Spiegelung an der vertikalen Achse

Nur die waagerechte Koordinate wechselt ihr Vorzeichen

Stell dir die senkrechte Achse als Spiegel vor. Urbild und Bildpunkt haben denselben Abstand zur Achse. Punkte außerhalb der Achse wechseln die Seite. Punkte auf der Achse bleiben dagegen an ihrem Ort.

Regel für die Spiegelung an der vertikalen Achse

Wenn ein Punkt $P(x, y)$ an der $y$-Achse gespiegelt wird, folgen die Koordinaten seines Bildes, $P'(x', y')$, der Regel:

Somit ist das Bild des Punktes $P(x, y)$ $P'(-x, y)$.

Die $y$-Koordinate bleibt unverändert, während die $x$-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt.

Einen Punkt spiegeln

Angenommen, wir haben den Punkt $A(3, 4)$. Wenn der Punkt $A$ an der $y$-Achse gespiegelt wird, kann sein Bild $A'$ wie folgt bestimmt werden:

Die ursprüngliche $x$-Koordinate ist $3$, also $x' = -3$.

Die ursprüngliche $y$-Koordinate ist $4$, also $y' = 4$.

Somit ist das Bild des Punktes $A$ $A'(-3, 4)$.

Beide Punkte liegen drei Einheiten von der Achse entfernt auf derselben Höhe. Die waagerechte Verbindung zeigt die gleichen Abstände auf beiden Seiten:

Ein Dreieck spiegeln

Spiegeln wir nun ein Dreieck $PQR$ mit den Eckpunkten $P(1, 2)$, $Q(4, 4)$ und $R(2, 0)$ an der $y$-Achse.

Um ein Dreieck zu spiegeln, müssen wir jeden seiner Eckpunkte spiegeln.

1. Punkt $P(1, 2)$: Sein Bild ist $P'(-1, 2)$.
2. Punkt $Q(4, 4)$: Sein Bild ist $Q'(-4, 4)$.
3. Punkt $R(2, 0)$: Sein Bild ist $R'(-2, 0)$.

Durch die Verbindung der Bildpunkte $P'Q'R'$ erhalten wir das gespiegelte Dreieck.

Eine Geradengleichung spiegeln

Gegeben ist die Gerade $y = x + 2$. Für ihre Spiegelung an der $y$-Achse ersetzen wir in der ursprünglichen Gleichung $x$ durch $-x$, denn $x' = -x$. Die Variable $y$ ersetzen wir durch $y$, denn $y' = y$.

Ursprüngliche Gleichung:

Wir setzen $x \rightarrow -x$ ein:

Die Gleichung des Bildes lautet:

Die beiden Geraden sehen so aus:

Übungen

Die Aufgaben spiegeln einen Punkt, ein Dreieck und eine Gerade an der $y$-Achse. Eine Gerade zu spiegeln heißt, $x$ in der Gleichung durch sein Negatives zu ersetzen.

1. Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes von $K(-5, 8)$ bei der Spiegelung an der $y$-Achse.
2. Ein Dreieck $ABC$ hat die Eckpunkte $A(2, 1)$, $B(5, 3)$ und $C(3, 6)$. Bestimme die Koordinaten des Bilddreiecks $A'B'C'$ nach der Spiegelung an der $y$-Achse.
3. Bestimme die Gleichung der Bildgeraden von $3x - 2y + 6 = 0$ bei der Spiegelung an der $y$-Achse.
4. Eine Gerade hat die Gleichung $y = -3x - 4$. Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden nach der Spiegelung an der $y$-Achse.

Lösungen

Bei einem Punkt kehrst du das Vorzeichen der waagerechten Koordinate um und behältst die senkrechte bei. Bei einer Geraden ersetzt du die waagerechte Koordinate in der Ausgangsgleichung durch ihr Negatives und vereinfachst die Vorzeichenprodukte.

Lösung 1

Das Bild des Punktes $K(-5, 8)$ ist $K'(5, 8)$.

Erklärung: $x' = -(-5) = 5$, $y' = 8$.

Lösung 2

Die Koordinaten des Bilddreiecks $A'B'C'$ sind:

Lösung 3

Die Gleichung der Bildgeraden zu $3x - 2y + 6 = 0$ ist $-3x - 2y + 6 = 0$.

Erklärung: Wir ersetzen $x$ durch $-x$ in der ursprünglichen Gleichung:

Lösung 4

Die Gleichung der Bildgeraden zu $y = -3x - 4$ ist $y = 3x - 4$.

Erklärung: Wir ersetzen $x$ durch $-x$: