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Ein Grenzwert fragt, wie sich benachbarte Funktionswerte verhalten, während die Eingabe auf einen bestimmten Punkt zuläuft. Er fragt zunächst nicht nach dem Funktionswert genau an diesem Punkt. So lassen sich eine hebbare Lücke, ein Sprung oder eine senkrechte Asymptote beschreiben, ohne vorauszusetzen, dass die Funktion dort definiert ist.
Grenzwerte liefern die Sprache, mit der Stetigkeit, Ableitungen und bestimmte Integrale definiert werden. Wir lesen das Verhalten zuerst aus einer Wertetabelle ab und verbinden diese Anschauung anschließend mit einseitigen Grenzwerten und der präzisen Epsilon-Delta-Definition.
Betrachten wir, wie sich Funktionswerte verändern, wenn die Variable auf einen bestimmten Punkt zuläuft. Für f(x)=x+2 untersuchen wir, was geschieht, wenn sich x dem Wert 3 nähert.
| x | 2,9 | 2,99 | 2,999 | ... | 3,001 | 3,01 | 3,1 |
|---|
| f(x) | 4,9 | 4,99 | 4,999 |
Die Tabelle zeigt: Nähert sich x dem Wert 3 von links, also mit x<3, oder von rechts, also mit x>3, dann nähert sich f(x) dem Wert 5. Dieser Annäherungswert heißt Grenzwert.
Die Standardschreibweise lautet:
Das liest man so: „Der Grenzwert von f(x) für x gegen c ist L.“
Wenn c ein innerer Punkt ist und die Funktion in der Umgebung von c auf beiden Seiten definiert ist, existiert der zweiseitige Grenzwert genau dann, wenn:
- Der Grenzwert von links und der Grenzwert von rechts müssen existieren
- Beide einseitigen Grenzwerte müssen gleich sein
- Ihr gemeinsamer Wert ist L
Die einseitigen Grenzwerte schreibt man so:
Sind beide Werte gleich, gilt limx→cf(x)=L. Sind sie verschieden, existiert der zweiseitige Grenzwert nicht. An einem Randpunkt des Definitionsbereichs ist nur der einseitige Grenzwert aus dem Definitionsbereich heraus relevant.
Die Epsilon-Delta-Definition gibt dem Wort "annähern" eine präzise mathematische Bedeutung:
Für jede noch so kleine Ausgabetoleranz ε>0 lässt sich also eine Eingabetoleranz δ>0 wählen. Liegt x dann näher als δ bei c, ohne genau diesen Wert anzunehmen, liegt f(x) näher als ε bei L. Die Bedingung 0<∣x−c∣ erklärt, weshalb der Wert f(c) den Grenzwert nicht allein bestimmt.
Berechne limx→4(2x−1).
Da f(x)=2x−1 bei x=4 stetig ist, können wir direkt einsetzen:
Berechne limx→2x−2x2−4.
Direktes Einsetzen von x=2 ergibt die unbestimmte Form 00. Deshalb faktorisieren und vereinfachen wir zuerst:
Ein Grenzwert betrachtet benachbarte Werte mit x=2. Deshalb dürfen wir den Faktor (x−2) kürzen, bevor wir den vereinfachten Ausdruck auswerten:
Diese Rechenregeln vereinfachen viele Grenzwertaufgaben:
-
Linearität:
limx→c[af(x)+bg(x)]=alimx→cf(x)+blimx→cg(x)
-
Produktregel:
limx→c[f(x)⋅g(x)]=limx→cf(x)⋅limx→cg(x)
-
Quotientenregel:
limx→cg(x)f(x)=limx→cg(x)limx→cf(x), sofern gilt
-
Berechne limx→3(x2+2x−1)
-
Berechne limx→1x−1x2−1
-
Berechne limx→0xsinx (verwende den trigonometrischen Grenzwertsatz)
-
Für f(x)={x+1,3x−2,x<2x≥2: Berechne
-
Lösung:
Polynomfunktionen sind überall stetig. Deshalb können wir direkt einsetzen:
-
Lösung:
Direktes Einsetzen ergibt 00. Deshalb faktorisieren wir zuerst:
-
Lösung:
Dies ist ein grundlegender trigonometrischer Grenzwert. Direktes Einsetzen führt zu 00 und hilft daher nicht weiter. Der trigonometrische Grenzwertsatz liefert:
-
Lösung:
Bei stückweise definierten Funktionen prüfen wir den Grenzwert von links und von rechts getrennt:
Grenzwert von links (für x gegen 2 mit x<2):
limx→cg(x)=0 limx→2f(x) Der Grenzwert verwendet benachbarte Werte mit x=1. Deshalb können wir (x−1) kürzen, bevor wir den vereinfachten Ausdruck auswerten:
Hinweis: x wird im Bogenmaß angegeben, nicht in Grad.
Grenzwert von rechts (für x gegen 2, wobei benachbarte Eingaben x>2 erfüllen):
Weil limx→2−f(x)=3=4=limx→2+f(x) gilt, existiert limx→2f(x) nicht.
