Vertikale Spiegelung

Das Vorzeichen aller Funktionswerte wechseln

Bei einer vertikalen Spiegelung wird ein Funktionsgraph an der $x$-Achse gespiegelt. Das ähnelt dem Spiegelbild eines Gegenstands auf einer ruhigen Wasseroberfläche: Die Form bleibt erhalten, aber oben und unten tauschen ihre Plätze.

Für eine Funktion $f(x)$ entsteht die neue Funktion $g(x) = -f(x)$. Das Minuszeichen vor der Funktion bewirkt die Spiegelung an der $x$-Achse.

Spiegelungsregel

Für jede Funktion $f(x)$ gilt:

Jeder Punkt $(x, y)$ des ursprünglichen Graphen wird also zum Punkt $(x, -y)$. Die horizontale Position bleibt gleich, nur die Höhe wechselt das Vorzeichen.

Punkte auf der Spiegelachse bleiben fest. Bei anderen Punkten wechselt die zur Spiegelachse senkrechte Koordinate ihr Vorzeichen. Zweimaliges Spiegeln führt jeden Punkt an seine Ausgangsposition zurück.

Die Spiegelung im Graphen

Betrachten wir zuerst die quadratische Funktion $f(x) = x^2$.

Am Graphen lässt sich direkt ablesen:

• Die ursprüngliche Funktion $f(x) = x^2$ öffnet sich nach oben mit dem Scheitelpunkt bei $(0, 0)$
• Die reflektierte Funktion $g(x) = -x^2$ öffnet sich nach unten, wobei der Scheitelpunkt immer noch bei $(0, 0)$ liegt
• Die beiden Graphen sind Spiegelbilder voneinander an der $x$-Achse

Spiegelung einer linearen Funktion

Dieselbe Spiegelungsregel gilt für die lineare Funktion $f(x) = 2x + 3$.

Der Vergleich zeigt:

• Die ursprüngliche Funktion $f(x) = 2x + 3$ hat eine positive Steigung und schneidet die $y$-Achse bei $(0, 3)$
• Die reflektierte Funktion $g(x) = -2x - 3$ hat eine negative Steigung und schneidet die $y$-Achse bei $(0, -3)$
• Beide Geraden schneiden sich auf der $x$-Achse

Welche Werte die vertikale Spiegelung umkehrt

Eine vertikale Spiegelung klappt den Graphen an der $x$-Achse, deshalb ist die $x$-Achse die Spiegellinie. Jeder Punkt behält seinen Abstand zur Spiegellinie, wandert aber auf die andere Seite.

Betrachte einen Punkt $(a, b)$ auf dem Graphen von $f(x)$. Der zugehörige Punkt auf dem Graphen von $-f(x)$ ist $(a, -b)$. Die $x$-Koordinate bleibt $a$, und nur das Vorzeichen des $y$-Werts dreht sich um.

Der Wertebereich wechselt auf die andere Seite, weil er die Ausgabewerte enthält und diese Werte ihr Vorzeichen umkehren. Der Definitionsbereich bleibt gleich, weil sich die erlaubten Eingaben nicht ändern. Eine horizontale Spiegelung klappt stattdessen die waagerechten Koordinaten um.

Einen Exponentialgraphen an der horizontalen Achse spiegeln

Bei der Exponentialfunktion $f(x) = 2^x$ liegt der gespiegelte Graph vollständig unterhalb der horizontalen Achse.

Für Exponentialfunktionen:

• Die horizontale Asymptote bleibt für beide Funktionen bei $y = 0$ (da die $x$-Achse sich selbst spiegelt)
• Der $y$-Achsenabschnitt ändert sich von $(0, 1)$ auf $(0, -1)$
• Die ursprünglich steigende Funktion wird abnehmend

Spiegelung einer trigonometrischen Funktion

Bei der $\sin$-Funktion vertauscht die Spiegelung Hochpunkte und Tiefpunkte.

Der Graph zeigt:

• Die Amplitude bleibt gleich, aber die Wellenrichtung ist umgekehrt
• Periode und Frequenz ändern sich nicht
• Maximale Punkte werden zu minimalen Punkten und umgekehrt

Übungen

Die drei Aufgaben nutzen die Spiegelregel, die du gerade gelernt hast. Jede Aufgabe multipliziert die gesamte Ausgabe mit $-1$, also erscheint jede Höhe auf der anderen Seite der $x$-Achse. Rechne zuerst ohne die Lösungen und vergleiche danach deine Schritte mit den ausführlichen Rechenwegen.

1. Spiegle die Funktion $f(x) = x^2 + 4x + 3$ vertikal und bestimme die neue Funktionsgleichung.

2. Der Graph der Funktion $g(x) = 3^x + 2$ wird an der $x$-Achse gespiegelt. Bestimme die Gleichung der gespiegelten Funktion und danach den Wertebereich dieser Funktion.

3. Spiegle die Funktion $h(x) = \sqrt{x + 1}$ vertikal und bestimme den $y$-Achsenabschnitt des neuen Graphen.

Lösungen

Aufgabe 1. Multipliziere die gesamte Ausgabe mit minus eins, einschließlich aller konstanten Summanden:

Vertikale Reflexion:

Aufgabe 2. Die Spiegelung kehrt das Vorzeichen jedes Funktionswerts um. Bestimme daraus den Wertebereich der gespiegelten Exponentialfunktion.

Das Multiplizieren mit minus eins kehrt die Ungleichung um. Zwei bleibt ein Grenzwert, denn eine Exponentialfunktion ist stets positiv.

Gleichung der resultierenden reflektierten Funktion:

• Vertikale Reflexion: $G(x) = -(3^x + 2) = -3^x - 2$
• Wertebereich nach der Spiegelung: Aus dem ursprünglichen Wertebereich von $g(x) = 3^x + 2$, also $(2, \infty)$, wird $(-\infty, -2)$

Im Graphen:

Aufgabe 3. Für den senkrechten Achsenabschnitt verwendest du die Eingabe null. Berechne zuerst den Funktionswert und wechsle dann sein Vorzeichen.

Die ursprüngliche Funktion $h(x) = \sqrt{x + 1}$ hat einen $y$-Achsenabschnitt bei $(0, 1)$, weil $h(0) = \sqrt{0 + 1} = 1$. Nach vertikaler Spiegelung: $H(x) = -\sqrt{x + 1}$, der $y$-Achsenabschnitt wird zu $(0, -1)$.