Anwendungen von Grenzwerten

Ein vereinfachtes Modell aus dem Gesundheitsbereich

Grenzwerte können $das langfristige Verhalten eines mathematischen Modells$ beschreiben. Im Gesundheitsbereich muss eine Formel mit verlässlichen Daten abgeglichen und geprüft werden, bevor sie eine reale Entscheidung unterstützen kann. Die folgende Formel zeigt, wie ein Grenzwert berechnet und der Gültigkeitsbereich eines Modells geprüft wird.

Den Gültigkeitsbereich prüfen

Mit dieser bewusst vereinfachten Formel lässt sich prüfen, wie weit das Modell sinnvoll bleibt:

\begin{aligned} &N(t) \\ &= 285000 - \sqrt{t^2 - t + (190{,}68)^3} \end{aligned}

Dabei wird $N(t)$ als modellierte Fallzahl gedeutet. $t$ ist eine nicht negative Eingabe, deren Einheit für das jeweilige Szenario festgelegt werden muss.

Um zu prüfen, ob die Formel langfristig sinnvoll bleibt, berechnen wir:

Bezeichne den Wurzelterm mit $R(t)$ :

R(t)=\sqrt{t^2-t+(190{,}68)^3}

Für eine genaue Grenzwertberechnung klammern wir $t^2$ unter der Wurzel aus. Wegen $t>0$ ist die Wurzel daraus $t$ :

R(t)=t\sqrt{1-\frac1t+\frac{(190{,}68)^3}{t^2}}

Der letzte Wurzelfaktor geht gegen $1$ , während $t\to\infty$ gilt. Daher geht $R(t)$ gegen unendlich, und die $berechnete Fallzahl wird negativ$ , sobald die Eingabe groß genug ist:

\lim_{t\to\infty}N(t)=-\infty

Eine negative Fallzahl bedeutet, dass die Formel außerhalb des $Gültigkeitsbereichs des Modells$ verwendet wurde. Eine Fallzahl kann nicht negativ sein, daher ist die Formel nur sinnvoll, solange $N(t) \geq 0$ gilt. Diese vereinfachte Formel dient als mathematisches Rechenbeispiel. Sie ist keine epidemiologische Prognose und darf nicht als medizinische oder politische Empfehlung verwendet werden.

Eingaben mit einem nicht negativen Ergebnis

Die Bedingung $N(t)\ge0$ lässt sich berechnen. Beide Seiten, die wir im nächsten Schritt quadrieren, sind nicht negativ:

C=(190{,}68)^3

Für $t\ge0$ liegt die obere Grenze bei ungefähr $284988{,}34$ . Der Beispielwert $282367$ liegt darunter. Diese Prüfung sichert nur ein $nicht negatives Ergebnis$ , keine Übereinstimmung mit Daten.

Anwendung in den Wirtschaftswissenschaften

Eine marginale Größe misst die Änderung durch eine zusätzliche Einheit. Der $Grenzwert$ macht daraus eine momentane Rate, und genau das bedeutet der marginale Wert, sobald die zusätzliche Einheit beliebig klein wird.

Grenzkostenanalyse

In einem differenzierbaren Kostenmodell beschreiben $Grenzkosten$ , wie schnell sich die Gesamtkosten im jeweiligen Augenblick mit der Produktionsmenge ändern. Sie werden durch die Ableitung definiert:

$Mathematische Definition mit Grenzwerten$ :

\begin{aligned} &\text{Grenzkosten} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{C(x + \Delta x) - C(x)}{\Delta x} \end{aligned}

Die Größen in dieser Definition bedeuten:

$C(x)$ = Gesamtproduktionskostenfunktion für $x \text{ Einheiten}$
$\Delta x$ = kleine Änderung der Produktionsmenge
Der Grenzwert gibt die $augenblickliche Änderungsrate$ der Kosten in Bezug auf die Produktion an

Wird die Produktion in ganzen Einheiten gezählt, betragen die exakten Zusatzkosten der nächsten Einheit $C(x+1)-C(x)$ . Die Ableitung $C'(x)$ nähert diese diskrete Änderung häufig an, beide Größen sind aber nicht automatisch identisch.

