Umkehrfunktion

Eine eindeutige Wortzuordnung umkehren

Beim Übersetzen wird einem englischen Wort ein indonesisches Wort zugeordnet. Dieser Vorgang lässt sich als Funktion betrachten: Das englische Wort ist die Eingabe, das indonesische Wort die Ausgabe.

Reale Übersetzungen können mehrdeutig sein. Hier verwenden wir bewusst ein kleines Wörterbuch, in dem jedes ausgewählte Wort genau einer Übersetzung zugeordnet ist.

Die „Übersetzungsmaschine“ ordnet hier dem englischen Wort „Mathematics“ die indonesische Übersetzung „Matematika“ zu.

Die umgekehrte Zuordnung führt von „Matematika“ zurück zu „Mathematics“. Diese Zuordnung heißt Umkehrfunktion.

Definition der Umkehrfunktion

Eine Umkehrfunktion vertauscht Eingabe und Ausgabe. Ordnet $f$ einem Element $x$ aus der Definitionsmenge $A$ das Element $y$ in der Zielmenge $B$ zu, dann ordnet $f^{-1}$ (gesprochen „f invers“) dem Wert $y$ aus $B$ wieder den Wert $x$ in $A$ zu.

Mathematisch:

Kurz gesagt: Wenn $f$ aus $x$ den Wert $y$ erzeugt, führt $f^{-1}$ von $y$ wieder zu $x$ zurück.

Die Schreibweise $f^{-1}(x)$ bezeichnet die Umkehrfunktion. Der Kehrwert wird als $\frac{1}{f(x)}$ geschrieben.

Um die beiden Schreibweisen zu unterscheiden, betrachten wir $f(x)=2x+3$. Die Umkehrfunktion sucht die ursprüngliche Eingabe. Beim Kehrwert wird eins durch den Funktionswert geteilt.

Voraussetzung für eine Umkehrfunktion

Damit eine Funktion $f:A\to B$ eine beidseitige Umkehrfunktion $f^{-1}:B\to A$ besitzt, muss $f$ bijektiv sein. Eine bijektive Funktion ist sowohl injektiv (eins zu eins) als auch surjektiv.

• Injektiv (eins zu eins): Verschiedene Eingaben erzeugen verschiedene Ausgaben.
• Surjektiv: Jedes Element der Zielmenge wird von mindestens einer Eingabe erreicht.

Die festgelegte Definitionsmenge und Zielmenge sind dabei entscheidend. Ist $f$ injektiv, erreicht aber nicht ganz $B$, kann man die Zielmenge durch die tatsächliche Bildmenge ersetzen. Schreiben wir diese als $\operatorname{Im}(f)$, dann ist $f:A\to \operatorname{Im}(f)$ bijektiv und besitzt eine Umkehrfunktion $f^{-1}:\operatorname{Im}(f)\to A$. Ist $f$ nicht injektiv, ordnet die umgekehrte Relation einer Ausgabe mehrere Eingaben zu. Sie ist dann keine Funktion, sofern man die ursprüngliche Definitionsmenge nicht einschränkt.

Zum Beispiel ist $q(x)=x^2$ auf $\mathbb{R}$ nicht injektiv, denn $q(2)=q(-2)=4$. Durch die Einschränkung von Definitionsmenge und Zielmenge erhält man die bijektive Funktion

Diese Funktion hat die Umkehrfunktion $q^{-1}(x)=\sqrt{x}$.

Bestimmen der Formel für eine Umkehrfunktion

Mit den folgenden Schritten bestimmst du aus $f(x)$ die Formel der Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$:

1. Ersetze $f(x)$ durch $y$.
2. Vertausche die Positionen der Variablen $x$ und $y$ in der Gleichung.
3. Löse die Gleichung für $y$ anhand von $x$ auf.
4. Ersetze $y$ durch $f^{-1}(x)$, um die Umkehrfunktionsformel zu erhalten.

Beispiel:

Sei $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ durch $f(x) = 2x + 3$ definiert. Bestimme die Umkehrfunktion.

Schritt 1. Ersetze $f(x)$ durch $y$:

Schritt 2. $x$ und $y$ vertauschen:

Schritt 3. Nach $y$ auflösen:

Schritt 4. Ersetze $y$ durch $f^{-1}(x)$:

Die Umkehrfunktion von $f(x) = 2x + 3$ ist also $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$.

Graph einer Funktion und ihrer Umkehrung

Der Graph der Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ entsteht durch Spiegelung des Graphen von $f(x)$ an der Geraden $y = x$.

Betrachten wir zum Beispiel den Graphen von $f(x) = 2x + 3$, seine Umkehrung $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$ und die Identitätslinie $y=x$.

Die Spiegelung vertauscht die Koordinaten. Der Punkt $(1,5)$ auf dem ursprünglichen Graphen wird zum Punkt $(5,1)$ auf dem Graphen der Umkehrfunktion. Beide liegen auf gegenüberliegenden Seiten der Spiegelachse und haben den Mittelpunkt $(3,3)$.

Verständnis prüfen

Sei $r:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ durch $r(x)=3x-5$ definiert. Arbeite die drei Schritte unten für diese Funktion ab. Prüfe am Ende beide Verkettungen, denn eine korrekte Umkehrfunktion hebt die Ausgangsfunktion in beiden Reihenfolgen auf.

1. Bestimme $r^{-1}(x)$.
2. Überprüfe beide Verkettungen $r^{-1}(r(x))$ und $r(r^{-1}(x))$.
3. Gib Definitionsmenge und Bildmenge beider Funktionen an.

Lösung

Aufgabe 1. Beginne mit $y=3x-5$, vertausche die Variablen und löse nach $y$ auf:

Aufgabe 2. Überprüfe nun beide Richtungen:

Aufgabe 3. Sowohl $r$ als auch $r^{-1}$ haben die Definitionsmenge $\mathbb{R}$ und die Bildmenge $\mathbb{R}$. Die beiden Identitäten bestätigen, dass sich die Funktionen auf ihren vollständigen Definitionsmengen gegenseitig aufheben.