Spiegelung an einer horizontalen Geraden

Punkt und Spiegelbild behalten die waagerechte Position

Ein Punkt auf der Spiegelgeraden bleibt fest. Liegt der Punkt außerhalb, befinden sich Urbild und Bild auf verschiedenen Seiten mit $demselben senkrechten Abstand$ zur Geraden.

Regel für die Spiegelung an einer horizontalen Geraden

Der $Mittelpunkt$ der Verbindung zwischen Urbild und Bild liegt auf der Spiegelgeraden. Die Koordinate entlang der Geraden bleibt gleich. Aus der Mittelpunktkoordinate folgt:

\frac{y+y'}{2}=h\quad\Longrightarrow\quad y+y'=2h\quad\Longrightarrow\quad y'=2h-y,\qquad x'=x

Einen Punkt an einer horizontalen Geraden spiegeln

Bestimme das Bild des Punktes $P(3,2)$ bei der Spiegelung an der Geraden $y=3$ .

In diesem Fall $x=3$ , $y=2$ und $h=3$ .

Mit der Regel $P'(x, 2h - y)$ :

x' = 3

Somit ist das Bild des Punktes $P(3,2)$ $P'(3,4)$ .

Die Visualisierung zeigt $die gleichen vertikalen Abstände$ .

Spiegelbild des Punktes

P(3,2)

an der Geraden

y=3

Spiegelung des Punktes

P(3,2)

an der Geraden

y=3

mit dem Bildpunkt

P'(3,4)

Übungen

Setze die $Koordinate der Spiegelgeraden$ in die Formel ein. Bei der letzten Aufgabe kennst du den Bildpunkt und berechnest rückwärts die Koordinaten des Ausgangspunktes.

Bestimme das Bild des Punktes $P(5,-4)$ bei der Spiegelung an der Geraden $y=-2$ .
Der Punkt $Q(-1, -3)$ wird an der Geraden $y=0$ , also an der $x$ -Achse, gespiegelt. Bestimme die Koordinaten seines Bildpunktes.
Das Bild eines Punktes $R(x,y)$ nach der Spiegelung an der Geraden $y=4$ ist $R'(-2,5)$ . Bestimme die Koordinaten von $R$ .

Lösungen

Prüfe das Ergebnis mit der $Mittelpunktkoordinate$ . Der Mittelwert der veränderten Koordinaten muss der Koordinate der Spiegelgeraden entsprechen. Die andere Koordinate bleibt gleich.

$Lösung 1$

Gegeben seien $P(5,-4)$ und die Spiegelgerade $y=-2$ . Also $x=5, y=-4, h=-2$ .

x' = x = 5

Somit ist das Bild des Punktes $P$ $P'(5,0)$ .

$Lösung 2$

Gegeben seien $Q(-1, -3)$ und die Spiegelgerade $y=0$ . Also $x=-1, y=-3, h=0$ .

x' = x = -1

Somit ist das Bild des Punktes $Q$ $Q'(-1,3)$ .

$Lösung 3$

Gegeben sei das Bild $R'(-2,5)$ und die Spiegelgerade $y=4$ . Also $x'=-2, y'=5, h=4$ .

Wir kennen $x' = x$ und $y' = 2h - y$ .

Aus $x' = x$ folgt $x = -2$ .

Aus $y' = 2h - y$ folgt $5 = 2(4) - y$ .

5 = 8 - y

Somit sind die Koordinaten des Punktes $R$ $R(-2,3)$ .

Punkt und Spiegelbild behalten die waagerechte Position

Ein Punkt auf der Spiegelgeraden bleibt fest. Liegt der Punkt außerhalb, befinden sich Urbild und Bild auf verschiedenen Seiten mit $demselben senkrechten Abstand$ zur Geraden.

Regel für die Spiegelung an einer horizontalen Geraden

Der $Mittelpunkt$ der Verbindung zwischen Urbild und Bild liegt auf der Spiegelgeraden. Die Koordinate entlang der Geraden bleibt gleich. Aus der Mittelpunktkoordinate folgt:

\frac{y+y'}{2}=h\quad\Longrightarrow\quad y+y'=2h\quad\Longrightarrow\quad y'=2h-y,\qquad x'=x

Einen Punkt an einer horizontalen Geraden spiegeln

Bestimme das Bild des Punktes $P(3,2)$ bei der Spiegelung an der Geraden $y=3$ .

In diesem Fall $x=3$ , $y=2$ und $h=3$ .

Mit der Regel $P'(x, 2h - y)$ :

x' = 3

Somit ist das Bild des Punktes $P(3,2)$ $P'(3,4)$ .

Die Visualisierung zeigt $die gleichen vertikalen Abstände$ .

Spiegelbild des Punktes

P(3,2)

an der Geraden

y=3

Spiegelung des Punktes

P(3,2)

an der Geraden

y=3

mit dem Bildpunkt

P'(3,4)

Übungen

Setze die $Koordinate der Spiegelgeraden$ in die Formel ein. Bei der letzten Aufgabe kennst du den Bildpunkt und berechnest rückwärts die Koordinaten des Ausgangspunktes.

Bestimme das Bild des Punktes $P(5,-4)$ bei der Spiegelung an der Geraden $y=-2$ .
Der Punkt $Q(-1, -3)$ wird an der Geraden $y=0$ , also an der $x$ -Achse, gespiegelt. Bestimme die Koordinaten seines Bildpunktes.
Das Bild eines Punktes $R(x,y)$ nach der Spiegelung an der Geraden $y=4$ ist $R'(-2,5)$ . Bestimme die Koordinaten von $R$ .

Lösungen

Prüfe das Ergebnis mit der $Mittelpunktkoordinate$ . Der Mittelwert der veränderten Koordinaten muss der Koordinate der Spiegelgeraden entsprechen. Die andere Koordinate bleibt gleich.

$Lösung 1$

Gegeben seien $P(5,-4)$ und die Spiegelgerade $y=-2$ . Also $x=5, y=-4, h=-2$ .

x' = x = 5

Somit ist das Bild des Punktes $P$ $P'(5,0)$ .

$Lösung 2$

Gegeben seien $Q(-1, -3)$ und die Spiegelgerade $y=0$ . Also $x=-1, y=-3, h=0$ .

x' = x = -1

Somit ist das Bild des Punktes $Q$ $Q'(-1,3)$ .

$Lösung 3$

Gegeben sei das Bild $R'(-2,5)$ und die Spiegelgerade $y=4$ . Also $x'=-2, y'=5, h=4$ .

Wir kennen $x' = x$ und $y' = 2h - y$ .

Aus $x' = x$ folgt $x = -2$ .

Aus $y' = 2h - y$ folgt $5 = 2(4) - y$ .

5 = 8 - y

Somit sind die Koordinaten des Punktes $R$ $R(-2,3)$ .