Bevölkerungswachstumsmodell

Wähle positive Parameter $K>0$ , $A>0$ und $r>0$ . Ein vereinfachtes logistisches Bevölkerungsmodell hat dann die Form:

P(t) = \frac{K}{1 + Ae^{-rt}}

Da $e^{-rt} \to 0$ für $t \to \infty$ gilt, nähert sich das Modell seinem $Tragfähigkeitsparameter$ :

\lim_{t \to \infty} P(t) = \frac{K}{1+A(0)}=K

Dabei ist $K$ ein Parameter des vereinfachten Modells. Die Tragfähigkeit einer realen Umwelt kann sich ändern. Der Grenzwert behauptet also nicht, dass jede gemessene Population dauerhaft bei einem festen Wert bleibt.

Wähle $A=4$ und die dimensionslosen Koordinaten $u=rt$ sowie $q=P/K$ . Der Graph zeigt dann den $erreichten Anteil der Tragfähigkeit$ :

q(u)=\frac1{1+4e^{-u}}

Bei $u=0$ ist $q=1/5$ . Bei $u=\ln4$ gilt $q=1/(1+4/4)=1/2$ . Die Kurve nähert sich $q=1$ , ohne diesen Wert in endlicher Zeit zu erreichen.

Population als Anteil der Tragfähigkeit

Die waagerechte Achse zeigt u gleich r mal t. Die senkrechte Achse zeigt q gleich P geteilt durch K. Die orange Gerade markiert den Grenzwert eins.

Anwendung in Technologie und Wissenschaft

Beim Filter ändern wir die Frequenz, bei der Reaktion die Zeit. Bestimme zuerst die $Variable der Annäherung$ , damit die Bedeutung des Grenzwerts klar bleibt.

Frequenzgang eines analogen Filters

Für ein $normiertes analoges Tiefpassmodell erster Ordnung$ mit der Grenzkreisfrequenz $\omega_c>0$ lautet der Betrag des Frequenzgangs:

|H(i\omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega/\omega_c)^2}}

Seine Grenzwerte zeigen das idealisierte Verhalten unmittelbar:

\lim_{\omega \to 0}|H(i\omega)|=1

Dieses analoge Modell überträgt sehr niedrige Frequenzen mit einer Verstärkung nahe eins und dämpft höhere Frequenzen zunehmend. An der Grenzkreisfrequenz ergibt Einsetzen:

|H(i\omega_c)|=\frac1{\sqrt{1+1^2}}=\frac1{\sqrt2}

Chemische Reaktionsgeschwindigkeit

Für den $idealisierten Verbrauch erster Ordnung$ eines Reaktanden $A$ gilt:

[A](t)=[A]_0e^{-kt}, \qquad k>0

Daraus folgt:

\lim_{t \to \infty}[A](t)=[A]_0\lim_{t \to \infty}e^{-kt}=0

Diese Schlussfolgerung gehört zu diesem irreversiblen Modell erster Ordnung. Eine reversible Reaktion im Gleichgewicht benötigt im Allgemeinen ein anderes Modell und muss keine Reaktandenkonzentration von null haben.

Fallzahl bei einem Impfziel berechnen

Dabei steht $t$ für die Zahl der geimpften Personen. Das folgende Modell berechnet mit $N(t)$ die Zahl der verbleibenden $positiven Fälle$ :

\begin{aligned} &N(t) \\ &= 285000 - \sqrt{t^2 - t + (190{,}68)^3} \end{aligned}

Wir berechnen $N(282{.}367)$ für ein Impfziel von $282{.}367 \text{ Menschen}$ .

