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Nach dem Begriff des Grenzwerts geht es nun um das Rechnen. Mit Grenzwertregeln zerlegen wir einen komplizierten Ausdruck in einfachere Teile.
So müssen wir nicht bei jeder Aufgabe wieder mit der formalen Definition oder einer Wertetabelle beginnen. Wir prüfen stattdessen die Voraussetzungen der passenden Regel und berechnen die Teilgrenzwerte.
Ist eine Konstante, bleibt ihr Wert unverändert:
Der Grenzwert einer Konstante ist also die Konstante selbst, denn ihr Wert hängt nicht von ab.
Für die Identitätsfunktion gilt:
Nähert sich dem Wert , dann nähert sich auch dem Wert .
Es gelte und , wobei und reelle Zahlen sind. Dann gelten die folgenden Regeln:
Bei einer Summe oder Differenz dürfen wir die Grenzwerte der einzelnen Funktionen getrennt berechnen:
Genau darin liegt der Nutzen: Ein zusammengesetzter Grenzwert wird zu mehreren einfachen Teilaufgaben.
Beim Produkt zweier Funktionen werden die beiden Grenzwerte miteinander multipliziert:
Einen konstanten Faktor dürfen wir vor das Grenzwertzeichen ziehen:
Beim Quotienten teilen wir die Grenzwerte, sofern der Grenzwert des Nenners nicht null ist:
Die entscheidende Bedingung lautet .
Bei einer Potenz darf der Grenzwert zuerst gebildet und anschließend potenziert werden:
wobei eine positive ganze Zahl ist.
Bei einer Wurzel darf der Grenzwert unter den Wurzelausdruck gezogen werden:
Wichtige Bedingungen: Die Wurzelfunktion muss für Eingaben in der Nähe der betrachteten Stelle definiert sein.
Berechne .
Lösung:
Wir zerlegen den Ausdruck mithilfe der Grenzwertregeln:
Berechne .
Lösung:
Wir verwenden Produkt- und Quotientenregel:
Nun setzen wir ein:
In Dezimalform:
Berechne .
Lösung:
Wir verwenden die Wurzelregel. Weil gerade ist, muss der Ausdruck unter der Wurzel in der betrachteten Umgebung nichtnegativ sein:
Zuerst berechnen wir den Grenzwert unter der Wurzel:
Da gilt, können wir die Wurzelregel verwenden:
Berechne
Berechne
Berechne
Berechne
Berechne
Lösung:
Wir verwenden Summenregel und konstante Faktoren:
Nun setzen wir ein:
Lösung:
Wir verwenden die Quotientenregel:
Lösung:
Wir verwenden die Wurzelregel:
Lösung:
Wir verwenden die Potenzregel:
Lösung:
Wir verwenden die Quotientenregel:
In Dezimalform:
