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Aus einer Funktion entsteht die neue Funktion . Dabei ist der Faktor, der jeden Funktionswert multipliziert.
Für jede Funktion und jeden von null verschiedenen Faktor gilt:
Der Faktor bestimmt, was mit der Höhe geschieht:
Der Wert ist ausgeschlossen, weil dann alle Funktionswerte zu zusammenfallen. Die entstehenden Punkte liegen nur für Eingaben des ursprünglichen Definitionsbereichs auf der waagerechten Achse.
Der Betrag des Faktors verändert den Abstand zur waagerechten Achse. Ein positiver Faktor über eins vergrößert diesen Abstand. Ein Faktor zwischen null und eins verkleinert ihn.
Die quadratische Funktion zeigt besonders deutlich, wie verschiedene Faktoren den Abstand zur -Achse verändern.
Der Graph zeigt:
Dieselbe Skalierungsregel gilt für die lineare Funktion .
Der Vergleich zeigt:
Wenn du weißt, ob der Graph höher oder niedriger wird, bleibt noch die Frage, welche Werte mitwandern. Die vertikale Skalierung multipliziert jeden Funktionswert mit dem Faktor . Die Höhen ändern sich also, während die Lage entlang der -Achse gleich bleibt.
Betrachte einen Punkt auf dem Graphen von . Der zugehörige Punkt auf dem Graphen von ist . Die -Koordinate bleibt , weil eine vertikale Skalierung keinen Punkt seitlich verschiebt.
| Teil der Funktion | Vor der Skalierung | Nach der Skalierung mit |
|---|---|---|
| Punkt | Auf dem Graphen von | Wandert zu |
| Definitionsbereich | Das ursprüngliche Intervall | Dasselbe Intervall wie vorher |
| Wertebereich | Das ursprüngliche Intervall | Wird zu |
| -Achsenabschnitt | Bei | Bleibt bei |
| -Achsenabschnitt | Bei | Wandert zu |
Der Wertebereich wächst oder schrumpft zusammen mit dem Graphen, weil er die Ausgabewerte enthält. Der Definitionsbereich bleibt gleich, weil sich die erlaubten Eingaben nicht ändern. Eine horizontale Skalierung teilt die waagerechten Koordinaten und lässt die Höhen unverändert.
Bei einem negativen Faktor kehrt sich die Reihenfolge der Grenzen im Wertebereich um. Aus wird . So ergibt der Bereich mit den neuen Bereich .
Bei der Exponentialfunktion verdoppelt der vertikale Faktor alle Funktionswerte.
Für Exponentialfunktionen:
Ein negatives Vorzeichen vor der Funktion spiegelt den Graphen zusätzlich an der -Achse.
Für einen negativen Skalierungsfaktor gilt:
Die drei Aufgaben nutzen die Höhenregel, die du gerade gelernt hast. Jede Aufgabe multipliziert die Ausgabe mit einem angegebenen Faktor, also achte darauf, ob dieser Faktor größer als eins, zwischen null und eins oder negativ ist. Rechne zuerst ohne die Lösungen und vergleiche danach deine Schritte mit den ausführlichen Rechenwegen.
Skaliere die Funktion vertikal mit dem Faktor und bestimme die neue Funktionsgleichung.
Der Graph der Funktion wird vertikal mit dem Faktor skaliert. Bestimme die Gleichung der skalierten Funktion und danach den Wertebereich dieser Funktion.
Skaliere die Funktion vertikal mit dem Faktor und bestimme den neuen Scheitelpunkt.
Jede Lösung beginnt damit, den gesamten Ausdruck der Ausgabe mit dem Faktor zu multiplizieren, denn dort steckt die Höhenregel. Danach wird die Gleichung vereinfacht und der neue Graph geprüft, damit klar bleibt, ob er höher oder niedriger wurde.
Aufgabe 1. Vertikale Skalierung mit Faktor :
Aufgabe 2. Multipliziere jeden Funktionswert mit einem Halb. Der positive Faktor erhält das Vorzeichen der Funktionswerte und den kleinsten Wert null.
Im Graphen:
Aufgabe 3. Die ursprüngliche Funktion hat ihren Scheitelpunkt bei . Nach vertikaler Skalierung mit dem Faktor : wird der Scheitelpunkt zu .
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