Rechenregeln für Grenzwerte

Teilgrenzwerte vor dem Rechnen prüfen

Die $Grenzwertregeln$ berechnen den Grenzwert einer Summe, Differenz, eines Produkts oder Quotienten aus den Grenzwerten der einzelnen Teile. Alle Teilgrenzwerte müssen existieren. Bei einem Quotienten muss $der Grenzwert des Nenners außerdem ungleich null$ sein.

Zwei grundlegende Regeln

Zwei Regeln decken die einfachsten Fälle ab, den $Grenzwert$ einer konstanten Funktion und den Grenzwert der Identitätsfunktion. Beide lassen sich direkt aus dem Graphen ablesen, und jede weitere Regel baut auf ihnen auf.

Konstantenregel

Ist $k$ eine Konstante, bleibt ihr Wert unverändert:

\lim_{x \to c} k = k

Der Grenzwert einer $Konstante$ ist also die $Konstante selbst$ , denn ihr Wert hängt nicht von $x$ ab.

Identitätsregel

Für die Identitätsfunktion gilt:

\lim_{x \to c} x = c

Nähert sich $x$ dem Wert $c$ , dann nähert sich auch $f(x) = x$ dem Wert $c$ .

Vergleiche die konstante Funktion $y=3$ mit der Identitätsfunktion $y=x$ , wenn $x$ gegen $2$ geht. Bei der konstanten Funktion bleibt die $Ausgabe unverändert$ . Bei der Identitätsfunktion $folgt die Ausgabe der Eingabe$ .

Eingabe	Konstante Funktion	Identitätsfunktion
$1{,}9$	$3$	$1{,}9$
$1{,}99$	$3$	$1{,}99$
$2{,}01$	$3$	$2{,}01$
$2{,}1$	$3$	$2{,}1$

Rechenregeln für Verknüpfungen

Es gelte $\lim_{x \to c} f(x) = L$ und $\lim_{x \to c} g(x) = M$ , wobei $L$ und $M$ reelle Zahlen sind. Die Regeln schieben den $Grenzwert$ dann durch eine Summe, ein Produkt, einen konstanten Faktor und einen Quotienten, solange der Nenner nicht gegen null läuft.

Summenregel und Differenzregel

Bei einer $Summe$ oder $Differenz$ dürfen wir die Grenzwerte der einzelnen Funktionen getrennt berechnen:

\begin{aligned} &\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] \\ &= \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x) \\ &= L + M \end{aligned}

Genau darin liegt der Nutzen: Ein zusammengesetzter Grenzwert wird zu mehreren einfachen Teilaufgaben.

Wenn $x\to2$ geht, haben $x$ und $x+1$ die Grenzwerte $2$ und $3$ . Mit der Regel erhalten wir:

\begin{aligned}\lim_{x\to2}[x+(x+1)]&=2+3=5\\\lim_{x\to2}[x-(x+1)]&=2-3=-1\end{aligned}

Produktregel

Beim $Produkt$ zweier Funktionen werden die beiden Grenzwerte miteinander multipliziert:

\begin{aligned} &\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] \\ &= \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x) \\ &= L \cdot M \end{aligned}

Wenn $x\to2$ geht, haben $x$ und $x+1$ die Grenzwerte $2$ und $3$ . Mit der Regel erhalten wir:

\lim_{x\to2}x(x+1)=2\cdot3=6

Konstanter Faktor

Einen $konstanten Faktor$ dürfen wir vor das Grenzwertzeichen ziehen:

\lim_{x \to c} [k \cdot f(x)] = k \cdot \lim_{x \to c} f(x) = k \cdot L

Mit dem konstanten Faktor $5$ und $x\to2$ ergibt sich:

\lim_{x\to2}5x=5\lim_{x\to2}x=5\cdot2=10

Quotientenregel

Beim $Quotienten$ teilen wir die Grenzwerte, sofern der Grenzwert des Nenners $nicht null$ ist:

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)} = \frac{L}{M}

Die entscheidende Bedingung lautet $M \neq 0$ .

Wenn $x\to2$ geht, haben $x$ und $x+1$ die Grenzwerte $2$ und $3$ . Mit der Regel erhalten wir:

\lim_{x\to2}\frac{x}{x+1}=\frac23

Potenzregeln und Wurzelregeln

Eine Potenz oder Wurzel darf den $Grenzwert$ durchlaufen, solange das Ergebnis im Definitionsbereich bleibt. Diese Bedingung hält die Wurzel definiert, sodass ein negativer Wert unter einer geraden Wurzel die Regel außer Kraft setzt.

Potenzregel

Bei einer $Potenz$ darf der Grenzwert zuerst gebildet und anschließend potenziert werden:

\lim_{x \to c} [f(x)]^n = \left[\lim_{x \to c} f(x)\right]^n = L^n

In dieser Regel ist $n$ eine positive ganze Zahl.

