Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden verstehen
Bei der Spiegelung an der Geraden wirkt als Spiegel. Weil sie die erste Winkelhalbierende ist, vertauschen sich die Rollen der beiden Koordinatenachsen.
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Bei der Spiegelung an der Geraden wirkt als Spiegel. Weil sie die erste Winkelhalbierende ist, vertauschen sich die Rollen der beiden Koordinatenachsen.
Urbild und Bildpunkt haben denselben Abstand zur Spiegelgeraden. Außerdem steht ihre Verbindungsstrecke senkrecht auf der Geraden .
Wenn ein Punkt an der Geraden gespiegelt wird, folgen die Koordinaten seines Bildes, , einer einfachen Regel:
Das Bild des Punktes ist also . Die Koordinaten und tauschen ihre Plätze.
Angenommen, wir haben den Punkt . Wenn der Punkt an der Geraden gespiegelt wird, kann sein Bild durch Vertauschen seiner Koordinaten bestimmt werden:
Die ursprüngliche -Koordinate ist und wird zur neuen -Koordinate.
Die ursprüngliche -Koordinate ist und wird zur neuen -Koordinate.
Somit ist das Bild des Punktes .
Die folgenden Punktpaare machen den Koordinatentausch sichtbar:
Bestimme das Bild des Dreiecks mit den Eckpunkten , und bei der Spiegelung an der Geraden .
Um das Dreieck zu spiegeln, spiegeln wir jeden seiner Eckpunkte an der Geraden :
Das Bilddreieck entsteht durch die Verbindung der Punkte , und .
Die Gerade wird an der Geraden gespiegelt. Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden.
Um die Gleichung des Bildes zu finden, verwenden wir die Regel und . Das bedeutet, dass wir jedes in der ursprünglichen Gleichung durch (oder ) und jedes durch (oder ) ersetzen.
Ursprüngliche Gleichung:
Wir setzen und ein. Für die neuen Variablen verwenden wir anschließend wieder die üblichen Bezeichnungen und :
Dies ist die Gleichung der Bildgeraden. Normalerweise schreiben wir diese Gleichung in der Form als Funktion von um:
Die Bildgerade von hat nach der Spiegelung an also die Gleichung .
Das Bild des Punktes ist .
Erklärung: Die Koordinaten und sind vertauscht: , .
Die Koordinaten des Bilddreiecks sind:
Aus der Gleichung wird durch den Koordinatentausch die Bildgleichung .
Erklärung: Wir setzen und in die ursprüngliche Gleichung ein:
In der Form ergibt sich: