzung „Matematika“ zu.
Die umgekehrte Zuordnung führt von „Matematika“ zurück zu „Mathematics“. Diese Zuordnung heißt Umkehrfunktion.
Eine Umkehrfunktion vertauscht Eingabe und Ausgabe. Ordnet einem Element aus der Definitionsmenge das Element in der Zielmenge zu, dann ordnet (gesprochen „f invers“) dem Wert aus wieder den Wert in zu.
Mathematisch:
Kurz gesagt: Wenn aus den Wert erzeugt, führt von wieder zu zurück.
Die Schreibweise bezeichnet die Umkehrfunktion. Der Kehrwert wird als geschrieben.
Um die beiden Schreibweisen zu unterscheiden, betrachten wir . Die Umkehrfunktion sucht die ursprüngliche Eingabe. Beim Kehrwert wird eins durch den Funktionswert geteilt.
| Eingabe | Umkehrfunktion | Kehrwert |
|---|---|---|
Damit eine Funktion eine beidseitige Umkehrfunktion besitzt, muss bijektiv sein. Eine bijektive Funktion ist sowohl injektiv (eins zu eins) als auch surjektiv.
Die festgelegte Definitionsmenge und Zielmenge sind dabei entscheidend. Ist injektiv, erreicht aber nicht ganz , kann man die Zielmenge durch die tatsächliche Bildmenge ersetzen. Schreiben wir diese als , dann ist bijektiv und besitzt eine Umkehrfunktion . Ist nicht injektiv, ordnet die umgekehrte Relation einer Ausgabe mehrere Eingaben zu. Sie ist dann keine Funktion, sofern man die ursprüngliche Definitionsmenge nicht einschränkt.
Zum Beispiel ist auf nicht injektiv, denn . Durch die Einschränkung von Definitionsmenge und Zielmenge erhält man die bijektive Funktion
Diese Funktion hat die Umkehrfunktion .
Mit den folgenden Schritten bestimmst du aus die Formel der Umkehrfunktion :
Beispiel:
Sei durch definiert. Bestimme die Umkehrfunktion.
Schritt 1. Ersetze durch :
Schritt 2. und vertauschen:
Schritt 3. Nach auflösen:
Schritt 4. Ersetze durch :
Die Umkehrfunktion von ist also .
Der Graph der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung des Graphen von an der Geraden .
Betrachten wir zum Beispiel den Graphen von , seine Umkehrung und die Identitätslinie .
Die Spiegelung vertauscht die Koordinaten. Der Punkt auf dem ursprünglichen Graphen wird zum Punkt auf dem Graphen der Umkehrfunktion. Beide liegen auf gegenüberliegenden Seiten der Spiegelachse und haben den Mittelpunkt .
Sei durch definiert. Arbeite die drei Schritte unten für diese Funktion ab. Prüfe am Ende beide Verkettungen, denn eine korrekte Umkehrfunktion hebt die Ausgangsfunktion in beiden Reihenfolgen auf.
Aufgabe 1. Beginne mit , vertausche die Variablen und löse nach auf:
Aufgabe 2. Überprüfe nun beide Richtungen:
Aufgabe 3. Sowohl als auch haben die Definitionsmenge und die Bildmenge . Die beiden Identitäten bestätigen, dass sich die Funktionen auf ihren vollständigen Definitionsmengen gegenseitig aufheben.
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