Spiegelungsmatrix für einen beliebigen Punkt

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(a,b)

(-x+2a, -y+2b)

(2a-x, 2b-y)

Liegt das Spiegelzentrum $(a,b)$ nicht im Ursprung, brauchen wir zusätzlich zur Multiplikation mit einer $2 \times 2$ -Matrix eine Verschiebung.

$Zum Zentrum verschieben, Vorzeichen umkehren und zurückverschieben$ . Die Tabelle verfolgt die Koordinaten durch alle drei Schritte:

Operation	Koordinaten
Zentrum subtrahieren	$(x-a,y-b)$
Am Ursprung spiegeln	$(-x+a,-y+b)$
Zentrum addieren	$(-x+2a,-y+2b)$

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}

Der letzte Vektor ergibt $die Koordinatenregel$ $(x,y)\mapsto(2a-x,2b-y)$ .

Spiegelung an einem Punkt mit Matrizen

Eine $2 \times 2$ -Matrix allein bildet $(0,0)$ immer auf $(0,0)$ ab. Bei einem Zentrum außerhalb des Ursprungs wird der Ursprung dagegen auf $(2a,2b)$ abgebildet. Deshalb benötigen wir einen $zusätzlichen Verschiebungsvektor$ :

\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}

Das Bild eines Punktes finden

Bestimme das Bild des Punktes $(2,3)$ bei der Spiegelung am Punkt $(1,1)$ .

Der Ausgangspunkt ist $(x,y) = (2,3)$ und das Spiegelzentrum ist $(a,b) = (1,1)$ .

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

Das Diagramm zeigt $das Spiegelzentrum genau in der Mitte$ zwischen Ausgangspunkt und Bildpunkt.

Spiegelung von

Q(2,3)

an

P(1,1)

Der Punkt

Q(2,3)

wird an

P(1,1)

gespiegelt. Sein Bild ist

Q'(0,-1)

.

Übungen

Beide Aufgaben verwenden $ein Zentrum außerhalb des Ursprungs$ , deshalb lässt sich die Formel für den Ursprung nicht direkt anwenden. Die zweite spiegelt eine ganze Gerade, sodass die Bildgerade als Gleichung angegeben wird.

Bestimme das Bild des Punktes $(3,1)$ bei der Spiegelung am Punkt $(-2,-1)$ .
Eine Gerade verläuft durch die Punkte $A(1,2)$ und $B(3,4)$ . Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden nach der Spiegelung am Punkt $C(0,1)$ .

Lösungen

Berechne zuerst $das Doppelte des Zentrumsvektors$ und subtrahiere dann die Punktkoordinaten. Bei der Geraden bestimmen zwei Bildpunkte die Gleichung. Prüfe anschließend, ob sie eine andere Gerade als die Ausgangsgerade beschreibt.

$Lösung 1$

Ausgangspunkt ist $(x,y) = (3,1)$ , das Spiegelzentrum ist $(a,b) = (-2,-1)$ .

Mit der Formel $x' = 2a-x$ und $y' = 2b-y$ :

x' = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7

Das Bild ist $(-7,-3)$ . Mit der Matrixrechnung erhalten wir dasselbe Ergebnis:

\begin{aligned} &\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -7 \\ -3 \end{pmatrix} \end{aligned}

$Lösung 2$

Spiegelzentrum $C(0,1)$ . ( $a=0, b=1$ )

Bild von Punkt $A(1,2)$ :

x'_A = 2(0)-1 = -1

Also $A'(-1,0)$ .

Bild von Punkt $B(3,4)$ :

x'_B = 2(0)-3 = -3

Also $B'(-3,-2)$ .

Die Bildgerade verläuft durch $A'(-1,0)$ und $B'(-3,-2)$ .

Steigung $m' = \frac{-2 - 0}{-3 - (-1)} = \frac{-2}{-2} = 1$ .

Gleichung der Geraden:

y - y'_A = m'(x - x'_A)

Dieselbe Gerade hat die allgemeine Form:

x - y + 1 = 0

Das ist wieder die Ausgangsgerade $y=x+1$ . Das Zentrum $C(0,1)$ liegt auf ihr, denn $1=0+1$ . Eine halbe Drehung vertauscht die Punkte einer Geraden durch das Zentrum. $Die Gerade als Punktmenge bleibt gleich$ .

Spiegelungsmatrix für einen beliebigen Punkt

Eine Punktspiegelung mit zwei Verschiebungen berechnen

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