Spiegelungsmatrix für einen beliebigen Punkt

Diese Transformation lässt sich nicht allein durch eine $2 \times 2$-Matrix beschreiben. Weil das Spiegelzentrum $(a,b)$ nicht im Ursprung liegt, brauchen wir zusätzlich eine Verschiebung.

Wir können diese Transformation jedoch als eine Kombination von Matrixoperationen darstellen:

1. Verschiebe den Punkt $(x,y)$ so, dass das Spiegelzentrum $(a,b)$ im Ursprung liegt. Dadurch entsteht $(x-a, y-b)$.
2. Spiegle den verschobenen Punkt mit der Matrix $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ am Ursprung.
3. Verschiebe das Ergebnis zurück, indem du die Koordinaten des Spiegelzentrums $(a,b)$ addierst.

Mathematisch gilt, wenn $(x', y')$ das Bild von $(x,y)$ ist:

Damit erhalten wir wieder die bekannte Koordinatenregel.

Spiegelung an einem Punkt mit Matrizen

Die mit der Spiegelung am Punkt $P(a,b)$ für jeden Punkt $(x,y)$ verbundene Matrixoperation lautet:

Dieselbe Abbildung lässt sich auch in den drei beschriebenen Schritten schreiben:

Beim Ausmultiplizieren entsteht $\begin{pmatrix} -x+2a \\ -y+2b \end{pmatrix}$. Das ist genau die Koordinatenregel $(x,y) \mapsto (2a-x,2b-y)$. In Vektorform lautet dieselbe Beziehung $Q'=2P-Q$: Das Zentrum ist der Mittelpunkt zwischen dem Ausgangspunkt und seinem Bildpunkt.

Das Bild eines Punktes finden

Bestimme das Bild des Punktes $(2,3)$ bei der Spiegelung am Punkt $(1,1)$.

Lösung:

Ausgangspunkt ist $(x,y) = (2,3)$, das Spiegelzentrum ist $(a,b) = (1,1)$.

Visualisierung:

Übungen

1. Bestimme das Bild des Punktes $(3,1)$ bei der Spiegelung am Punkt $(-2,-1)$.
2. Eine Gerade verläuft durch die Punkte $A(1,2)$ und $B(3,4)$. Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden nach der Spiegelung am Punkt $C(0,1)$.

Lösungen

1. Ausgangspunkt ist $(x,y) = (3,1)$, das Spiegelzentrum ist $(a,b) = (-2,-1)$.

   Mit der Formel $x' = 2a-x$ und $y' = 2b-y$:

   $$x' = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7$$

   Das Bild ist $(-7,-3)$. Mit der Matrixrechnung erhalten wir dasselbe Ergebnis:

   $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -3 \end{pmatrix}$$

2. Spiegelzentrum $C(0,1)$. ($a=0, b=1$)

   Bild von Punkt $A(1,2)$:

Also $A'(-1,0)$.

Bild von Punkt $B(3,4)$:

Also $B'(-3,-2)$.

Die Bildgerade verläuft durch $A'(-1,0)$ und $B'(-3,-2)$.

Steigung $m' = \frac{-2 - 0}{-3 - (-1)} = \frac{-2}{-2} = 1$.

Gleichung der Geraden:

oder