Grenzwert einer Funktion

Das Verhalten benachbarter Funktionswerte untersuchen

Ein Grenzwert beschreibt, wie sich benachbarte Funktionswerte verhalten, wenn sich die Eingabe einem bestimmten Punkt nähert. Der Funktionswert an diesem Punkt ist dafür nicht entscheidend. Er kann fehlen oder einen anderen Wert haben, obwohl ein beidseitiger Grenzwert existiert. Bei einem Sprung müssen die beiden einseitigen Grenzwerte verglichen werden. In der Nähe einer senkrechten Asymptote beschreibt ein unendlicher Grenzwert das unbeschränkte Verhalten.

Stetigkeit, Ableitungen und bestimmte Integrale werden alle mithilfe von Grenzwerten definiert. Wir lesen das Verhalten zuerst aus einer Wertetabelle ab und verbinden diese Beobachtung anschließend mit einseitigen Grenzwerten und der präzisen Epsilon-Delta-Definition.

Annäherung mit einer Wertetabelle

Die folgende Tabelle zeigt die Werte von $f(x) = x + 2$, während sich $x$ dem Wert $3$ von beiden Seiten nähert.

Die Tabelle zeigt: Nähert sich $x$ dem Wert $3$ von links, also mit $x < 3$, oder von rechts, also mit $x > 3$, dann nähert sich $f(x)$ dem Wert $5$. Dieser Annäherungswert heißt Grenzwert.

Schreibweise einseitige Grenzwerte und formale Bedeutung

Die Standardschreibweise lautet:

Die Schreibweise bedeutet: Der Grenzwert von $f(x)$ für $x$ gegen $c$ ist $L$. Annähern bedeutet nicht, den Funktionswert an dieser Stelle einzusetzen.

Wenn $c$ ein innerer Punkt ist und die Funktion in der Umgebung von $c$ auf beiden Seiten definiert ist, existiert der zweiseitige Grenzwert genau dann, wenn:

• Der Grenzwert von links und der Grenzwert von rechts müssen existieren
• Beide einseitigen Grenzwerte müssen gleich sein
• Ihr gemeinsamer Wert ist $L$

Die einseitigen Grenzwerte schreibt man so:

Beim linksseitigen Grenzwert nähert sich $x$ dem Wert $c$ von links:

Beim rechtsseitigen Grenzwert nähert sich $x$ dem Wert $c$ von rechts:

Sind beide Werte gleich, gilt $\lim_{x \to c} f(x) = L$. Sind sie verschieden, existiert der zweiseitige Grenzwert nicht. An einem Randpunkt des Definitionsbereichs ist nur der einseitige Grenzwert aus dem Definitionsbereich heraus relevant.

Die Epsilon-Delta-Definition gibt dem Wort "annähern" eine präzise mathematische Bedeutung:

Für jede noch so kleine Ausgabetoleranz $\varepsilon>0$ lässt sich also eine Eingabetoleranz $\delta>0$ wählen. Liegt $x$ dann näher als $\delta$ bei $c$, ohne genau diesen Wert anzunehmen, liegt $f(x)$ näher als $\varepsilon$ bei $L$. Die Bedingung $0<|x-c|$ zeigt, dass das Verhalten in der Umgebung von $c$ den Grenzwert bestimmt.

Eine Eingabetoleranz wählen

Für $f(x)=x+2$, $c=3$ und $L=5$ entspricht der Abstand der Ausgabe genau dem Abstand der Eingabe:

Wähle dieselbe Toleranz für Eingabe und Ausgabe, also $\delta=\varepsilon$. Ein Ausgabefehler unter $0{,}01$ folgt zum Beispiel aus $0<|x-3|<0{,}01$. Diese Rechnung gilt für jede positive Toleranz.

Grenzwerte berechnen

Grenzwerte beantworten Fragen zum Verhalten einer Größe in der Nähe eines Punktes. Der Grenzwert kann sich vom Funktionswert an dieser Stelle unterscheiden, und die beiden Beispiele zeigen einen Fall, bei dem Einsetzen genügt, und einen Fall, der vorher vereinfacht werden muss.

Einen Grenzwert durch direktes Einsetzen berechnen

Berechne $\lim_{x \to 4} (2x - 1)$.

Lösung:

Da $f(x) = 2x - 1$ bei $x = 4$ stetig ist, können wir direkt einsetzen:

Eine unbestimmte Form vor der Grenzwertberechnung vereinfachen

Berechne $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Lösung:

Direktes Einsetzen von $x = 2$ ergibt die unbestimmte Form $\frac{0}{0}$. Deshalb faktorisieren und vereinfachen wir zuerst:

Ein Grenzwert betrachtet benachbarte Werte mit $x \neq 2$. Deshalb dürfen wir den Faktor $(x - 2)$ kürzen, bevor wir den vereinfachten Ausdruck auswerten:

Grundlegende Rechenregeln

Für diese Regeln müssen beide Grenzwerte $L=\lim_{x\to c}f(x)$ und $M=\lim_{x\to c}g(x)$ existieren und endlich sein. Die Koeffizienten $a,b$ sind konstant.

Übungen

Die vier Aufgaben decken direktes Einsetzen, einen Fall mit Faktorisieren, einen trigonometrischen Grundgrenzwert und eine abschnittsweise definierte Funktion ab. Rechne jede Aufgabe zuerst auf Papier, bevor du die Lösung öffnest, und vergleiche dann deinen Weg mit dem Rechenweg unten.

1. Berechne $\lim_{x \to 3} (x^2 + 2x - 1)$

2. Berechne $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

3. Berechne $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ (verwende den trigonometrischen Grenzwertsatz)

4. Die Funktion $f$ ist wie folgt definiert:

   $$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 2 \\ 3x - 2, & x \geq 2 \end{cases}$$

   Berechne $\lim_{x \to 2} f(x)$.

Lösungen

Aufgabe 1. Polynomfunktionen sind überall stetig. Deshalb können wir direkt einsetzen:

Aufgabe 2. Direktes Einsetzen ergibt $\frac{0}{0}$. Deshalb faktorisieren wir zuerst:

Der Grenzwert verwendet benachbarte Werte mit $x \neq 1$. Deshalb können wir $(x - 1)$ kürzen, bevor wir den vereinfachten Ausdruck auswerten:

Aufgabe 3. Dies ist ein grundlegender trigonometrischer Grenzwert. Direktes Einsetzen führt zu $\frac{0}{0}$ und hilft daher nicht weiter. Der trigonometrische Grenzwertsatz liefert:

Hinweis: Gib $x$ im Bogenmaß an. Mit Grad erhältst du ein anderes Ergebnis.

Aufgabe 4. Bei stückweise definierten Funktionen prüfen wir den Grenzwert von links und von rechts getrennt:

Grenzwert von links (für $x$ gegen $2$ mit $x < 2$):

Grenzwert von rechts (für $x$ gegen $2$, wobei benachbarte Eingaben $x > 2$ erfüllen):

Weil $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3 \neq 4 = \lim_{x \to 2^+} f(x)$ gilt, existiert $\lim_{x \to 2} f(x)$ nicht.

Der Graph zeigt zwei unterschiedliche Annäherungshöhen. Der Punkt am rechten Ast steht für $f(2)=4$. Dieser Funktionswert ändert den linksseitigen Grenzwert $3$ jedoch nicht.