Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden

Die beiden Koordinaten tauschen ihre Plätze

Die Gerade $y=x$ ist die Spiegelgerade. Urbild und Bildpunkt haben denselben Abstand zu ihr. Bei einem Punkt außerhalb der Geraden steht die Verbindungsstrecke senkrecht auf dem Spiegel. Punkte auf der Spiegelgeraden bleiben fest.

Regel für die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden

Wenn ein Punkt $P(x, y)$ an der Geraden $y = x$ gespiegelt wird, folgen die Koordinaten seines Bildes, $P'(x', y')$, einer einfachen Regel:

Das Bild des Punktes $P(x, y)$ ist also $P'(y, x)$. Die Koordinaten $x$ und $y$ tauschen ihre Plätze.

Einen Punkt spiegeln

Angenommen, wir haben den Punkt $A(1, 4)$. Wenn der Punkt $A$ an der Geraden $y = x$ gespiegelt wird, kann sein Bild $A'$ durch Vertauschen seiner Koordinaten bestimmt werden:

Die ursprüngliche $x$-Koordinate ist $1$ und wird zur neuen $y$-Koordinate.

Die ursprüngliche $y$-Koordinate ist $4$ und wird zur neuen $x$-Koordinate.

Somit ist das Bild des Punktes $A$ $A'(4, 1)$.

Bei den folgenden Punktpaaren tauschen die Koordinaten ihre Plätze:

Prüfe den Mittelpunkt des Punktepaares: Er muss auf der Spiegelgeraden liegen. Die Verbindungsstrecke steht außerdem senkrecht auf dieser Geraden. Dadurch haben beide Punkte denselben Abstand zum Spiegel.

Ein Dreieck spiegeln

Bestimme das Bild des Dreiecks $ABC$ mit den Eckpunkten $A(-2,4)$, $B(3,1)$ und $C(-3,-1)$ bei der Spiegelung an der Geraden $y=x$.

Um das Dreieck zu spiegeln, spiegeln wir jeden seiner Eckpunkte an der Geraden $y=x$:

1. Punkt $A(-2, 4)$: Sein Bild ist $A'(4, -2)$.
2. Punkt $B(3, 1)$: Sein Bild ist $B'(1, 3)$.
3. Punkt $C(-3, -1)$: Sein Bild ist $C'(-1, -3)$.

Das Bilddreieck $A'B'C'$ entsteht durch die Verbindung der Punkte $A'(4, -2)$, $B'(1, 3)$ und $C'(-1, -3)$.

Eine Geradengleichung spiegeln

Die Gerade $y = 2x + 3$ wird an der Geraden $y=x$ gespiegelt. Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden.

Um die Gleichung des Bildes zu finden, verwenden wir die Regel $x' = y$ und $y' = x$. Das bedeutet, dass wir jedes $x$ in der ursprünglichen Gleichung durch $y$ (oder $y'$) und jedes $y$ durch $x$ (oder $x'$) ersetzen.

Ursprüngliche Gleichung:

Wir setzen $x \rightarrow y$ und $y \rightarrow x$ ein. Für die neuen Variablen verwenden wir anschließend wieder die üblichen Bezeichnungen $x$ und $y$:

Dies ist die Gleichung der Bildgeraden. Normalerweise schreiben wir diese Gleichung in der Form $y$ als Funktion von $x$ um:

Die Bildgerade von $y = 2x + 3$ hat nach der Spiegelung an $y=x$ also die Gleichung $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$.

Übungen

Wende dieselbe Koordinatenregel auf den einzelnen Punkt und auf jeden Eckpunkt des Dreiecks an. Bei der letzten Aufgabe überträgst du die Regel auf die Geradengleichung, um alle Bildpunkte zu erfassen.

1. Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes von $M(-4, 7)$ bei der Spiegelung an der Geraden $y = x$.
2. Bestimme das Bild des Dreiecks $ABC$ mit den Eckpunkten $A(1, -2)$, $B(2, 3)$ und $C(-2, 0)$ bei der Spiegelung an der Geraden $y = x$.
3. Die Gerade $y = -3x + 5$ wird an der Geraden $y = x$ gespiegelt. Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden.

Lösungen

Prüfe beim Vertauschen der Koordinaten ihre Reihenfolge. Die Vorzeichen müssen zur gewählten Spiegelungsregel passen. Vereinfache bei der Geraden die Gleichung erst nach allen Ersetzungen.

Lösung 1

Das Bild des Punktes $M(-4, 7)$ ist $M'(7, -4)$.

Erklärung: Die Koordinaten $x$ und $y$ sind vertauscht: $x' = 7$, $y' = -4$.

Lösung 2

Die Koordinaten des Bilddreiecks $A'B'C'$ sind:

• $A'(-2, 1)$ (von $A(1, -2)$)
• $B'(3, 2)$ (von $B(2, 3)$)
• $C'(0, -2)$ (von $C(-2, 0)$)

Lösung 3

Aus der Gleichung $y = -3x + 5$ wird durch den Koordinatentausch die Bildgleichung $x = -3y + 5$.

Erklärung: Wir setzen $x \rightarrow y$ und $y \rightarrow x$ in die ursprüngliche Gleichung ein:

In der Form $y = mx+c$ ergibt sich: