For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Zwei Regeln decken die einfachsten Fälle ab, den Grenzwert einer konstanten Funktion und den Grenzwert der Identitätsfunktion. Beide lassen sich direkt aus dem Graphen ablesen, und jede weitere Regel baut auf ihnen auf.
Ist eine Konstante, bleibt ihr Wert unverändert:
Der Grenzwert einer Konstante ist also die Konstante selbst, denn ihr Wert hängt nicht von ab.
Für die Identitätsfunktion gilt:
Nähert sich dem Wert , dann nähert sich auch dem Wert .
Vergleiche die konstante Funktion mit der Identitätsfunktion , wenn gegen geht. Bei der konstanten Funktion bleibt die Ausgabe unverändert. Bei der Identitätsfunktion folgt die Ausgabe der Eingabe.
| Eingabe | Konstante Funktion | Identitätsfunktion |
|---|---|---|
Es gelte und , wobei und reelle Zahlen sind. Die Regeln schieben den Grenzwert dann durch eine Summe, ein Produkt, einen konstanten Faktor und einen Quotienten, solange der Nenner nicht gegen null läuft.
Bei einer Summe oder Differenz dürfen wir die Grenzwerte der einzelnen Funktionen getrennt berechnen:
Genau darin liegt der Nutzen: Ein zusammengesetzter Grenzwert wird zu mehreren einfachen Teilaufgaben.
Wenn geht, haben und die Grenzwerte und . Mit der Regel erhalten wir:
Beim Produkt zweier Funktionen werden die beiden Grenzwerte miteinander multipliziert:
Wenn geht, haben und die Grenzwerte und . Mit der Regel erhalten wir:
Einen konstanten Faktor dürfen wir vor das Grenzwertzeichen ziehen:
Mit dem konstanten Faktor und ergibt sich:
Beim Quotienten teilen wir die Grenzwerte, sofern der Grenzwert des Nenners nicht null ist:
Die entscheidende Bedingung lautet .
Wenn geht, haben und die Grenzwerte und . Mit der Regel erhalten wir:
Eine Potenz oder Wurzel darf den Grenzwert durchlaufen, solange das Ergebnis im Definitionsbereich bleibt. Diese Bedingung hält die Wurzel definiert, sodass ein negativer Wert unter einer geraden Wurzel die Regel außer Kraft setzt.
Bei einer Potenz darf der Grenzwert zuerst gebildet und anschließend potenziert werden:
In dieser Regel ist eine positive ganze Zahl.
Für den positiven ganzzahligen Exponenten berechnen wir den Grenzwert aus dem inneren Grenzwert:
Bei einer Wurzel darf der Grenzwert unter den Wurzelausdruck gezogen werden:
Definitionsbedingung: Die Wurzelfunktion muss für Eingaben in der Nähe der betrachteten Stelle definiert sein.
Zum Vergleich: Eine Kubikwurzel erlaubt negative reelle Eingaben, eine reelle Quadratwurzel dagegen nicht:
Jedes Beispiel wendet jeweils eine Regel an und nennt sie, sodass du bei einem ähnlichen Ausdruck dieselbe Reihenfolge verwenden kannst. Das letzte Beispiel zeigt, was sich ändert, wenn eine Wurzel im Spiel ist.
Berechne .
Lösung:
Wir zerlegen den Ausdruck mithilfe der Grenzwertregeln:
Berechne .
Lösung:
Wir verwenden Produkt- und Quotientenregel:
Nun setzen wir ein:
In Dezimalform:
Berechne .
Lösung:
Wir verwenden die Wurzelregel. Weil gerade ist, muss der Ausdruck unter der Wurzel in der betrachteten Umgebung nichtnegativ sein:
Zuerst berechnen wir den Grenzwert unter der Wurzel:
Da gilt, können wir die Wurzelregel verwenden:
Jede Aufgabe verlangt einen Grenzwert, der eine oder mehrere der Regeln oben nutzt. Notiere bei jedem Schritt die verwendete Regel.
Berechne
Berechne
Berechne
Berechne
Berechne
Aufgabe 1. Wir verwenden Summenregel und konstante Faktoren:
Nun setzen wir ein:
Aufgabe 2. Wir verwenden die Quotientenregel:
In Dezimalform:
Aufgabe 3. Wir verwenden die Wurzelregel:
Aufgabe 4. Wir verwenden die Potenzregel:
Aufgabe 5. Wir verwenden die Quotientenregel:
Veröffentlicht: . Aktualisiert: .