Für den positiven ganzzahligen Exponenten $3$ berechnen wir den Grenzwert aus dem inneren Grenzwert:

\lim_{x\to2}(x+1)^3=(2+1)^3=27

Wurzelregel

Bei einer $Wurzel$ darf der Grenzwert unter den Wurzelausdruck gezogen werden:

\lim_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to c} f(x)} = \sqrt[n]{L}

$Definitionsbedingung$ : Die Wurzelfunktion muss für Eingaben in der Nähe der betrachteten Stelle definiert sein.

Ist $n$ ungerade, ist die reelle Wurzel für jeden reellen Wert von $L$ definiert
Ist $n$ gerade, muss der Ausdruck unter der Wurzel in der Umgebung nichtnegativ bleiben und $L \geq 0$ gelten

Zum Vergleich: Eine Kubikwurzel erlaubt negative reelle Eingaben, eine reelle Quadratwurzel dagegen nicht:

\lim_{x\to-8}\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{-8}=-2

Grenzwertregeln anwenden

Jedes Beispiel wendet jeweils $eine Regel$ an und nennt sie, sodass du bei einem ähnlichen Ausdruck dieselbe Reihenfolge verwenden kannst. Das letzte Beispiel zeigt, was sich ändert, wenn eine Wurzel im Spiel ist.

Grenzwert einer Polynomfunktion

Berechne $\lim_{x \to 2} (3x^2 + 5x - 1)$ .

$Lösung$ :

Wir zerlegen den Ausdruck mithilfe der Grenzwertregeln:

\begin{aligned} &\lim_{x \to 2} (3x^2 + 5x - 1) \\ &= \lim_{x \to 2} 3x^2 \\ &\quad{}+ \lim_{x \to 2} 5x - \lim_{x \to 2} 1 \end{aligned}

Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion

Berechne $\lim_{x \to 4} \frac{x\sqrt{x}}{x^2 + 3}$ .

$Lösung$ :

Wir verwenden Produkt- und Quotientenregel:

\lim_{x \to 4} \frac{x\sqrt{x}}{x^2 + 3} = \frac{\lim_{x \to 4} x\sqrt{x}}{\lim_{x \to 4} (x^2 + 3)}

Nun setzen wir $x = 4$ ein:

\lim_{x\to4}\frac{x\sqrt{x}}{x^2+3}= \frac{4 \cdot \sqrt{4}}{4^2 + 3} = \frac{4 \cdot 2}{16 + 3} = \frac{8}{19}

In $Dezimalform$ : $\frac{8}{19} \approx 0{,}421$

Grenzwert einer Wurzelfunktion

Berechne $\lim_{x \to 0} \sqrt{x^2 - 3x + 2}$ .

$Lösung$ :

Wir verwenden die Wurzelregel. Weil $n = 2$ gerade ist, muss der Ausdruck unter der Wurzel in der betrachteten Umgebung nichtnegativ sein:

\begin{aligned} &\lim_{x \to 0} \sqrt{x^2 - 3x + 2} \\ &= \sqrt{\lim_{x \to 0} (x^2 - 3x + 2)} \end{aligned}

Zuerst berechnen wir den Grenzwert unter der Wurzel:

\begin{aligned} \lim_{x \to 0} (x^2 - 3x + 2) &= 0^2 - 3(0) + 2 \\ &= 0 - 0 + 2 \\ &= 2 \end{aligned}

Da $2 > 0$ gilt, können wir die Wurzelregel verwenden:

\lim_{x\to0}\sqrt{x^2-3x+2}= \sqrt{2} \approx 1{,}414

Übungen

Jede Aufgabe verlangt einen $Grenzwert$ , der eine oder mehrere der Regeln oben nutzt. Notiere bei jedem Schritt die verwendete Regel.

Berechne $\lim_{x \to 3} (2x^2 - 4x + 1)$
Berechne $\lim_{x \to 1} \frac{3x + 2}{x^2 + 1}$
Berechne $\lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5}$
Berechne $\lim_{x \to 2} (x + 1)^3$
Berechne $\lim_{x \to 0} \frac{5x^2 + 3x}{2x + 1}$

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Wir verwenden $Summenregel$ und konstante Faktoren:

\begin{aligned} &\lim_{x \to 3} (2x^2 - 4x + 1) \\ &= 2\lim_{x \to 3} x^2 \\ &\quad{}- 4\lim_{x \to 3} x + \lim_{x \to 3} 1 \end{aligned}

Nun setzen wir $x = 3$ ein:

\begin{aligned} &= 2(3)^2 - 4(3) + 1 \\ &= 2(9) - 12 + 1 \\ &= 18 - 12 + 1 \\ &= 7 \end{aligned}

$Aufgabe 2$ . Wir verwenden die Quotientenregel:

