Vertikale Verschiebung

Alle Funktionswerte um dieselbe Zahl erhöhen oder verringern

Eine vertikale Verschiebung bewegt den Graphen einer Funktion entlang der $y$-Achse nach oben oder unten, ohne seine Form zu verändern. Jeder Punkt bewegt sich um dieselbe vertikale Strecke, sodass der ganze Graph angehoben oder abgesenkt wird.

Aus der Funktion $f(x)$ entsteht die verschobene Funktion $g(x) = f(x) + k$. Die Zahl $k$ gibt Richtung und Länge der Verschiebung an.

Die Vorzeichenregel lesen

Sieh dir an, wo $k$ in der folgenden Gleichung steht. Die Zahl steht außerhalb der Funktion und wird zum fertigen Ausgabewert addiert.

Weil $k$ zur Ausgabe addiert wird, wirkt sein Vorzeichen genau so, wie du es liest. Ein positives $k$ hebt den Graphen an, ein negatives senkt ihn.

Alle drei Zeilen nutzen den Scheitelpunkt $(0,0)$ als Bezugspunkt, damit sich die Richtung leicht vergleichen lässt. Bei einer Funktion mit einem anderen Bezugspunkt wandert jeder Punkt um dieselbe Strecke in dieselbe Richtung.

Visualisierung der vertikalen Verschiebung

Die lineare Funktion $f(x) = 2x$ zeigt, dass sich die Steigung bei einer vertikalen Verschiebung nicht ändert.

Die Visualisierung zeigt:

• Die ursprüngliche Funktion $f(x) = 2x$ verläuft durch den Ursprung
• Die Funktion $g(x) = 2x + 3$ ist das Ergebnis der Verschiebung nach oben um $3 \text{ Einheiten}$
• Die Funktion $h(x) = 2x - 2$ ist um $2 \text{ Einheiten}$ nach unten verschoben.

Vertikale Verschiebung quadratischer Funktionen

Dieselbe Verschiebungsregel gilt für die quadratische Funktion $f(x) = x^2$.

An den Scheitelpunkten ist die Verschiebung direkt ablesbar:

• Der Scheitelpunkt der ursprünglichen Parabel $f(x) = x^2$ liegt bei $(0, 0)$
• Nach der vertikalen Verschiebung $+4$ liegt der Scheitelpunkt von $g(x) = x^2 + 4$ bei $(0, 4)$
• Nach der vertikalen Verschiebung $-3$ liegt der Scheitelpunkt von $h(x) = x^2 - 3$ bei $(0, -3)$

Was die vertikale Verschiebung mitnimmt

Wenn du die Richtung kennst, bleibt noch die Frage, welche Teile der Funktion mitwandern. Eine vertikale Verschiebung greift an der Ausgabe an. Die Höhe des Graphen verschiebt sich also, während die erlaubten Werte von $x$ gleich bleiben.

Betrachte einen Punkt $(a, b)$ auf dem Graphen von $f(x)$. Nach einer Verschiebung um $k$ liegt dieser Punkt als $(a, b + k)$ auf dem Graphen von $f(x) + k$. Die $x$-Koordinate bleibt gleich, nur der $y$-Wert wandert.

Der Wertebereich wandert mit, weil er die Höhe der Ausgabewerte beschreibt. Der Definitionsbereich bleibt gleich, weil sich die erlaubten Werte von $x$ nicht ändern. Bei einer horizontalen Verschiebung tauschen die beiden Bereiche ihre Rollen.

Einen Exponentialgraphen vertikal verschieben

Die Exponentialfunktion $f(x) = 2^x$ wird vertikal verschoben.

Die horizontale Asymptote bei $y = 0$ von $f(x) = 2^x$ wandert zur Geraden $y = k$ der Funktion $f(x) + k$. Anders als bei einer horizontalen Verschiebung ändert sich hier die Höhe, der sich die Kurve nähert, denn die Asymptote bleibt nicht an der $x$-Achse fest.

Der $y$-Achsenabschnitt wandert von $(0, 1)$ nach $(0, 1 + k)$. Seine $x$-Koordinate bleibt bei null, weil sich der Graph nur vertikal bewegt.

Übungen

Die drei Aufgaben nutzen die Vorzeichenregel, die du gerade gelernt hast. Jede Aufgabe addiert die Konstante zur Ausgabe, also achte auf den Wert von $k$. Rechne zuerst ohne die Lösungen und vergleiche danach deine Schritte mit den ausführlichen Rechenwegen.

1. Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2 + 4x + 3$. Bestimme die Gleichung nach einer vertikalen Verschiebung um $5 \text{ Einheiten}$ nach oben.

2. Der Graph der Funktion $g(x) = 3x + 2$ wird um $7 \text{ Einheiten}$ vertikal nach unten verschoben. Bestimme die Gleichung der verschobenen Funktion und danach den $y$-Achsenabschnitt nach der Verschiebung.

3. Die Funktion $h(x) = \sqrt{x}$ wird so verschoben, dass der Punkt $(4, 2)$ auf $(4, 5)$ abgebildet wird. Bestimme die Verschiebungskonstante und die Gleichung der verschobenen Funktion.

Lösungen

Aufgabe 1. Die Addition zur Ausgabe ergibt:

Vertikale Verschiebung nach oben um $5 \text{ Einheiten}$:

Aufgabe 2. Ziehe von jedem Funktionswert sieben ab, um den Graphen nach unten zu verschieben. Für den senkrechten Achsenabschnitt setzt du die Eingabe gleich null.

• Verschiebung nach unten um $7 \text{ Einheiten}$: $G(x) = g(x) - 7 = 3x + 2 - 7 = 3x - 5$
• $y$-Achsenabschnitt: Setze $x = 0$ in $G(0) = 3(0) - 5 = -5$ ein. Der Schnittpunkt ist $(0, -5)$.

Visualisierung:

Aufgabe 3. Punkt $(4, 2)$ auf $h(x) = \sqrt{x}$ wird zu $(4, 5)$, was eine vertikale Verschiebung um $k = 5 - 2 = 3 \text{ Einheiten}$ nach oben bedeutet. Die verschobene Funktion lautet $H(x) = \sqrt{x} + 3$.