Daten und Annahmen

Die Rechnung verwendet folgende Annahmen:

Die Gesamtbevölkerung beträgt $576{.}260 \text{ Menschen}$ .
Kinder machen $21\%$ und Erwachsene $79\%$ der Bevölkerung aus.
In jeder Altersgruppe beträgt der Anteil $positiver Fälle$ $30\%$ .
In diesem erfundenen Szenario sind berechtigte Erwachsene älter als $18 \text{ Jahre}$ und gehören nicht zur Gruppe positiver Fälle.

Aus diesen Annahmen folgen die folgenden Zahlen:

\begin{aligned} \text{Kinder} &= 0{,}21 \times 576{.}260 \\ &= 121{.}014{,}6 \\ &\approx 121{.}015 \text{ Menschen} \end{aligned}

Mit der ungerundeten Zahl der berechtigten Erwachsenen ergibt sich für den Zielanteil:

\frac{282{.}367}{318{.}671{,}78}\times 100\% \approx 88{,}6\%

Das Ziel entspricht in dieser Rechnung ungefähr $88{,}6\%$ der berechtigten Erwachsenen. Die vereinfachte Formel zeigt nur, wie die Funktion an diesem Zielwert ausgewertet wird. Sie kann kein reales Impfziel festlegen.

Berechnung

Für die Fallzahl des Modells verwenden wir $t=282{.}367$ :

\begin{aligned} R_0 &=(282367)^2-282367 +(190{,}68)^3 \end{aligned}

$Schritt 1$ berechnet den konstanten Term.

\begin{aligned} &(190{,}68)^3 \\ &= 190{,}68 \times 190{,}68 \times 190{,}68 \\ &\approx 6{.}932{.}907{,}88 \end{aligned}

Der angezeigte Wert ist auf zwei Dezimalstellen gerundet. Die nächste Rechnung verwendet intern weiterhin den $ungerundeten Wert$ .

$Schritt 2$ berechnet das Quadrat der Impfzahl.

(282{.}367)^2 = 79{.}731{.}122{.}689

$Schritt 3$ fasst die Werte unter der Wurzel zusammen.

\begin{aligned} &79731122689-282367 \\ &\quad{}+6932907{,}88 \\ &=79737773229{,}88 \end{aligned}

$Schritt 4$ liefert das Endergebnis.

R_0\approx79737773229{,}88

Bedeutung des Ergebnisses

Wenn $282{.}367$ Personen geimpft sind, liefert die Formel ungefähr $2{.}621$ verbleibende Fälle. Dieses Ergebnis stammt nur aus der vereinfachten Formel. Für eine Prognose oder die Verteilung von Gesundheitsressourcen werden reale Daten benötigt.

Die $Anfangswerte stimmen nicht überein$ : Die Formel ergibt $N(0)\approx282367$ , die Bevölkerungsannahmen ergeben hingegen $172878$ Anfangsfälle. Das Beispiel übt daher das Auswerten und Hinterfragen eines Modells. Das Formelergebnis darf nicht als Prognose für die beschriebene Bevölkerung gelesen werden.

Grenzen von Formel und Modell

Der Wert $2{.}621 \text{ Fälle}$ beantwortet die mathematische Frage zur vorgegebenen Formel. Eine reale Entscheidung bräuchte zusätzlich unabhängig geprüfte Erkenntnisse über:

Aktuelle und erwartete $Krankenhauskapazitäten$
Verfügbares $medizinisches Personal$ und seine Auslastung
Die $Ressourcenverteilung$ unter mehreren plausiblen Szenarien
Unsicherheit und eine ehrliche $öffentliche Kommunikation$

Ein Grenzwert beschreibt das Verhalten einer Formel. Ob die Formel zu den tatsächlichen Bedingungen passt, muss mit realen Daten geprüft werden. Nenne deshalb die Annahmen, den Gültigkeitsbereich, die Einheiten und die Unsicherheit des Modells, wenn du das berechnete Ergebnis erklärst.

