Grenzwerte trigonometrischer Funktionen

Direktes Einsetzen und unbestimmte Formen

$Trigonometrische Grenzwerte$ stellen dieselbe lokale Frage wie algebraische Grenzwerte: Welchem Wert nähert sich ein Ausdruck in der Umgebung einer bestimmten Eingabe? Sinus und Kosinus sind überall stetig, Tangens überall dort, wo der Kosinus nicht null ist. Direktes Einsetzen funktioniert daher weiterhin, wenn der entstehende Ausdruck definiert ist.

Besondere Schritte sind nötig, wenn das Einsetzen eine unbestimmte Form wie $\frac{0}{0}$ ergibt. In der Umgebung von null lassen sich solche Ausdrücke mit einem $grundlegenden Sinusgrenzwert$ und bekannten trigonometrischen Identitäten umformen.

Sinusgrenzwert bei null

Nähert sich ein im Bogenmaß angegebener Winkel null, dann nähert sich das $Verhältnis aus seinem Sinus und dem Winkel selbst$ dem Wert eins. Das Bogenmaß ist es, das den Wert genau eins macht, und diese eine Tatsache bestimmt den Wert jedes Verhältnisses aus Sinus und Kosinus.

Sinusgrenzwert

Es gilt:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Der Ausdruck ist bei $x=0$ nicht definiert. Direktes Einsetzen bestimmt den Grenzwert daher nicht. Ein geometrischer Beweis verwendet den Einheitskreis und den Einschließungssatz.

Hier muss $x$ im $Bogenmaß$ stehen. Für Gradmaß gilt dieser Grenzwert nicht in derselben Form.

Am Einheitskreis liefert der Vergleich von Dreiecks- und Sektorflächen für $0<x<\pi/2$ die Ungleichung $\sin x<x<\tan x$ . Division durch positive Größen ergibt $zwei einschließende Schranken$ :

\cos x<\frac{\sin x}{x}<1

Für $x\to0^+$ gehen beide Schranken gegen $1$ . Links gilt $\sin(-x)/(-x)=\sin x/x$ , sodass derselbe Grenzwert entsteht. Der Graph veranschaulicht die Annäherung. Bei $x=0$ bleibt der Ausdruck undefiniert.

Das Verhältnis von Sinus und Winkel nähert sich eins

Die violette Kurve zeigt sin x geteilt durch x auf beiden Seiten von null. Die orange Gerade liegt auf der Höhe eins. Die Winkel sind im Bogenmaß angegeben.

Folgen der Grundgrenze

Mit diesem $Grenzwert$ lassen sich die folgenden Ergebnisse herleiten:

Da $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ und $\cos x\to1$ gelten:

\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1

Verwende die Identität $1-\cos x=2\sin^2\frac x2$ :

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0

Verwende die Identität $1-\cos x=2\sin^2\frac x2$ :

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

Die Identität liefert beide Kosinusgrenzwerte direkt, ohne Ableitungsregeln vorwegzunehmen, die erst später entwickelt werden:

\begin{aligned} &\frac{1-\cos x}{x} \\ &=\sin\frac{x}{2}\cdot\frac{\sin(x/2)}{x/2}\;\\ &\longrightarrow\;0\cdot 1 \\ &=0 \end{aligned}

Eigenschaften trigonometrischer Grenzwerte

Aus diesem Grundgrenzwert folgen mehrere verwandte Verhältnisse, weil ein konstanter Faktor im Winkel vor den $Grenzwert$ tritt und der Kehrwert sich genauso verhält. Damit lässt sich jeder Sinus eines vervielfachten Winkels auf den Grundgrenzwert zurückführen.

