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Aus der Funktion entsteht die verschobene Funktion . Die Zahl gibt Richtung und Länge der Verschiebung an.
Sieh dir an, wo in der folgenden Gleichung steht. Die Zahl steht außerhalb der Funktion und wird zum fertigen Ausgabewert addiert.
Weil zur Ausgabe addiert wird, wirkt sein Vorzeichen genau so, wie du es liest. Ein positives hebt den Graphen an, ein negatives senkt ihn.
| Wert von | Verschiebung des Graphen | Beispiel am Scheitelpunkt |
|---|---|---|
| Um nach oben | wird zu | |
| Um nach unten | wird zu | |
| Der Graph verschiebt sich nicht | bleibt an seinem Platz |
Alle drei Zeilen nutzen den Scheitelpunkt als Bezugspunkt, damit sich die Richtung leicht vergleichen lässt. Bei einer Funktion mit einem anderen Bezugspunkt wandert jeder Punkt um dieselbe Strecke in dieselbe Richtung.
Die lineare Funktion zeigt, dass sich die Steigung bei einer vertikalen Verschiebung nicht ändert.
Die Visualisierung zeigt:
Dieselbe Verschiebungsregel gilt für die quadratische Funktion .
An den Scheitelpunkten ist die Verschiebung direkt ablesbar:
Wenn du die Richtung kennst, bleibt noch die Frage, welche Teile der Funktion mitwandern. Eine vertikale Verschiebung greift an der Ausgabe an. Die Höhe des Graphen verschiebt sich also, während die erlaubten Werte von gleich bleiben.
Betrachte einen Punkt auf dem Graphen von . Nach einer Verschiebung um liegt dieser Punkt als auf dem Graphen von . Die -Koordinate bleibt gleich, nur der -Wert wandert.
| Teil der Funktion | Vor der Verschiebung | Nach der Verschiebung um |
|---|---|---|
| Form des Graphen | Die ursprüngliche Form | Dieselbe Form, nur vertikal verschoben |
| Punkt | Auf dem Graphen von | Wandert zu |
| Definitionsbereich | Das ursprüngliche Intervall | Dasselbe Intervall wie vorher |
| Wertebereich | Das ursprüngliche Intervall | Wird zu |
Der Wertebereich wandert mit, weil er die Höhe der Ausgabewerte beschreibt. Der Definitionsbereich bleibt gleich, weil sich die erlaubten Werte von nicht ändern. Bei einer horizontalen Verschiebung tauschen die beiden Bereiche ihre Rollen.
Die Exponentialfunktion wird vertikal verschoben.
Die horizontale Asymptote bei von wandert zur Geraden der Funktion . Anders als bei einer horizontalen Verschiebung ändert sich hier die Höhe, der sich die Kurve nähert, denn die Asymptote bleibt nicht an der -Achse fest.
Der -Achsenabschnitt wandert von nach . Seine -Koordinate bleibt bei null, weil sich der Graph nur vertikal bewegt.
Die drei Aufgaben nutzen die Vorzeichenregel, die du gerade gelernt hast. Jede Aufgabe addiert die Konstante zur Ausgabe, also achte auf den Wert von . Rechne zuerst ohne die Lösungen und vergleiche danach deine Schritte mit den ausführlichen Rechenwegen.
Gegeben ist die Funktion . Bestimme die Gleichung nach einer vertikalen Verschiebung um nach oben.
Der Graph der Funktion wird um vertikal nach unten verschoben. Bestimme die Gleichung der verschobenen Funktion und danach den -Achsenabschnitt nach der Verschiebung.
Die Funktion wird so verschoben, dass der Punkt auf abgebildet wird. Bestimme die Verschiebungskonstante und die Gleichung der verschobenen Funktion.
Aufgabe 1. Die Addition zur Ausgabe ergibt:
Vertikale Verschiebung nach oben um :
Aufgabe 2. Ziehe von jedem Funktionswert sieben ab, um den Graphen nach unten zu verschieben. Für den senkrechten Achsenabschnitt setzt du die Eingabe gleich null.
Visualisierung:
Aufgabe 3. Punkt auf wird zu , was eine vertikale Verschiebung um nach oben bedeutet. Die verschobene Funktion lautet .
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