Übungen

Jede Aufgabe gibt eine Situation vor und verlangt den Wert, dem sich eine Größe nähert. Bestimme zuerst die Größe und berechne dann den $Grenzwert$ .

Ein Pharmaunternehmen modelliert die kumulierte Impfstoffproduktion mit $P(t) = 50000(1 - e^{-0{,}1t})$ für $t \geq 0$ . Bestimme die langfristige Produktionsgrenze, die das Modell vorhersagt.
Die kumulierte Reichweite einer Nachricht in sozialen Medien wird durch $I(t) = \frac{100000t}{t + 50}$ für $t \geq 0$ modelliert. Berechne den Grenzwert für $t \to \infty$ und erkläre die vom Modell vorhergesagte langfristige Reichweite.
Die Gesamtkosten für die Produktion von $x$ Masken werden durch $C(x) = 1000 + 5x + 0{,}01x^2$ modelliert. Bestimme die Grenzkostenfunktion mit der Grenzwertdefinition und vergleiche sie anschließend mit den exakten Zusatzkosten beim Anstieg von $x$ auf $x+1$ Einheiten.

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Die langfristige Grenze des Modells ergibt sich aus dem $Grenzwert$ für $t \to \infty$ :

\lim_{t \to \infty} P(t) = \lim_{t \to \infty} 50000(1 - e^{-0{,}1t})

Die kumulierte Produktion nähert sich im Modell $50{.}000$ Impfstoffeinheiten. Für ein endliches $t$ erreicht sie diesen Wert nicht genau, weil $e^{-0{,}1t}>0$ für jedes endliche $t$ gilt.

$Aufgabe 2$ . Teile Zähler und Nenner durch $t$ , um den $gegen null gehenden Term$ zu erkennen. Die Division ist für $t>0$ zulässig, also in der Nähe dieses Grenzübergangs.

\lim_{t \to \infty} I(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{100000t}{t + 50}

Innerhalb des Modells nähert sich die kumulierte Reichweite mit zunehmender Zeit $100{.}000 \text{ Menschen}$ . Dieser Grenzwert ist ein modelliertes Sättigungsniveau, das nur unter den Annahmen des Modells gilt.

$Aufgabe 3$ . Die Grenzkosten sind die Ableitung der Kostenfunktion und lassen sich mit der Grenzwertdefinition berechnen:

\begin{aligned} &\text{Grenzkosten} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{C(x + \Delta x) - C(x)}{\Delta x} \end{aligned}

$Detaillierte Schritte$ :

\begin{aligned} C(x + \Delta x) &= 1000 + 5(x + \Delta x) \\ &\quad{}+ 0{,}01(x + \Delta x)^2 \end{aligned}

Wir multiplizieren aus:

(x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2

Dann setzen wir den Ausdruck ein:

\begin{aligned} &C(x + \Delta x) \\ &= 1000 + 5x \\ &\quad{}+ 5\Delta x + 0{,}01x^2 \\ &\quad{}+ 0{,}02x\Delta x + 0{,}01(\Delta x)^2 \end{aligned}

Also,

\begin{aligned} &C(x + \Delta x) - C(x) \\ &= 5\Delta x \\ &\quad{}+ 0{,}02x\Delta x + 0{,}01(\Delta x)^2 \end{aligned}

Damit lautet die Grenzkostenfunktion $C'(x)=5+0{,}02x$ Geldeinheiten pro Produktionseinheit.

Die exakten Zusatzkosten der nächsten ganzen Einheit sind:

C(x+1)-C(x)

Bei diesem Modell liegt die Ableitung um $0{,}01$ Geldeinheit unter dem exakten Zuwachs um eine Einheit. Der Vergleich zeigt, weshalb Grenzkosten eine momentane Änderungsrate sind und die diskreten Kosten der nächsten Einheit nur annähern.