Trigonometrische Verhältnisse

Für reelle Konstanten $a$ und $b \neq 0$ werden $x \to 0$ betrachtet:

Grenzwert	Ergebnis	Begründung
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx}$	$\frac{a}{b}$	Auf die Grundform zurückführen
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{bx}$	$\frac{a}{b}$	Denn $\tan ax = \frac{\sin ax}{\cos ax}$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx}$	$\frac{a}{b}$	Kombination zweier Sinusgrenzen
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{\tan bx}$	$\frac{a}{b}$	Zwei Tangensgrenzwerte verbinden

Trigonometrische Kombinationen

Für das gemischte Verhältnis von Tangens und Sinus gilt dieselbe Regel. Für $a\ne0$ und $b\ne0$ zerlegen wir den Ausdruck in Grundgrenzwerte:

\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{\tan ax}{\sin bx}&=\lim_{x\to0}\left(\frac{\tan ax}{ax}\cdot\frac{bx}{\sin bx}\cdot\frac ab\right)\\&=1\cdot1\cdot\frac ab=\frac ab\end{aligned}

Ist $a=0$ , bleibt der Zähler null, also ist auch der $Grenzwert$ null. Die abschließende Regel gilt daher für jedes reelle $a$ und $b\ne0$ .

Rechentechniken

Manche trigonometrischen Grenzwerte lösen sich durch Einsetzen, andere brauchen eine Identität oder einen bekannten $Grenzwert$ . Der Ausdruck selbst zeigt, welcher Fall vorliegt, denn eine Summe oder Differenz im Argument weist auf eine benötigte Identität hin.

Auf die Grundform zurückführen

Wir formen den Ausdruck in ein Produkt um, das den grundlegenden Sinusgrenzwert enthält.

$Berechne$ : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x}$

Wir ergänzen den passenden Faktor:

\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x} &= \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 2x}{2 \cdot 3x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin 2x}{2x} \end{aligned}

Direktes Einsetzen bei einem Nenner ungleich null

$Direktes Einsetzen$ ist zulässig, wenn die Funktion an der betrachteten Stelle stetig und der Nenner ungleich null ist. Ein Grenzwert setzt allgemein nicht voraus, dass die Funktion an dieser Stelle definiert ist.

$Berechne$ : $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x}$

Da $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$ , ist der Nenner bei $x = \frac{\pi}{4}$ nicht Null.

Direktes Einsetzen:

\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x} = \frac{\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}}{\sin \frac{\pi}{4}}

Eine neue Variable einführen

Bei einem Ausdruck der Form $\frac{0}{0}$ kann eine geeignete Substitution den Ausdruck auf eine bekannte Grundform zurückführen.

$Berechne$ : $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2(x - \frac{\pi}{2})}{x(x - \frac{\pi}{2})}$

Sei $u = x - \frac{\pi}{2}$ , dann haben wir für $x \to \frac{\pi}{2}$ $u \to 0$ und $x = u + \frac{\pi}{2}$ .

\begin{aligned} &\lim_{u \to 0} \frac{\sin^2 u}{(u + \frac{\pi}{2}) \cdot u} \\ &= \lim_{u \to 0} \frac{\sin^2 u}{u^2} \cdot \frac{u}{u + \frac{\pi}{2}} \end{aligned}

Grenzwert eines Kotangensquotienten

Schreibe den $Kotangens als Kosinus durch Sinus$ . Der Kosinusquotient geht gegen eins. Der Sinusquotient liefert das Verhältnis der Winkelfaktoren.

$Berechne$ : $\lim_{t \to 0} \frac{\cot 5t}{\cot 10t}$

Wir schreiben den Kotangens als Quotienten:

\begin{aligned}\lim_{t \to 0} \frac{\cot 5t}{\cot 10t} &= \lim_{t \to 0} \frac{\frac{\cos 5t}{\sin 5t}}{\frac{\cos 10t}{\sin 10t}} \\ &= \lim_{t \to 0} \frac{\cos 5t \sin 10t}{\sin 5t \cos 10t}\end{aligned}

Übungen

Jede Aufgabe verlangt einen trigonometrischen $Grenzwert$ . Entscheide vor dem Rechnen, ob Einsetzen genügt oder eine Identität nötig ist. Notiere bei jedem Schritt den verwendeten Grenzwert und prüfe das Ergebnis am Grundgrenzwert, sobald der Winkel skaliert wird.