\lim_{x \to 1} \frac{3x + 2}{x^2 + 1} = \frac{\lim_{x \to 1} (3x + 2)}{\lim_{x \to 1} (x^2 + 1)}

In $Dezimalform$ : $\frac{5}{2} = 2{,}5$

$Aufgabe 3$ . Wir verwenden die $Wurzelregel$ :

\lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5} = \sqrt{\lim_{x \to 4} (x + 5)}

$Aufgabe 4$ . Wir verwenden die $Potenzregel$ :

\lim_{x \to 2} (x + 1)^3 = \left[\lim_{x \to 2} (x + 1)\right]^3

$Aufgabe 5$ . Wir verwenden die $Quotientenregel$ :

\lim_{x \to 0} \frac{5x^2 + 3x}{2x + 1} = \frac{\lim_{x \to 0} (5x^2 + 3x)}{\lim_{x \to 0} (2x + 1)}

Teilgrenzwerte vor dem Rechnen prüfen

Zwei grundlegende Regeln

Konstantenregel

Ist $k$ eine Konstante, bleibt ihr Wert unverändert:

\lim_{x \to c} k = k

Der Grenzwert einer $Konstante$ ist also die $Konstante selbst$ , denn ihr Wert hängt nicht von $x$ ab.

Identitätsregel

Für die Identitätsfunktion gilt:

\lim_{x \to c} x = c

Nähert sich $x$ dem Wert $c$ , dann nähert sich auch $f(x) = x$ dem Wert $c$ .

Eingabe	Konstante Funktion	Identitätsfunktion
$1{,}9$	$3$	$1{,}9$
$1{,}99$	$3$	$1{,}99$
$2{,}01$	$3$	$2{,}01$
$2{,}1$	$3$	$2{,}1$

Rechenregeln für Verknüpfungen

Summenregel und Differenzregel

Bei einer $Summe$ oder $Differenz$ dürfen wir die Grenzwerte der einzelnen Funktionen getrennt berechnen:

\begin{aligned} &\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] \\ &= \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x) \\ &= L + M \end{aligned}

Genau darin liegt der Nutzen: Ein zusammengesetzter Grenzwert wird zu mehreren einfachen Teilaufgaben.

Wenn $x\to2$ geht, haben $x$ und $x+1$ die Grenzwerte $2$ und $3$ . Mit der Regel erhalten wir:

\begin{aligned}\lim_{x\to2}[x+(x+1)]&=2+3=5\\\lim_{x\to2}[x-(x+1)]&=2-3=-1\end{aligned}

Produktregel

Beim $Produkt$ zweier Funktionen werden die beiden Grenzwerte miteinander multipliziert:

\begin{aligned} &\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] \\ &= \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x) \\ &= L \cdot M \end{aligned}

Wenn $x\to2$ geht, haben $x$ und $x+1$ die Grenzwerte $2$ und $3$ . Mit der Regel erhalten wir:

\lim_{x\to2}x(x+1)=2\cdot3=6

Konstanter Faktor

Einen $konstanten Faktor$ dürfen wir vor das Grenzwertzeichen ziehen:

\lim_{x \to c} [k \cdot f(x)] = k \cdot \lim_{x \to c} f(x) = k \cdot L

Mit dem konstanten Faktor $5$ und $x\to2$ ergibt sich:

\lim_{x\to2}5x=5\lim_{x\to2}x=5\cdot2=10

Quotientenregel

Beim $Quotienten$ teilen wir die Grenzwerte, sofern der Grenzwert des Nenners $nicht null$ ist:

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)} = \frac{L}{M}

Die entscheidende Bedingung lautet $M \neq 0$ .

Wenn $x\to2$ geht, haben $x$ und $x+1$ die Grenzwerte $2$ und $3$ . Mit der Regel erhalten wir:

\lim_{x\to2}\frac{x}{x+1}=\frac23

Potenzregeln und Wurzelregeln

Potenzregel

Bei einer $Potenz$ darf der Grenzwert zuerst gebildet und anschließend potenziert werden:

\lim_{x \to c} [f(x)]^n = \left[\lim_{x \to c} f(x)\right]^n = L^n

In dieser Regel ist $n$ eine positive ganze Zahl.

Für den positiven ganzzahligen Exponenten $3$ berechnen wir den Grenzwert aus dem inneren Grenzwert:

\lim_{x\to2}(x+1)^3=(2+1)^3=27

Wurzelregel

Bei einer $Wurzel$ darf der Grenzwert unter den Wurzelausdruck gezogen werden:

\lim_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to c} f(x)} = \sqrt[n]{L}

$Definitionsbedingung$ : Die Wurzelfunktion muss für Eingaben in der Nähe der betrachteten Stelle definiert sein.

