Mittelwert für gruppierte Daten

In einer Häufigkeitstabelle können die Werte dagegen als Gruppen oder Intervalle vorliegen, zum Beispiel $70\text{-}79$, $80\text{-}89$ und $90\text{-}99$.

Nach der Gruppierung kennen wir nicht mehr jeden Einzelwert. Wenn $5$ Schülerinnen und Schüler zum Intervall $70\text{-}79$ gehören, wissen wir nicht, ob ihre tatsächlichen Ergebnisse $70$, $72$, $75$ oder andere Werte aus diesem Bereich waren.

Klassenmitte als Näherung

Da die Einzelwerte fehlen, benötigen wir eine Näherung: Die Klassenmitte steht stellvertretend für alle Werte des jeweiligen Intervalls.

Die Klassenmitte $x_i$ berechnet sich aus:

Formel für den Mittelwert gruppierter Daten

Sind alle Klassenmitten bekannt, ergibt sich das geschätzte arithmetische Mittel aus:

dabei gilt:

• $\bar{x}$ ist das geschätzte arithmetische Mittel der gruppierten Daten.
• $f_i$ ist die Häufigkeit der Klasse $i$.
• $x_i$ ist der Mittelpunkt der Klasse $i$.
• $\sum (f_i \times x_i)$ ist die Summe aller Produkte aus Klassenhäufigkeit und Klassenmitte.
• $\sum f_i$ ist die Summe aller Häufigkeiten, gleich der Gesamtzahl der Werte $n$.

Beispiel: Durchschnittliche Schuhgröße

Ein Geschäft hat seine verkauften Schuhgrößen in Klassen zusammengefasst:

Berechnung:

1. Bestimme die Klassenmitte ($x_i$) jeder Klasse:

   • Klasse $37\text{-}39$: $x_1 = (37+39)/2 = 38$
   • Klasse $40\text{-}42$: $x_2 = (40+42)/2 = 41$
   • Klasse $43\text{-}45$: $x_3 = (43+45)/2 = 44$
   • Klasse $46\text{-}48$: $x_4 = (46+48)/2 = 47$

2. Multipliziere jede Häufigkeit mit der zugehörigen Klassenmitte ($f_i \times x_i$):

   • Klasse $37\text{-}39$: $2 \times 38 = 76$

3. Addiere alle Produkte ($\sum (f_i \times x_i)$):

   $$\sum (f_i \times x_i) = 76 + 451 + 704 + 47 = 1278$$

4. Addiere alle Häufigkeiten ($\sum f_i$):

   $$\sum f_i = 2 + 11 + 16 + 1 = 30$$

5. Berechne das arithmetische Mittel ($\bar{x}$):

   $$\bar{x} = \frac{\sum (f_i \times x_i)}{\sum f_i} = \frac{1278}{30} = 42{,}6$$

Die geschätzte durchschnittliche Schuhgröße der Verkäufe beträgt somit $42{,}6$.

Das Ergebnis ist eine Schätzung, weil die Klassenmitte alle Einzelwerte ihres Intervalls ersetzt. Genau dieses Verfahren verwenden wir, wenn nur gruppierte Häufigkeiten vorliegen.