Vertikale Streckung und Stauchung

Jeden Funktionswert mit demselben Faktor multiplizieren

Eine vertikale Skalierung multipliziert jeden Funktionswert mit demselben Faktor. Die waagerechten Koordinaten bleiben unverändert. Der Abstand zur $x$-Achse wird mit dem Betrag dieses Faktors multipliziert.

Aus einer Funktion $f(x)$ entsteht die neue Funktion $g(x) = k \cdot f(x)$. Dabei ist $k \ne 0$ der Faktor, der jeden Funktionswert multipliziert.

Wie der Faktor die Höhe ändert

Für jede Funktion $f(x)$ und jeden von null verschiedenen Faktor $k$ gilt:

Der Faktor $k$ bestimmt, was mit der Höhe geschieht:

• Bei $k > 1$ wird der Graph vertikal gestreckt
• Bei $0 < k < 1$ wird der Graph vertikal gestaucht
• Bei $k = 1$ bleibt der Graph unverändert
• Bei $k < 0$ kommt zur Streckung oder Stauchung eine Spiegelung hinzu

Der Wert $k = 0$ ist ausgeschlossen, weil dann alle Funktionswerte zu $0$ zusammenfallen. Die entstehenden Punkte liegen nur für Eingaben des ursprünglichen Definitionsbereichs auf der waagerechten Achse.

Der Betrag des Faktors verändert den Abstand zur waagerechten Achse. Ein positiver Faktor über eins vergrößert diesen Abstand. Ein Faktor zwischen null und eins verkleinert ihn.

Vergleich am Graphen

Die quadratische Funktion $f(x) = x^2$ zeigt besonders deutlich, wie verschiedene Faktoren den Abstand zur $x$-Achse verändern.

Der Graph zeigt:

• Wir vergleichen mit der ursprünglichen Funktion $f(x) = x^2$
• Die Funktion $g(x) = 2x^2$ wird durch den Faktor $2$ vertikal gestreckt
• Die Funktion $h(x) = 0{,}5x^2$ wird durch den Faktor $0{,}5$ vertikal gestaucht
• Alle Graphen haben den gleichen Scheitelpunkt bei $(0, 0)$

Skalierung einer linearen Funktion

Dieselbe Skalierungsregel gilt für die lineare Funktion $f(x) = x + 1$.

Der Vergleich zeigt:

• Die ursprüngliche Funktion $f(x) = x + 1$ hat die Steigung $1$
• Funktion $g(x) = 3(x + 1)$ hat Steigung $3$ (gestreckt)
• Funktion $h(x) = 0{,}5(x + 1)$ hat Steigung $0{,}5$ (gestaucht)
• Alle Geraden schneiden immer noch die $y$-Achse, allerdings an unterschiedlichen Punkten

Welche Werte die vertikale Skalierung verschiebt

Wenn du weißt, ob der Graph höher oder niedriger wird, bleibt noch die Frage, welche Werte mitwandern. Die vertikale Skalierung multipliziert jeden Funktionswert mit dem Faktor $k$. Die Höhen ändern sich also, während die Lage entlang der $x$-Achse gleich bleibt.

Betrachte einen Punkt $(a, b)$ auf dem Graphen von $f(x)$. Der zugehörige Punkt auf dem Graphen von $k \cdot f(x)$ ist $(a, k \cdot b)$. Die $x$-Koordinate bleibt $a$, weil eine vertikale Skalierung keinen Punkt seitlich verschiebt.

Der Wertebereich wächst oder schrumpft zusammen mit dem Graphen, weil er die Ausgabewerte enthält. Der Definitionsbereich bleibt gleich, weil sich die erlaubten Eingaben nicht ändern. Eine horizontale Skalierung teilt die waagerechten Koordinaten und lässt die Höhen unverändert.

Bei einem negativen Faktor kehrt sich die Reihenfolge der Grenzen im Wertebereich um. Aus $[c,d]$ wird $[kd,kc]$. So ergibt der Bereich $[1,4]$ mit $k=-2$ den neuen Bereich $[-8,-2]$.

Die Werte einer Exponentialfunktion skalieren

Bei der Exponentialfunktion $f(x) = 2^x$ verdoppelt der vertikale Faktor alle Funktionswerte.

Für Exponentialfunktionen:

• Die horizontale Asymptote bleibt für beide Funktionen bei $y = 0$
• Der $y$-Achsenabschnitt ändert sich von $(0, 1)$ auf $(0, 2)$
• Jeder Funktionswert verdoppelt sich, während Basis und relative Wachstumsrate gleich bleiben

Negativer Skalierungsfaktor

Ein negatives Vorzeichen vor der Funktion spiegelt den Graphen zusätzlich an der $x$-Achse.

Für einen negativen Skalierungsfaktor gilt:

• Der Graph erfährt eine Spiegelung an der $x$-Achse
• Gleichzeitig wird der Graph entsprechend dem Betrag des Skalierungsfaktors gestreckt oder gestaucht
• Eine Parabel, die sich nach oben öffnet, wird zu einer, die sich nach unten öffnet

Übungen

Die drei Aufgaben nutzen die Höhenregel, die du gerade gelernt hast. Jede Aufgabe multipliziert die Ausgabe mit einem angegebenen Faktor, also achte darauf, ob dieser Faktor größer als eins, zwischen null und eins oder negativ ist. Rechne zuerst ohne die Lösungen und vergleiche danach deine Schritte mit den ausführlichen Rechenwegen.

1. Skaliere die Funktion $f(x) = x^2 - 4x + 3$ vertikal mit dem Faktor $3$ und bestimme die neue Funktionsgleichung.

2. Der Graph der Funktion $g(x) = \sqrt{x}$ wird vertikal mit dem Faktor $\frac{1}{2}$ skaliert. Bestimme die Gleichung der skalierten Funktion und danach den Wertebereich dieser Funktion.

3. Skaliere die Funktion $h(x) = |x - 1| + 2$ vertikal mit dem Faktor $-1$ und bestimme den neuen Scheitelpunkt.

Jede Lösung beginnt damit, den gesamten Ausdruck der Ausgabe mit dem Faktor zu multiplizieren, denn dort steckt die Höhenregel. Danach wird die Gleichung vereinfacht und der neue Graph geprüft, damit klar bleibt, ob er höher oder niedriger wurde.

Lösungen

Aufgabe 1. Vertikale Skalierung mit Faktor $3$:

Aufgabe 2. Multipliziere jeden Funktionswert mit einem Halb. Der positive Faktor erhält das Vorzeichen der Funktionswerte und den kleinsten Wert null.

• Vertikale Skalierung: $G(x) = \frac{1}{2}g(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x}$
• Wertebereich nach der Skalierung: $[0, \infty)$ bleibt $[0, \infty)$. Für jede Eingabe wird der positive Funktionswert halbiert

Im Graphen:

Aufgabe 3. Die ursprüngliche Funktion $h(x) = |x - 1| + 2$ hat ihren Scheitelpunkt bei $(1, 2)$. Nach vertikaler Skalierung mit dem Faktor $-1$: $H(x) = -1 \cdot (|x - 1| + 2) = -|x - 1| - 2$ wird der Scheitelpunkt zu $(1, -2)$.