Ist $n$ ungerade, ist die reelle Wurzel für jeden reellen Wert von $L$ definiert
Ist $n$ gerade, muss der Ausdruck unter der Wurzel in der Umgebung nichtnegativ bleiben und $L \geq 0$ gelten

Zum Vergleich: Eine Kubikwurzel erlaubt negative reelle Eingaben, eine reelle Quadratwurzel dagegen nicht:

\lim_{x\to-8}\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{-8}=-2

Grenzwertregeln anwenden

Grenzwert einer Polynomfunktion

Berechne $\lim_{x \to 2} (3x^2 + 5x - 1)$ .

$Lösung$ :

Wir zerlegen den Ausdruck mithilfe der Grenzwertregeln:

\begin{aligned} &\lim_{x \to 2} (3x^2 + 5x - 1) \\ &= \lim_{x \to 2} 3x^2 \\ &\quad{}+ \lim_{x \to 2} 5x - \lim_{x \to 2} 1 \end{aligned}

Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion

Berechne $\lim_{x \to 4} \frac{x\sqrt{x}}{x^2 + 3}$ .

$Lösung$ :

Wir verwenden Produkt- und Quotientenregel:

\lim_{x \to 4} \frac{x\sqrt{x}}{x^2 + 3} = \frac{\lim_{x \to 4} x\sqrt{x}}{\lim_{x \to 4} (x^2 + 3)}

Nun setzen wir $x = 4$ ein:

\lim_{x\to4}\frac{x\sqrt{x}}{x^2+3}= \frac{4 \cdot \sqrt{4}}{4^2 + 3} = \frac{4 \cdot 2}{16 + 3} = \frac{8}{19}

In $Dezimalform$ : $\frac{8}{19} \approx 0{,}421$

Grenzwert einer Wurzelfunktion

Berechne $\lim_{x \to 0} \sqrt{x^2 - 3x + 2}$ .

$Lösung$ :

Wir verwenden die Wurzelregel. Weil $n = 2$ gerade ist, muss der Ausdruck unter der Wurzel in der betrachteten Umgebung nichtnegativ sein:

\begin{aligned} &\lim_{x \to 0} \sqrt{x^2 - 3x + 2} \\ &= \sqrt{\lim_{x \to 0} (x^2 - 3x + 2)} \end{aligned}

Zuerst berechnen wir den Grenzwert unter der Wurzel:

\begin{aligned} \lim_{x \to 0} (x^2 - 3x + 2) &= 0^2 - 3(0) + 2 \\ &= 0 - 0 + 2 \\ &= 2 \end{aligned}

Da $2 > 0$ gilt, können wir die Wurzelregel verwenden:

\lim_{x\to0}\sqrt{x^2-3x+2}= \sqrt{2} \approx 1{,}414

Übungen

Jede Aufgabe verlangt einen $Grenzwert$ , der eine oder mehrere der Regeln oben nutzt. Notiere bei jedem Schritt die verwendete Regel.

Berechne $\lim_{x \to 3} (2x^2 - 4x + 1)$
Berechne $\lim_{x \to 1} \frac{3x + 2}{x^2 + 1}$
Berechne $\lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5}$
Berechne $\lim_{x \to 2} (x + 1)^3$
Berechne $\lim_{x \to 0} \frac{5x^2 + 3x}{2x + 1}$

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Wir verwenden $Summenregel$ und konstante Faktoren:

\begin{aligned} &\lim_{x \to 3} (2x^2 - 4x + 1) \\ &= 2\lim_{x \to 3} x^2 \\ &\quad{}- 4\lim_{x \to 3} x + \lim_{x \to 3} 1 \end{aligned}

Nun setzen wir $x = 3$ ein:

\begin{aligned} &= 2(3)^2 - 4(3) + 1 \\ &= 2(9) - 12 + 1 \\ &= 18 - 12 + 1 \\ &= 7 \end{aligned}

$Aufgabe 2$ . Wir verwenden die Quotientenregel:

\lim_{x \to 1} \frac{3x + 2}{x^2 + 1} = \frac{\lim_{x \to 1} (3x + 2)}{\lim_{x \to 1} (x^2 + 1)}

In $Dezimalform$ : $\frac{5}{2} = 2{,}5$

$Aufgabe 3$ . Wir verwenden die $Wurzelregel$ :

\lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5} = \sqrt{\lim_{x \to 4} (x + 5)}

$Aufgabe 4$ . Wir verwenden die $Potenzregel$ :

\lim_{x \to 2} (x + 1)^3 = \left[\lim_{x \to 2} (x + 1)\right]^3

$Aufgabe 5$ . Wir verwenden die $Quotientenregel$ :

\lim_{x \to 0} \frac{5x^2 + 3x}{2x + 1} = \frac{\lim_{x \to 0} (5x^2 + 3x)}{\lim_{x \to 0} (2x + 1)}