Berechne $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{4x}$
Berechne $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x}$
Berechne $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2}$
Berechne $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x - \frac{1}{2}}{x - \frac{\pi}{6}}$
Berechne $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{x}$

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Forme den Ausdruck in die $Grundform$ um:

\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{4x} &= \lim_{x \to 0} \frac{3 \sin 3x}{3 \cdot 4x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{3}{4} \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \end{aligned}

$Aufgabe 2$ . Verwende die $trigonometrischen Verhältnisgrenzwerte$ :

\begin{aligned} &\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2x}{5x} \end{aligned}

$Aufgabe 3$ . Verwende die $Halbwinkelformel$ , um die Kosinusdifferenz als Sinusquadrat zu schreiben:

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\frac{3x}{2}}{x^2}

$Aufgabe 4$ . Ersetze die Variable, sodass der $Winkel gegen null geht$ , und verwende dann den Sinusgrundgrenzwert. Sei $h = x - \frac{\pi}{6}$ , dann $x = h + \frac{\pi}{6}$ und wenn $x \to \frac{\pi}{6}$ , haben wir $h \to 0$ :

\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h + \frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2}}{h}

$Aufgabe 5$ . Verwende die $Doppelwinkelformel$ , bevor du den gemeinsamen Faktor kürzt:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}\sin 2x}{x}

Direktes Einsetzen und unbestimmte Formen

Sinusgrenzwert bei null

Sinusgrenzwert

Es gilt:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Der Ausdruck ist bei $x=0$ nicht definiert. Direktes Einsetzen bestimmt den Grenzwert daher nicht. Ein geometrischer Beweis verwendet den Einheitskreis und den Einschließungssatz.

Hier muss $x$ im $Bogenmaß$ stehen. Für Gradmaß gilt dieser Grenzwert nicht in derselben Form.

Am Einheitskreis liefert der Vergleich von Dreiecks- und Sektorflächen für $0<x<\pi/2$ die Ungleichung $\sin x<x<\tan x$ . Division durch positive Größen ergibt $zwei einschließende Schranken$ :

\cos x<\frac{\sin x}{x}<1

Das Verhältnis von Sinus und Winkel nähert sich eins

Die violette Kurve zeigt sin x geteilt durch x auf beiden Seiten von null. Die orange Gerade liegt auf der Höhe eins. Die Winkel sind im Bogenmaß angegeben.

Folgen der Grundgrenze

Mit diesem $Grenzwert$ lassen sich die folgenden Ergebnisse herleiten:

Da $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ und $\cos x\to1$ gelten:

\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1

Verwende die Identität $1-\cos x=2\sin^2\frac x2$ :

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0

Verwende die Identität $1-\cos x=2\sin^2\frac x2$ :

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

Die Identität liefert beide Kosinusgrenzwerte direkt, ohne Ableitungsregeln vorwegzunehmen, die erst später entwickelt werden:

\begin{aligned} &\frac{1-\cos x}{x} \\ &=\sin\frac{x}{2}\cdot\frac{\sin(x/2)}{x/2}\;\\ &\longrightarrow\;0\cdot 1 \\ &=0 \end{aligned}

Eigenschaften trigonometrischer Grenzwerte

Trigonometrische Verhältnisse

Für reelle Konstanten $a$ und $b \neq 0$ werden $x \to 0$ betrachtet:

Grenzwert	Ergebnis	Begründung
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx}$	$\frac{a}{b}$	Auf die Grundform zurückführen
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{bx}$	$\frac{a}{b}$	Denn $\tan ax = \frac{\sin ax}{\cos ax}$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx}$	$\frac{a}{b}$	Kombination zweier Sinusgrenzen
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{\tan bx}$	$\frac{a}{b}$	Zwei Tangensgrenzwerte verbinden

Trigonometrische Kombinationen

Für das gemischte Verhältnis von Tangens und Sinus gilt dieselbe Regel. Für $a\ne0$ und $b\ne0$ zerlegen wir den Ausdruck in Grundgrenzwerte:

\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{\tan ax}{\sin bx}&=\lim_{x\to0}\left(\frac{\tan ax}{ax}\cdot\frac{bx}{\sin bx}\cdot\frac ab\right)\\&=1\cdot1\cdot\frac ab=\frac ab\end{aligned}

Ist $a=0$ , bleibt der Zähler null, also ist auch der $Grenzwert$ null. Die abschließende Regel gilt daher für jedes reelle $a$ und $b\ne0$ .

Rechentechniken

Auf die Grundform zurückführen

Wir formen den Ausdruck in ein Produkt um, das den grundlegenden Sinusgrenzwert enthält.

$Berechne$ : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x}$

Wir ergänzen den passenden Faktor:

\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x} &= \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 2x}{2 \cdot 3x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin 2x}{2x} \end{aligned}

Direktes Einsetzen bei einem Nenner ungleich null

$Berechne$ : $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x}$

Da $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$ , ist der Nenner bei $x = \frac{\pi}{4}$ nicht Null.

Direktes Einsetzen:

\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x} = \frac{\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}}{\sin \frac{\pi}{4}}

Eine neue Variable einführen

Bei einem Ausdruck der Form $\frac{0}{0}$ kann eine geeignete Substitution den Ausdruck auf eine bekannte Grundform zurückführen.

$Berechne$ : $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2(x - \frac{\pi}{2})}{x(x - \frac{\pi}{2})}$

Sei $u = x - \frac{\pi}{2}$ , dann haben wir für $x \to \frac{\pi}{2}$ $u \to 0$ und $x = u + \frac{\pi}{2}$ .

\begin{aligned} &\lim_{u \to 0} \frac{\sin^2 u}{(u + \frac{\pi}{2}) \cdot u} \\ &= \lim_{u \to 0} \frac{\sin^2 u}{u^2} \cdot \frac{u}{u + \frac{\pi}{2}} \end{aligned}

Grenzwert eines Kotangensquotienten

Schreibe den $Kotangens als Kosinus durch Sinus$ . Der Kosinusquotient geht gegen eins. Der Sinusquotient liefert das Verhältnis der Winkelfaktoren.

$Berechne$ : $\lim_{t \to 0} \frac{\cot 5t}{\cot 10t}$

Wir schreiben den Kotangens als Quotienten:

\begin{aligned}\lim_{t \to 0} \frac{\cot 5t}{\cot 10t} &= \lim_{t \to 0} \frac{\frac{\cos 5t}{\sin 5t}}{\frac{\cos 10t}{\sin 10t}} \\ &= \lim_{t \to 0} \frac{\cos 5t \sin 10t}{\sin 5t \cos 10t}\end{aligned}

Übungen

Berechne $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{4x}$
Berechne $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x}$
Berechne $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2}$
Berechne $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x - \frac{1}{2}}{x - \frac{\pi}{6}}$
Berechne $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{x}$

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Forme den Ausdruck in die $Grundform$ um:

\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{4x} &= \lim_{x \to 0} \frac{3 \sin 3x}{3 \cdot 4x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{3}{4} \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \end{aligned}

$Aufgabe 2$ . Verwende die $trigonometrischen Verhältnisgrenzwerte$ :

\begin{aligned} &\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2x}{5x} \end{aligned}

$Aufgabe 3$ . Verwende die $Halbwinkelformel$ , um die Kosinusdifferenz als Sinusquadrat zu schreiben:

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\frac{3x}{2}}{x^2}

\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h + \frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2}}{h}

$Aufgabe 5$ . Verwende die $Doppelwinkelformel$ , bevor du den gemeinsamen Faktor kürzt:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}\sin 2x}{x}